Calcul infinitésimal Exemples

$\int \frac{x^{3} + x}{x^{3} - 1} d x$

Étape 1

Divisez $x^{3} + x$ par $x^{3} - 1$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1

Définissez les polynômes à diviser. S’il n’y a pas de terme pour chaque exposant, insérez-en un avec une valeur de $0$ .

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x$

$0$

Étape 1.2

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $x^{3}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x^{3}$ .

$1$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x$

$0$

Étape 1.3

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

$1$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x$

$0$

$x^{3}$

$0$

$1$

Étape 1.4

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $x^{3} + 0 + 0 - 1$

								$1$
$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$0 x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$x$	+	$0$
							-	$x^{3}$	-	$0$	-	$0$	+	$1$

Étape 1.5

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

								$1$
$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$0 x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$x$	+	$0$
							-	$x^{3}$	-	$0$	-	$0$	+	$1$
											+	$x$	+	$1$

Étape 1.6

La réponse finale est le quotient plus le reste sur le diviseur.

$\int 1 + \frac{x + 1}{x^{3} - 1} d x$

Étape 2

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int d x + \int \frac{x + 1}{x^{3} - 1} d x$

Étape 3

Appliquez la règle de la constante.

$x + C + \int \frac{x + 1}{x^{3} - 1} d x$

Étape 4

Écrivez la fraction en utilisant la décomposition en fractions partielles.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1

Décomposez la fraction et multipliez par le dénominateur commun.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.1

Factorisez la fraction.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.1.1

Réécrivez $1$ comme $1^{3}$ .

$\frac{x + 1}{x^{3} - 1^{3}}$

Étape 4.1.1.2

Les deux termes étant des cubes parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des cubes, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ où $a = x$ et $b = 1$ .

$\frac{x + 1}{(x - 1) (x^{2} + x \cdot 1 + 1^{2})}$

Étape 4.1.1.3

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.1.3.1

Multipliez $x$ par $1$ .

$\frac{x + 1}{(x - 1) (x^{2} + x + 1^{2})}$

Étape 4.1.1.3.2

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\frac{x + 1}{(x - 1) (x^{2} + x + 1)}$

Étape 4.1.2

Pour chaque facteur dans le dénominateur, créez une nouvelle fraction en utilisant le facteur comme dénominateur et une valeur inconnue comme numérateur. Comme le facteur dans le dénominateur est linéaire, placez une variable unique à sa place $A$ .

$\frac{A}{x - 1}$

Étape 4.1.3

Pour chaque facteur dans le dénominateur, créez une nouvelle fraction en utilisant le facteur comme dénominateur et une valeur inconnue comme numérateur. Comme le facteur est du deuxième degré, les termes $2$ sont requis dans le numérateur. Le nombre de termes requis dans le numérateur est toujours égal au degré du facteur dans le dénominateur.

$\frac{A}{x - 1} + \frac{B x + C}{x^{2} + x + 1}$

Étape 4.1.4

Multipliez chaque fraction dans l’équation par le dénominateur de l’expression d’origine. Dans ce cas, le dénominateur est $(x - 1) (x^{2} + x + 1)$ .

$\frac{(x + 1) (x - 1) (x^{2} + x + 1)}{(x - 1) (x^{2} + x + 1)} = \frac{(A) (x - 1) (x^{2} + x + 1)}{x - 1} + \frac{(B x + C) (x - 1) (x^{2} + x + 1)}{x^{2} + x + 1}$

Étape 4.1.5

Annulez le facteur commun de $x - 1$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.5.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{(x + 1) (x - 1) (x^{2} + x + 1)}{(x - 1) (x^{2} + x + 1)} = \frac{(A) (x - 1) (x^{2} + x + 1)}{x - 1} + \frac{(B x + C) (x - 1) (x^{2} + x + 1)}{x^{2} + x + 1}$

Étape 4.1.5.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{(x + 1) (x^{2} + x + 1)}{x^{2} + x + 1} = \frac{(A) (x - 1) (x^{2} + x + 1)}{x - 1} + \frac{(B x + C) (x - 1) (x^{2} + x + 1)}{x^{2} + x + 1}$

Étape 4.1.6

Annulez le facteur commun de $x^{2} + x + 1$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.6.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{(x + 1) (x^{2} + x + 1)}{x^{2} + x + 1} = \frac{(A) (x - 1) (x^{2} + x + 1)}{x - 1} + \frac{(B x + C) (x - 1) (x^{2} + x + 1)}{x^{2} + x + 1}$

Étape 4.1.6.2

Divisez $x + 1$ par $1$ .

$x + 1 = \frac{(A) (x - 1) (x^{2} + x + 1)}{x - 1} + \frac{(B x + C) (x - 1) (x^{2} + x + 1)}{x^{2} + x + 1}$

Étape 4.1.7

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.7.1

Annulez le facteur commun de $x - 1$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.7.1.1

Annulez le facteur commun.

$x + 1 = \frac{A (x - 1) (x^{2} + x + 1)}{x - 1} + \frac{(B x + C) (x - 1) (x^{2} + x + 1)}{x^{2} + x + 1}$

Étape 4.1.7.1.2

Divisez $(A) (x^{2} + x + 1)$ par $1$ .

$x + 1 = (A) (x^{2} + x + 1) + \frac{(B x + C) (x - 1) (x^{2} + x + 1)}{x^{2} + x + 1}$

Étape 4.1.7.2

Appliquez la propriété distributive.

$x + 1 = A x^{2} + A x + A \cdot 1 + \frac{(B x + C) (x - 1) (x^{2} + x + 1)}{x^{2} + x + 1}$

Étape 4.1.7.3

Multipliez $A$ par $1$ .

$x + 1 = A x^{2} + A x + A + \frac{(B x + C) (x - 1) (x^{2} + x + 1)}{x^{2} + x + 1}$

Étape 4.1.7.4

Annulez le facteur commun de $x^{2} + x + 1$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.7.4.1

Annulez le facteur commun.

$x + 1 = A x^{2} + A x + A + \frac{(B x + C) (x - 1) (x^{2} + x + 1)}{x^{2} + x + 1}$

Étape 4.1.7.4.2

Divisez $(B x + C) (x - 1)$ par $1$ .

$x + 1 = A x^{2} + A x + A + (B x + C) (x - 1)$

Étape 4.1.7.5

Développez $(B x + C) (x - 1)$ à l’aide de la méthode FOIL.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.7.5.1

Appliquez la propriété distributive.

$x + 1 = A x^{2} + A x + A + B x (x - 1) + C (x - 1)$

Étape 4.1.7.5.2

Appliquez la propriété distributive.

$x + 1 = A x^{2} + A x + A + B x \cdot x + B x \cdot - 1 + C (x - 1)$

Étape 4.1.7.5.3

Appliquez la propriété distributive.

$x + 1 = A x^{2} + A x + A + B x \cdot x + B x \cdot - 1 + C x + C \cdot - 1$

Étape 4.1.7.6

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.7.6.1

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.7.6.1.1

Déplacez $x$ .

$x + 1 = A x^{2} + A x + A + B (x \cdot x) + B x \cdot - 1 + C x + C \cdot - 1$

Étape 4.1.7.6.1.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$x + 1 = A x^{2} + A x + A + B x^{2} + B x \cdot - 1 + C x + C \cdot - 1$

Étape 4.1.7.6.2

Déplacez $- 1$ à gauche de $B x$ .

$x + 1 = A x^{2} + A x + A + B x^{2} - 1 \cdot (B x) + C x + C \cdot - 1$

Étape 4.1.7.6.3

Réécrivez $- 1 (B x)$ comme $- (B x)$ .

$x + 1 = A x^{2} + A x + A + B x^{2} - (B x) + C x + C \cdot - 1$

Étape 4.1.7.6.4

Déplacez $- 1$ à gauche de $C$ .

$x + 1 = A x^{2} + A x + A + B x^{2} - B x + C x - 1 \cdot C$

Étape 4.1.7.6.5

Réécrivez $- 1 C$ comme $- C$ .

$x + 1 = A x^{2} + A x + A + B x^{2} - B x + C x - C$

Étape 4.1.8

Simplifiez l’expression.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.8.1

Remettez dans l’ordre $B$ et $x^{2}$ .

$x + 1 = A x^{2} + A x + A + B x^{2} - B x + C x - C$

Étape 4.1.8.2

Déplacez $B$ .

$x + 1 = A x^{2} + A x + A + B x^{2} - 1 x B + C x - C$

Étape 4.1.8.3

Déplacez $A$ .

$x + 1 = A x^{2} + A x + B x^{2} - 1 x B + C x + A - C$

Étape 4.1.8.4

Déplacez $A x$ .

$x + 1 = A x^{2} + B x^{2} + A x - 1 x B + C x + A - C$

Étape 4.2

Créez des équations pour les variables de fractions partielles et utilisez-les pour définir un système d’équations.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.1

Créez une équation pour les variables de fractions partielles en faisant correspondre les coefficients de $x^{2}$ de chaque côté de l’équation. Pour que l’équation soit égale, les coefficients équivalents de chaque côté de l’équation doivent être égaux.

$0 = A + B$

Étape 4.2.2

Créez une équation pour les variables de fractions partielles en faisant correspondre les coefficients de $x$ de chaque côté de l’équation. Pour que l’équation soit égale, les coefficients équivalents de chaque côté de l’équation doivent être égaux.

$1 = A - 1 B + C$

Étape 4.2.3

Créez une équation pour les variables de fractions partielles en faisant correspondre les coefficients des termes qui ne contiennent pas $x$ . Pour que l’équation soit égale, les coefficients équivalents de chaque côté de l’équation doivent être égaux.

$1 = A - 1 C$

Étape 4.2.4

Définissez le système d’équations pour déterminer les coefficients des fractions partielles.

$0 = A + B$

$1 = A - 1 B + C$

$1 = A - 1 C$

$0 = A + B$

$1 = A - 1 B + C$

$1 = A - 1 C$

Étape 4.3

Résolvez le système d’équations.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.1

Résolvez $A$ dans $0 = A + B$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.1.1

Réécrivez l’équation comme $A + B = 0$ .

$A + B = 0$

$1 = A - 1 B + C$

$1 = A - 1 C$

Étape 4.3.1.2

Soustrayez $B$ des deux côtés de l’équation.

$A = - B$

$1 = A - 1 B + C$

$1 = A - 1 C$

$A = - B$

$1 = A - 1 B + C$

$1 = A - 1 C$

Étape 4.3.2

Remplacez toutes les occurrences de $A$ par $- B$ dans chaque équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.2.1

Remplacez toutes les occurrences de $A$ dans $1 = A - 1 B + C$ par $- B$ .

$1 = (- B) - 1 B + C$

$A = - B$

$1 = A - 1 C$

Étape 4.3.2.2

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.2.2.1

Simplifiez $(- B) - 1 B + C$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.2.2.1.1

Réécrivez $- 1 B$ comme $- B$ .

$1 = - B - B + C$

$A = - B$

$1 = A - 1 C$

Étape 4.3.2.2.1.2

Soustrayez $B$ de $- B$ .

$1 = - 2 B + C$

$A = - B$

$1 = A - 1 C$

$1 = - 2 B + C$

$A = - B$

$1 = A - 1 C$

$1 = - 2 B + C$

$A = - B$

$1 = A - 1 C$

Étape 4.3.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $A$ dans $1 = A - 1 C$ par $- B$ .

$1 = (- B) - 1 C$

$1 = - 2 B + C$

$A = - B$

Étape 4.3.2.4

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.2.4.1

Réécrivez $- 1 C$ comme $- C$ .

$1 = - B - C$

$1 = - 2 B + C$

$A = - B$

$1 = - B - C$

$1 = - 2 B + C$

$A = - B$

$1 = - B - C$

$1 = - 2 B + C$

$A = - B$

Étape 4.3.3

Résolvez $C$ dans $1 = - 2 B + C$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.3.1

Réécrivez l’équation comme $- 2 B + C = 1$ .

$- 2 B + C = 1$

$1 = - B - C$

$A = - B$

Étape 4.3.3.2

Ajoutez $2 B$ aux deux côtés de l’équation.

$C = 1 + 2 B$

$1 = - B - C$

$A = - B$

$C = 1 + 2 B$

$1 = - B - C$

$A = - B$

Étape 4.3.4

Remplacez toutes les occurrences de $C$ par $1 + 2 B$ dans chaque équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.4.1

Remplacez toutes les occurrences de $C$ dans $1 = - B - C$ par $1 + 2 B$ .

$1 = - B - (1 + 2 B)$

$C = 1 + 2 B$

$A = - B$

Étape 4.3.4.2

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.4.2.1

Simplifiez $- B - (1 + 2 B)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.4.2.1.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.4.2.1.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$1 = - B - 1 \cdot 1 - (2 B)$

$C = 1 + 2 B$

$A = - B$

Étape 4.3.4.2.1.1.2

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$1 = - B - 1 - (2 B)$

$C = 1 + 2 B$

$A = - B$

Étape 4.3.4.2.1.1.3

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$1 = - B - 1 - 2 B$

$C = 1 + 2 B$

$A = - B$

$1 = - B - 1 - 2 B$

$C = 1 + 2 B$

$A = - B$

Étape 4.3.4.2.1.2

Soustrayez $2 B$ de $- B$ .

$1 = - 3 B - 1$

$C = 1 + 2 B$

$A = - B$

$1 = - 3 B - 1$

$C = 1 + 2 B$

$A = - B$

$1 = - 3 B - 1$

$C = 1 + 2 B$

$A = - B$

$1 = - 3 B - 1$

$C = 1 + 2 B$

$A = - B$

Étape 4.3.5

Résolvez $B$ dans $1 = - 3 B - 1$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.5.1

Réécrivez l’équation comme $- 3 B - 1 = 1$ .

$- 3 B - 1 = 1$

$C = 1 + 2 B$

$A = - B$

Étape 4.3.5.2

Déplacez tous les termes ne contenant pas $B$ du côté droit de l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.5.2.1

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$- 3 B = 1 + 1$

$C = 1 + 2 B$

$A = - B$

Étape 4.3.5.2.2

Additionnez $1$ et $1$ .

$- 3 B = 2$

$C = 1 + 2 B$

$A = - B$

$- 3 B = 2$

$C = 1 + 2 B$

$A = - B$

Étape 4.3.5.3

Divisez chaque terme dans $- 3 B = 2$ par $- 3$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.5.3.1

Divisez chaque terme dans $- 3 B = 2$ par $- 3$ .

$\frac{- 3 B}{- 3} = \frac{2}{- 3}$

$C = 1 + 2 B$

$A = - B$

Étape 4.3.5.3.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.5.3.2.1

Annulez le facteur commun de $- 3$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.5.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 3 B}{- 3} = \frac{2}{- 3}$

$C = 1 + 2 B$

$A = - B$

Étape 4.3.5.3.2.1.2

Divisez $B$ par $1$ .

$B = \frac{2}{- 3}$

$C = 1 + 2 B$

$A = - B$

$B = \frac{2}{- 3}$

$C = 1 + 2 B$

$A = - B$

$B = \frac{2}{- 3}$

$C = 1 + 2 B$

$A = - B$

Étape 4.3.5.3.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.5.3.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$B = - \frac{2}{3}$

$C = 1 + 2 B$

$A = - B$

$B = - \frac{2}{3}$

$C = 1 + 2 B$

$A = - B$

$B = - \frac{2}{3}$

$C = 1 + 2 B$

$A = - B$

$B = - \frac{2}{3}$

$C = 1 + 2 B$

$A = - B$

Étape 4.3.6

Remplacez toutes les occurrences de $B$ par $- \frac{2}{3}$ dans chaque équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.6.1

Remplacez toutes les occurrences de $B$ dans $C = 1 + 2 B$ par $- \frac{2}{3}$ .

$C = 1 + 2 (- \frac{2}{3})$

$B = - \frac{2}{3}$

$A = - B$

Étape 4.3.6.2

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.6.2.1

Simplifiez $1 + 2 (- \frac{2}{3})$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.6.2.1.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.6.2.1.1.1

Multipliez $2 (- \frac{2}{3})$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.6.2.1.1.1.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$C = 1 - 2 (\frac{2}{3})$

$B = - \frac{2}{3}$

$A = - B$

Étape 4.3.6.2.1.1.1.2

Associez $- 2$ et $\frac{2}{3}$ .

$C = 1 + \frac{- 2 \cdot 2}{3}$

$B = - \frac{2}{3}$

$A = - B$

Étape 4.3.6.2.1.1.1.3

Multipliez $- 2$ par $2$ .

$C = 1 + \frac{- 4}{3}$

$B = - \frac{2}{3}$

$A = - B$

$C = 1 + \frac{- 4}{3}$

$B = - \frac{2}{3}$

$A = - B$

Étape 4.3.6.2.1.1.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$C = 1 - \frac{4}{3}$

$B = - \frac{2}{3}$

$A = - B$

$C = 1 - \frac{4}{3}$

$B = - \frac{2}{3}$

$A = - B$

Étape 4.3.6.2.1.2

Simplifiez l’expression.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.6.2.1.2.1

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$C = \frac{3}{3} - \frac{4}{3}$

$B = - \frac{2}{3}$

$A = - B$

Étape 4.3.6.2.1.2.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$C = \frac{3 - 4}{3}$

$B = - \frac{2}{3}$

$A = - B$

Étape 4.3.6.2.1.2.3

Soustrayez $4$ de $3$ .

$C = \frac{- 1}{3}$

$B = - \frac{2}{3}$

$A = - B$

Étape 4.3.6.2.1.2.4

Placez le signe moins devant la fraction.

$C = - \frac{1}{3}$

$B = - \frac{2}{3}$

$A = - B$

$C = - \frac{1}{3}$

$B = - \frac{2}{3}$

$A = - B$

$C = - \frac{1}{3}$

$B = - \frac{2}{3}$

$A = - B$

$C = - \frac{1}{3}$

$B = - \frac{2}{3}$

$A = - B$

Étape 4.3.6.3

Remplacez toutes les occurrences de $B$ dans $A = - B$ par $- \frac{2}{3}$ .

$A = - (- \frac{2}{3})$

$C = - \frac{1}{3}$

$B = - \frac{2}{3}$

Étape 4.3.6.4

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.6.4.1

Multipliez $- (- \frac{2}{3})$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.6.4.1.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$A = 1 (\frac{2}{3})$

$C = - \frac{1}{3}$

$B = - \frac{2}{3}$

Étape 4.3.6.4.1.2

Multipliez $\frac{2}{3}$ par $1$ .

$A = \frac{2}{3}$

$C = - \frac{1}{3}$

$B = - \frac{2}{3}$

$A = \frac{2}{3}$

$C = - \frac{1}{3}$

$B = - \frac{2}{3}$

$A = \frac{2}{3}$

$C = - \frac{1}{3}$

$B = - \frac{2}{3}$

$A = \frac{2}{3}$

$C = - \frac{1}{3}$

$B = - \frac{2}{3}$

Étape 4.3.7

Indiquez toutes les solutions.

$A = \frac{2}{3}, C = - \frac{1}{3}, B = - \frac{2}{3}$

Étape 4.4

Remplacez chacun des coefficients de fractions partielles dans $\frac{A}{x - 1} + \frac{B x + C}{x^{2} + x + 1}$ par les valeurs trouvées pour $A$ , $B$ et $C$ .

$\frac{\frac{2}{3}}{x - 1} + \frac{- \frac{2}{3 x} - \frac{1}{3}}{x^{2} + x + 1}$

Étape 4.5

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.5.1

Multiply the numerator and denominator of the fraction by $3$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.5.1.1

Multipliez $\frac{- \frac{2}{3} \cdot x - \frac{1}{3}}{x^{2} + x + 1}$ par $\frac{3}{3}$ .

$\frac{\frac{2}{3}}{x - 1} + \frac{3}{3} \cdot \frac{- \frac{2}{3} x - \frac{1}{3}}{x^{2} + x + 1}$

Étape 4.5.1.2

Associez.

$\frac{\frac{2}{3}}{x - 1} + \frac{3 (- \frac{2}{3} x - \frac{1}{3})}{3 (x^{2} + x + 1)}$

Étape 4.5.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{\frac{2}{3}}{x - 1} + \frac{3 (- \frac{2}{3} x) + 3 (- \frac{1}{3})}{3 x^{2} + 3 x + 3 \cdot 1}$

Étape 4.5.3

Annulez le facteur commun de $3$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.5.3.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{1}{3}$ dans le numérateur.

$\frac{\frac{2}{3}}{x - 1} + \frac{3 (- \frac{2}{3} x) + 3 (\frac{- 1}{3})}{3 x^{2} + 3 x + 3 \cdot 1}$

Étape 4.5.3.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{\frac{2}{3}}{x - 1} + \frac{3 (- \frac{2}{3} x) + 3 (\frac{- 1}{3})}{3 x^{2} + 3 x + 3 \cdot 1}$

Étape 4.5.3.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{\frac{2}{3}}{x - 1} + \frac{3 (- \frac{2}{3} x) - 1}{3 x^{2} + 3 x + 3 \cdot 1}$

Étape 4.5.4

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.5.4.1

Associez $x$ et $\frac{2}{3}$ .

$\frac{\frac{2}{3}}{x - 1} + \frac{3 (- \frac{x \cdot 2}{3}) - 1}{3 x^{2} + 3 x + 3 \cdot 1}$

Étape 4.5.4.2

Annulez le facteur commun de $3$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.5.4.2.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{x \cdot 2}{3}$ dans le numérateur.

$\frac{\frac{2}{3}}{x - 1} + \frac{3 (\frac{- x \cdot 2}{3}) - 1}{3 x^{2} + 3 x + 3 \cdot 1}$

Étape 4.5.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{\frac{2}{3}}{x - 1} + \frac{3 (\frac{- x \cdot 2}{3}) - 1}{3 x^{2} + 3 x + 3 \cdot 1}$

Étape 4.5.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{\frac{2}{3}}{x - 1} + \frac{- x \cdot 2 - 1}{3 x^{2} + 3 x + 3 \cdot 1}$

Étape 4.5.4.3

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\frac{\frac{2}{3}}{x - 1} + \frac{- 2 x - 1}{3 x^{2} + 3 x + 3 \cdot 1}$

Étape 4.5.5

Simplifiez en factorisant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.5.5.1

Factorisez $3$ à partir de $3 x^{2} + 3 x + 3 \cdot 1$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.5.5.1.1

Factorisez $3$ à partir de $3 x^{2}$ .

$\frac{\frac{2}{3}}{x - 1} + \frac{- 2 x - 1}{3 (x^{2}) + 3 x + 3 \cdot 1}$

Étape 4.5.5.1.2

Factorisez $3$ à partir de $3 x$ .

$\frac{\frac{2}{3}}{x - 1} + \frac{- 2 x - 1}{3 (x^{2}) + 3 (x) + 3 \cdot 1}$

Étape 4.5.5.1.3

Factorisez $3$ à partir de $3 \cdot 1$ .

$\frac{\frac{2}{3}}{x - 1} + \frac{- 2 x - 1}{3 (x^{2}) + 3 (x) + 3 (1)}$

Étape 4.5.5.1.4

Factorisez $3$ à partir de $3 (x^{2}) + 3 (x)$ .

$\frac{\frac{2}{3}}{x - 1} + \frac{- 2 x - 1}{3 (x^{2} + x) + 3 (1)}$

Étape 4.5.5.1.5

Factorisez $3$ à partir de $3 (x^{2} + x) + 3 (1)$ .

$\frac{\frac{2}{3}}{x - 1} + \frac{- 2 x - 1}{3 (x^{2} + x + 1)}$

Étape 4.5.5.2

Factorisez $- 1$ à partir de $- 2 x$ .

$\frac{\frac{2}{3}}{x - 1} + \frac{- (2 x) - 1}{3 (x^{2} + x + 1)}$

Étape 4.5.5.3

Réécrivez $- 1$ comme $- 1 (1)$ .

$\frac{\frac{2}{3}}{x - 1} + \frac{- (2 x) - 1 \cdot 1}{3 (x^{2} + x + 1)}$

Étape 4.5.5.4

Factorisez $- 1$ à partir de $- (2 x) - 1 (1)$ .

$\frac{\frac{2}{3}}{x - 1} + \frac{- (2 x + 1)}{3 (x^{2} + x + 1)}$

Étape 4.5.5.5

Simplifiez l’expression.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.5.5.5.1

Réécrivez $- (2 x + 1)$ comme $- 1 (2 x + 1)$ .

$\frac{\frac{2}{3}}{x - 1} + \frac{- 1 (2 x + 1)}{3 (x^{2} + x + 1)}$

Étape 4.5.5.5.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{\frac{2}{3}}{x - 1} - \frac{2 x + 1}{3 (x^{2} + x + 1)}$

Étape 4.5.6

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{x - 1} - \frac{2 x + 1}{3 (x^{2} + x + 1)}$

Étape 4.5.7

Multipliez $\frac{2}{3}$ par $\frac{1}{x - 1}$ .

$x + C + \int \frac{2}{3 (x - 1)} - \frac{2 x + 1}{3 (x^{2} + x + 1)} d x$

Étape 5

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$x + C + \int \frac{2}{3 (x - 1)} d x + \int - \frac{2 x + 1}{3 (x^{2} + x + 1)} d x$

Étape 6

Comme $\frac{2}{3}$ est constant par rapport à $x$ , placez $\frac{2}{3}$ en dehors de l’intégrale.

$x + C + \frac{2}{3} \int \frac{1}{x - 1} d x + \int - \frac{2 x + 1}{3 (x^{2} + x + 1)} d x$

Étape 7

Laissez $u_{1} = x - 1$ . Puis $d u_{1} = d x$ . Réécrivez avec $u_{1}$ et $d$ $u_{1}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.1

Laissez $u_{1} = x - 1$ . Déterminez $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.1.1

Différenciez $x - 1$ .

$\frac{d}{d x} [x - 1]$

Étape 7.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x - 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 7.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 7.1.4

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$1 + 0$

Étape 7.1.5

Additionnez $1$ et $0$ .

$1$

Étape 7.2

Réécrivez le problème en utilisant $u_{1}$ et $d u_{1}$ .

$x + C + \frac{2}{3} \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} + \int - \frac{2 x + 1}{3 (x^{2} + x + 1)} d x$

Étape 8

L’intégrale de $\frac{1}{u_{1}}$ par rapport à $u_{1}$ est $\ln (| u_{1} |)$ .

$x + C + \frac{2}{3} (\ln (| u_{1} |) + C) + \int - \frac{2 x + 1}{3 (x^{2} + x + 1)} d x$

Étape 9

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$x + C + \frac{2}{3} (\ln (| u_{1} |) + C) - \int \frac{2 x + 1}{3 (x^{2} + x + 1)} d x$

Étape 10

Comme $\frac{1}{3}$ est constant par rapport à $x$ , placez $\frac{1}{3}$ en dehors de l’intégrale.

$x + C + \frac{2}{3} (\ln (| u_{1} |) + C) - (\frac{1}{3} \int \frac{2 x + 1}{x^{2} + x + 1} d x)$

Étape 11

Laissez $u_{2} = x^{2} + x + 1$ . Alors $d u_{2} = (2 x + 1) d x$ , donc $\frac{1}{2 x + 1} d u_{2} = d x$ . Réécrivez avec $u_{2}$ et $d$ $u_{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 11.1

Laissez $u_{2} = x^{2} + x + 1$ . Déterminez $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 11.1.1

Différenciez $x^{2} + x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} + x + 1]$

Étape 11.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} + x + 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 11.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 11.1.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$2 x + 1 + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 11.1.5

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$2 x + 1 + 0$

Étape 11.1.6

Additionnez $2 x + 1$ et $0$ .

$2 x + 1$

Étape 11.2

Réécrivez le problème en utilisant $u_{2}$ et $d u_{2}$ .

$x + C + \frac{2}{3} (\ln (| u_{1} |) + C) - \frac{1}{3} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Étape 12

L’intégrale de $\frac{1}{u_{2}}$ par rapport à $u_{2}$ est $\ln (| u_{2} |)$ .

$x + C + \frac{2}{3} (\ln (| u_{1} |) + C) - \frac{1}{3} (\ln (| u_{2} |) + C)$

Étape 13

Simplifiez

$x + \frac{2}{3} \ln (| u_{1} |) - \frac{1}{3} \ln (| u_{2} |) + C$

Étape 14

Remplacez à nouveau pour chaque variable de substitution de l’intégration.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 14.1

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $x - 1$ .

$x + \frac{2}{3} \ln (| x - 1 |) - \frac{1}{3} \ln (| u_{2} |) + C$

Étape 14.2

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $x^{2} + x + 1$ .

$x + \frac{2}{3} \ln (| x - 1 |) - \frac{1}{3} \ln (| x^{2} + x + 1 |) + C$

Saisissez VOTRE problème