Calcul infinitésimal Exemples

$\int \frac{x^{2} + 2 x - 1}{2 x^{3} + 3 x^{2} - 2 x} d x$

Étape 1

Écrivez la fraction en utilisant la décomposition en fractions partielles.

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Étape 1.1

Décomposez la fraction et multipliez par le dénominateur commun.

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Étape 1.1.1

Factorisez la fraction.

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Étape 1.1.1.1

Factorisez $x$ à partir de $2 x^{3} + 3 x^{2} - 2 x$ .

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Étape 1.1.1.1.1

Factorisez $x$ à partir de $2 x^{3}$ .

$\frac{x^{2} + 2 x - 1}{x (2 x^{2}) + 3 x^{2} - 2 x}$

Étape 1.1.1.1.2

Factorisez $x$ à partir de $3 x^{2}$ .

$\frac{x^{2} + 2 x - 1}{x (2 x^{2}) + x (3 x) - 2 x}$

Étape 1.1.1.1.3

Factorisez $x$ à partir de $- 2 x$ .

$\frac{x^{2} + 2 x - 1}{x (2 x^{2}) + x (3 x) + x \cdot - 2}$

Étape 1.1.1.1.4

Factorisez $x$ à partir de $x (2 x^{2}) + x (3 x)$ .

$\frac{x^{2} + 2 x - 1}{x (2 x^{2} + 3 x) + x \cdot - 2}$

Étape 1.1.1.1.5

Factorisez $x$ à partir de $x (2 x^{2} + 3 x) + x \cdot - 2$ .

$\frac{x^{2} + 2 x - 1}{x (2 x^{2} + 3 x - 2)}$

Étape 1.1.1.2

Factorisez.

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Étape 1.1.1.2.1

Factorisez par regroupement.

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Étape 1.1.1.2.1.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = 2 \cdot - 2 = - 4$ et dont la somme est $b = 3$ .

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Étape 1.1.1.2.1.1.1

Factorisez $3$ à partir de $3 x$ .

$\frac{x^{2} + 2 x - 1}{x (2 x^{2} + 3 (x) - 2)}$

Étape 1.1.1.2.1.1.2

Réécrivez $3$ comme $- 1$ plus $4$

$\frac{x^{2} + 2 x - 1}{x (2 x^{2} + (- 1 + 4) x - 2)}$

Étape 1.1.1.2.1.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x^{2} + 2 x - 1}{x (2 x^{2} - 1 x + 4 x - 2)}$

Étape 1.1.1.2.1.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 1.1.1.2.1.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$\frac{x^{2} + 2 x - 1}{x ((2 x^{2} - 1 x) + 4 x - 2)}$

Étape 1.1.1.2.1.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$\frac{x^{2} + 2 x - 1}{x (x (2 x - 1) + 2 (2 x - 1))}$

Étape 1.1.1.2.1.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $2 x - 1$ .

$\frac{x^{2} + 2 x - 1}{x ((2 x - 1) (x + 2))}$

Étape 1.1.1.2.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$\frac{x^{2} + 2 x - 1}{x (2 x - 1) (x + 2)}$

Étape 1.1.2

Pour chaque facteur dans le dénominateur, créez une nouvelle fraction en utilisant le facteur comme dénominateur et une valeur inconnue comme numérateur. Comme le facteur dans le dénominateur est linéaire, placez une variable unique à sa place $B$ .

$\frac{A}{x} + \frac{B}{2 x - 1}$

Étape 1.1.3

$\frac{A}{x} + \frac{B}{2 x - 1} + \frac{C}{x + 2}$

Étape 1.1.4

Multipliez chaque fraction dans l’équation par le dénominateur de l’expression d’origine. Dans ce cas, le dénominateur est $x (2 x - 1) (x + 2)$ .

$\frac{(x^{2} + 2 x - 1) (x (2 x - 1) (x + 2))}{x (2 x - 1) (x + 2)} = \frac{A (x (2 x - 1) (x + 2))}{x} + \frac{(B) (x (2 x - 1) (x + 2))}{2 x - 1} + \frac{(C) (x (2 x - 1) (x + 2))}{x + 2}$

Étape 1.1.5

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 1.1.5.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{(x^{2} + 2 x - 1) (x (2 x - 1) (x + 2))}{x (2 x - 1) (x + 2)} = \frac{A (x (2 x - 1) (x + 2))}{x} + \frac{(B) (x (2 x - 1) (x + 2))}{2 x - 1} + \frac{(C) (x (2 x - 1) (x + 2))}{x + 2}$

Étape 1.1.5.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{(x^{2} + 2 x - 1) ((2 x - 1) (x + 2))}{(2 x - 1) (x + 2)} = \frac{A (x (2 x - 1) (x + 2))}{x} + \frac{(B) (x (2 x - 1) (x + 2))}{2 x - 1} + \frac{(C) (x (2 x - 1) (x + 2))}{x + 2}$

Étape 1.1.6

Annulez le facteur commun de $2 x - 1$ .

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Étape 1.1.6.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{(x^{2} + 2 x - 1) ((2 x - 1) (x + 2))}{(2 x - 1) (x + 2)} = \frac{A (x (2 x - 1) (x + 2))}{x} + \frac{(B) (x (2 x - 1) (x + 2))}{2 x - 1} + \frac{(C) (x (2 x - 1) (x + 2))}{x + 2}$

Étape 1.1.6.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{(x^{2} + 2 x - 1) (x + 2)}{x + 2} = \frac{A (x (2 x - 1) (x + 2))}{x} + \frac{(B) (x (2 x - 1) (x + 2))}{2 x - 1} + \frac{(C) (x (2 x - 1) (x + 2))}{x + 2}$

Étape 1.1.7

Annulez le facteur commun de $x + 2$ .

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Étape 1.1.7.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{(x^{2} + 2 x - 1) (x + 2)}{x + 2} = \frac{A (x (2 x - 1) (x + 2))}{x} + \frac{(B) (x (2 x - 1) (x + 2))}{2 x - 1} + \frac{(C) (x (2 x - 1) (x + 2))}{x + 2}$

Étape 1.1.7.2

Divisez $x^{2} + 2 x - 1$ par $1$ .

$x^{2} + 2 x - 1 = \frac{A (x (2 x - 1) (x + 2))}{x} + \frac{(B) (x (2 x - 1) (x + 2))}{2 x - 1} + \frac{(C) (x (2 x - 1) (x + 2))}{x + 2}$

Étape 1.1.8

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1.8.1

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 1.1.8.1.1

Annulez le facteur commun.

$x^{2} + 2 x - 1 = \frac{A (x (2 x - 1) (x + 2))}{x} + \frac{(B) (x (2 x - 1) (x + 2))}{2 x - 1} + \frac{(C) (x (2 x - 1) (x + 2))}{x + 2}$

Étape 1.1.8.1.2

Divisez $A ((2 x - 1) (x + 2))$ par $1$ .

$x^{2} + 2 x - 1 = A ((2 x - 1) (x + 2)) + \frac{(B) (x (2 x - 1) (x + 2))}{2 x - 1} + \frac{(C) (x (2 x - 1) (x + 2))}{x + 2}$

Étape 1.1.8.2

Développez $(2 x - 1) (x + 2)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 1.1.8.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$x^{2} + 2 x - 1 = A (2 x (x + 2) - 1 (x + 2)) + \frac{(B) (x (2 x - 1) (x + 2))}{2 x - 1} + \frac{(C) (x (2 x - 1) (x + 2))}{x + 2}$

Étape 1.1.8.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$x^{2} + 2 x - 1 = A (2 x \cdot x + 2 x \cdot 2 - 1 (x + 2)) + \frac{(B) (x (2 x - 1) (x + 2))}{2 x - 1} + \frac{(C) (x (2 x - 1) (x + 2))}{x + 2}$

Étape 1.1.8.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$x^{2} + 2 x - 1 = A (2 x \cdot x + 2 x \cdot 2 - 1 x - 1 \cdot 2) + \frac{(B) (x (2 x - 1) (x + 2))}{2 x - 1} + \frac{(C) (x (2 x - 1) (x + 2))}{x + 2}$

Étape 1.1.8.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 1.1.8.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1.8.3.1.1

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.1.8.3.1.1.1

Déplacez $x$ .

$x^{2} + 2 x - 1 = A (2 (x \cdot x) + 2 x \cdot 2 - 1 x - 1 \cdot 2) + \frac{(B) (x (2 x - 1) (x + 2))}{2 x - 1} + \frac{(C) (x (2 x - 1) (x + 2))}{x + 2}$

Étape 1.1.8.3.1.1.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$x^{2} + 2 x - 1 = A (2 x^{2} + 2 x \cdot 2 - 1 x - 1 \cdot 2) + \frac{(B) (x (2 x - 1) (x + 2))}{2 x - 1} + \frac{(C) (x (2 x - 1) (x + 2))}{x + 2}$

Étape 1.1.8.3.1.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$x^{2} + 2 x - 1 = A (2 x^{2} + 4 x - 1 x - 1 \cdot 2) + \frac{(B) (x (2 x - 1) (x + 2))}{2 x - 1} + \frac{(C) (x (2 x - 1) (x + 2))}{x + 2}$

Étape 1.1.8.3.1.3

Réécrivez $- 1 x$ comme $- x$ .

$x^{2} + 2 x - 1 = A (2 x^{2} + 4 x - x - 1 \cdot 2) + \frac{(B) (x (2 x - 1) (x + 2))}{2 x - 1} + \frac{(C) (x (2 x - 1) (x + 2))}{x + 2}$

Étape 1.1.8.3.1.4

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$x^{2} + 2 x - 1 = A (2 x^{2} + 4 x - x - 2) + \frac{(B) (x (2 x - 1) (x + 2))}{2 x - 1} + \frac{(C) (x (2 x - 1) (x + 2))}{x + 2}$

Étape 1.1.8.3.2

Soustrayez $x$ de $4 x$ .

$x^{2} + 2 x - 1 = A (2 x^{2} + 3 x - 2) + \frac{(B) (x (2 x - 1) (x + 2))}{2 x - 1} + \frac{(C) (x (2 x - 1) (x + 2))}{x + 2}$

Étape 1.1.8.4

Appliquez la propriété distributive.

$x^{2} + 2 x - 1 = A (2 x^{2}) + A (3 x) + A \cdot - 2 + \frac{(B) (x (2 x - 1) (x + 2))}{2 x - 1} + \frac{(C) (x (2 x - 1) (x + 2))}{x + 2}$

Étape 1.1.8.5

Simplifiez

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Étape 1.1.8.5.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$x^{2} + 2 x - 1 = 2 A x^{2} + A (3 x) + A \cdot - 2 + \frac{(B) (x (2 x - 1) (x + 2))}{2 x - 1} + \frac{(C) (x (2 x - 1) (x + 2))}{x + 2}$

Étape 1.1.8.5.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$x^{2} + 2 x - 1 = 2 A x^{2} + 3 A x + A \cdot - 2 + \frac{(B) (x (2 x - 1) (x + 2))}{2 x - 1} + \frac{(C) (x (2 x - 1) (x + 2))}{x + 2}$

Étape 1.1.8.5.3

Déplacez $- 2$ à gauche de $A$ .

$x^{2} + 2 x - 1 = 2 A x^{2} + 3 A x - 2 \cdot A + \frac{(B) (x (2 x - 1) (x + 2))}{2 x - 1} + \frac{(C) (x (2 x - 1) (x + 2))}{x + 2}$

Étape 1.1.8.6

Annulez le facteur commun de $2 x - 1$ .

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Étape 1.1.8.6.1

Annulez le facteur commun.

$x^{2} + 2 x - 1 = 2 A x^{2} + 3 A x - 2 A + \frac{B (x (2 x - 1) (x + 2))}{2 x - 1} + \frac{(C) (x (2 x - 1) (x + 2))}{x + 2}$

Étape 1.1.8.6.2

Divisez $(B) (x (x + 2))$ par $1$ .

$x^{2} + 2 x - 1 = 2 A x^{2} + 3 A x - 2 A + (B) (x (x + 2)) + \frac{(C) (x (2 x - 1) (x + 2))}{x + 2}$

Étape 1.1.8.7

Appliquez la propriété distributive.

$x^{2} + 2 x - 1 = 2 A x^{2} + 3 A x - 2 A + B (x \cdot x + x \cdot 2) + \frac{(C) (x (2 x - 1) (x + 2))}{x + 2}$

Étape 1.1.8.8

Multipliez $x$ par $x$ .

$x^{2} + 2 x - 1 = 2 A x^{2} + 3 A x - 2 A + B (x^{2} + x \cdot 2) + \frac{(C) (x (2 x - 1) (x + 2))}{x + 2}$

Étape 1.1.8.9

Déplacez $2$ à gauche de $x$ .

$x^{2} + 2 x - 1 = 2 A x^{2} + 3 A x - 2 A + B (x^{2} + 2 \cdot x) + \frac{(C) (x (2 x - 1) (x + 2))}{x + 2}$

Étape 1.1.8.10

Appliquez la propriété distributive.

$x^{2} + 2 x - 1 = 2 A x^{2} + 3 A x - 2 A + B x^{2} + B (2 x) + \frac{(C) (x (2 x - 1) (x + 2))}{x + 2}$

Étape 1.1.8.11

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$x^{2} + 2 x - 1 = 2 A x^{2} + 3 A x - 2 A + B x^{2} + 2 B x + \frac{(C) (x (2 x - 1) (x + 2))}{x + 2}$

Étape 1.1.8.12

Annulez le facteur commun de $x + 2$ .

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Étape 1.1.8.12.1

Annulez le facteur commun.

$x^{2} + 2 x - 1 = 2 A x^{2} + 3 A x - 2 A + B x^{2} + 2 B x + \frac{C (x (2 x - 1) (x + 2))}{x + 2}$

Étape 1.1.8.12.2

Divisez $(C) (x (2 x - 1))$ par $1$ .

$x^{2} + 2 x - 1 = 2 A x^{2} + 3 A x - 2 A + B x^{2} + 2 B x + (C) (x (2 x - 1))$

Étape 1.1.8.13

Appliquez la propriété distributive.

$x^{2} + 2 x - 1 = 2 A x^{2} + 3 A x - 2 A + B x^{2} + 2 B x + C (x (2 x) + x \cdot - 1)$

Étape 1.1.8.14

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$x^{2} + 2 x - 1 = 2 A x^{2} + 3 A x - 2 A + B x^{2} + 2 B x + C (2 x \cdot x + x \cdot - 1)$

Étape 1.1.8.15

Déplacez $- 1$ à gauche de $x$ .

$x^{2} + 2 x - 1 = 2 A x^{2} + 3 A x - 2 A + B x^{2} + 2 B x + C (2 x \cdot x - 1 \cdot x)$

Étape 1.1.8.16

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1.8.16.1

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.1.8.16.1.1

Déplacez $x$ .

$x^{2} + 2 x - 1 = 2 A x^{2} + 3 A x - 2 A + B x^{2} + 2 B x + C (2 (x \cdot x) - 1 \cdot x)$

Étape 1.1.8.16.1.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$x^{2} + 2 x - 1 = 2 A x^{2} + 3 A x - 2 A + B x^{2} + 2 B x + C (2 x^{2} - 1 \cdot x)$

Étape 1.1.8.16.2

Réécrivez $- 1 x$ comme $- x$ .

$x^{2} + 2 x - 1 = 2 A x^{2} + 3 A x - 2 A + B x^{2} + 2 B x + C (2 x^{2} - x)$

Étape 1.1.8.17

Appliquez la propriété distributive.

$x^{2} + 2 x - 1 = 2 A x^{2} + 3 A x - 2 A + B x^{2} + 2 B x + C (2 x^{2}) + C (- x)$

Étape 1.1.8.18

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$x^{2} + 2 x - 1 = 2 A x^{2} + 3 A x - 2 A + B x^{2} + 2 B x + 2 C x^{2} + C (- x)$

Étape 1.1.8.19

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$x^{2} + 2 x - 1 = 2 A x^{2} + 3 A x - 2 A + B x^{2} + 2 B x + 2 C x^{2} - C x$

Étape 1.1.9

Simplifiez l’expression.

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Étape 1.1.9.1

Déplacez $A$ .

$x^{2} + 2 x - 1 = 2 x^{2} A + 3 A x - 2 A + B x^{2} + 2 B x + 2 C x^{2} - C x$

Étape 1.1.9.2

Déplacez $A$ .

$x^{2} + 2 x - 1 = 2 x^{2} A + 3 x A - 2 A + B x^{2} + 2 B x + 2 C x^{2} - C x$

Étape 1.1.9.3

Remettez dans l’ordre $B$ et $x^{2}$ .

$x^{2} + 2 x - 1 = 2 x^{2} A + 3 x A - 2 A + B x^{2} + 2 B x + 2 C x^{2} - C x$

Étape 1.1.9.4

Déplacez $B$ .

$x^{2} + 2 x - 1 = 2 x^{2} A + 3 x A - 2 A + B x^{2} + 2 x B + 2 C x^{2} - C x$

Étape 1.1.9.5

Déplacez $- 2 A$ .

$x^{2} + 2 x - 1 = 2 x^{2} A + 3 x A + B x^{2} + 2 x B + 2 C x^{2} - C x - 2 A$

Étape 1.1.9.6

Déplacez $2 x B$ .

$x^{2} + 2 x - 1 = 2 x^{2} A + 3 x A + B x^{2} + 2 C x^{2} + 2 x B - C x - 2 A$

Étape 1.1.9.7

Déplacez $3 x A$ .

$x^{2} + 2 x - 1 = 2 x^{2} A + B x^{2} + 2 C x^{2} + 3 x A + 2 x B - C x - 2 A$

Étape 1.2

Créez des équations pour les variables de fractions partielles et utilisez-les pour définir un système d’équations.

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Étape 1.2.1

Créez une équation pour les variables de fractions partielles en faisant correspondre les coefficients de $x^{2}$ de chaque côté de l’équation. Pour que l’équation soit égale, les coefficients équivalents de chaque côté de l’équation doivent être égaux.

$1 = 2 A + B + 2 C$

Étape 1.2.2

Créez une équation pour les variables de fractions partielles en faisant correspondre les coefficients de $x$ de chaque côté de l’équation. Pour que l’équation soit égale, les coefficients équivalents de chaque côté de l’équation doivent être égaux.

$2 = 3 A + 2 B - 1 C$

Étape 1.2.3

Créez une équation pour les variables de fractions partielles en faisant correspondre les coefficients des termes qui ne contiennent pas $x$ . Pour que l’équation soit égale, les coefficients équivalents de chaque côté de l’équation doivent être égaux.

$- 1 = - 2 A$

Étape 1.2.4

Définissez le système d’équations pour déterminer les coefficients des fractions partielles.

$1 = 2 A + B + 2 C$

$2 = 3 A + 2 B - 1 C$

$- 1 = - 2 A$

$1 = 2 A + B + 2 C$

$2 = 3 A + 2 B - 1 C$

$- 1 = - 2 A$

Étape 1.3

Résolvez le système d’équations.

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Étape 1.3.1

Résolvez $A$ dans $- 1 = - 2 A$ .

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Étape 1.3.1.1

Réécrivez l’équation comme $- 2 A = - 1$ .

$- 2 A = - 1$

$1 = 2 A + B + 2 C$

$2 = 3 A + 2 B - 1 C$

Étape 1.3.1.2

Divisez chaque terme dans $- 2 A = - 1$ par $- 2$ et simplifiez.

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Étape 1.3.1.2.1

Divisez chaque terme dans $- 2 A = - 1$ par $- 2$ .

$\frac{- 2 A}{- 2} = \frac{- 1}{- 2}$

$1 = 2 A + B + 2 C$

$2 = 3 A + 2 B - 1 C$

Étape 1.3.1.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.3.1.2.2.1

Annulez le facteur commun de $- 2$ .

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Étape 1.3.1.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 2 A}{- 2} = \frac{- 1}{- 2}$

$1 = 2 A + B + 2 C$

$2 = 3 A + 2 B - 1 C$

Étape 1.3.1.2.2.1.2

Divisez $A$ par $1$ .

$A = \frac{- 1}{- 2}$

$1 = 2 A + B + 2 C$

$2 = 3 A + 2 B - 1 C$

$A = \frac{- 1}{- 2}$

$1 = 2 A + B + 2 C$

$2 = 3 A + 2 B - 1 C$

$A = \frac{- 1}{- 2}$

$1 = 2 A + B + 2 C$

$2 = 3 A + 2 B - 1 C$

Étape 1.3.1.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.3.1.2.3.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$A = \frac{1}{2}$

$1 = 2 A + B + 2 C$

$2 = 3 A + 2 B - 1 C$

$A = \frac{1}{2}$

$1 = 2 A + B + 2 C$

$2 = 3 A + 2 B - 1 C$

$A = \frac{1}{2}$

$1 = 2 A + B + 2 C$

$2 = 3 A + 2 B - 1 C$

$A = \frac{1}{2}$

$1 = 2 A + B + 2 C$

$2 = 3 A + 2 B - 1 C$

Étape 1.3.2

Remplacez toutes les occurrences de $A$ par $\frac{1}{2}$ dans chaque équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.2.1

Remplacez toutes les occurrences de $A$ dans $1 = 2 A + B + 2 C$ par $\frac{1}{2}$ .

$1 = 2 (\frac{1}{2}) + B + 2 C$

$A = \frac{1}{2}$

$2 = 3 A + 2 B - 1 C$

Étape 1.3.2.2

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.2.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$1 = 2 (\frac{1}{2}) + B + 2 C$

$A = \frac{1}{2}$

$2 = 3 A + 2 B - 1 C$

Étape 1.3.2.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$1 = 1 + B + 2 C$

$A = \frac{1}{2}$

$2 = 3 A + 2 B - 1 C$

$1 = 1 + B + 2 C$

$A = \frac{1}{2}$

$2 = 3 A + 2 B - 1 C$

$1 = 1 + B + 2 C$

$A = \frac{1}{2}$

$2 = 3 A + 2 B - 1 C$

Étape 1.3.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $A$ dans $2 = 3 A + 2 B - 1 C$ par $\frac{1}{2}$ .

$2 = 3 (\frac{1}{2}) + 2 B - 1 C$

$1 = 1 + B + 2 C$

$A = \frac{1}{2}$

Étape 1.3.2.4

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.2.4.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.2.4.1.1

Associez $3$ et $\frac{1}{2}$ .

$2 = \frac{3}{2} + 2 B - 1 C$

$1 = 1 + B + 2 C$

$A = \frac{1}{2}$

Étape 1.3.2.4.1.2

Réécrivez $- 1 C$ comme $- C$ .

$2 = \frac{3}{2} + 2 B - C$

$1 = 1 + B + 2 C$

$A = \frac{1}{2}$

$2 = \frac{3}{2} + 2 B - C$

$1 = 1 + B + 2 C$

$A = \frac{1}{2}$

$2 = \frac{3}{2} + 2 B - C$

$1 = 1 + B + 2 C$

$A = \frac{1}{2}$

$2 = \frac{3}{2} + 2 B - C$

$1 = 1 + B + 2 C$

$A = \frac{1}{2}$

Étape 1.3.3

Résolvez $B$ dans $1 = 1 + B + 2 C$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.3.1

Réécrivez l’équation comme $1 + B + 2 C = 1$ .

$1 + B + 2 C = 1$

$2 = \frac{3}{2} + 2 B - C$

$A = \frac{1}{2}$

Étape 1.3.3.2

Déplacez tous les termes ne contenant pas $B$ du côté droit de l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.3.2.1

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$B + 2 C = 1 - 1$

$2 = \frac{3}{2} + 2 B - C$

$A = \frac{1}{2}$

Étape 1.3.3.2.2

Soustrayez $2 C$ des deux côtés de l’équation.

$B = 1 - 1 - 2 C$

$2 = \frac{3}{2} + 2 B - C$

$A = \frac{1}{2}$

Étape 1.3.3.2.3

Soustrayez $1$ de $1$ .

$B = 0 - 2 C$

$2 = \frac{3}{2} + 2 B - C$

$A = \frac{1}{2}$

Étape 1.3.3.2.4

Soustrayez $2 C$ de $0$ .

$B = - 2 C$

$2 = \frac{3}{2} + 2 B - C$

$A = \frac{1}{2}$

$B = - 2 C$

$2 = \frac{3}{2} + 2 B - C$

$A = \frac{1}{2}$

$B = - 2 C$

$2 = \frac{3}{2} + 2 B - C$

$A = \frac{1}{2}$

Étape 1.3.4

Remplacez toutes les occurrences de $B$ par $- 2 C$ dans chaque équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.4.1

Remplacez toutes les occurrences de $B$ dans $2 = \frac{3}{2} + 2 B - C$ par $- 2 C$ .

$2 = \frac{3}{2} + 2 (- 2 C) - C$

$B = - 2 C$

$A = \frac{1}{2}$

Étape 1.3.4.2

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.4.2.1

Simplifiez $\frac{3}{2} + 2 (- 2 C) - C$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.4.2.1.1

Multipliez $- 2$ par $2$ .

$2 = \frac{3}{2} - 4 C - C$

$B = - 2 C$

$A = \frac{1}{2}$

Étape 1.3.4.2.1.2

Soustrayez $C$ de $- 4 C$ .

$2 = \frac{3}{2} - 5 C$

$B = - 2 C$

$A = \frac{1}{2}$

$2 = \frac{3}{2} - 5 C$

$B = - 2 C$

$A = \frac{1}{2}$

$2 = \frac{3}{2} - 5 C$

$B = - 2 C$

$A = \frac{1}{2}$

$2 = \frac{3}{2} - 5 C$

$B = - 2 C$

$A = \frac{1}{2}$

Étape 1.3.5

Résolvez $C$ dans $2 = \frac{3}{2} - 5 C$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.5.1

Réécrivez l’équation comme $\frac{3}{2} - 5 C = 2$ .

$\frac{3}{2} - 5 C = 2$

$B = - 2 C$

$A = \frac{1}{2}$

Étape 1.3.5.2

Déplacez tous les termes ne contenant pas $C$ du côté droit de l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.5.2.1

Soustrayez $\frac{3}{2}$ des deux côtés de l’équation.

$- 5 C = 2 - \frac{3}{2}$

$B = - 2 C$

$A = \frac{1}{2}$

Étape 1.3.5.2.2

Pour écrire $2$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$- 5 C = 2 \cdot \frac{2}{2} - \frac{3}{2}$

$B = - 2 C$

$A = \frac{1}{2}$

Étape 1.3.5.2.3

Associez $2$ et $\frac{2}{2}$ .

$- 5 C = \frac{2 \cdot 2}{2} - \frac{3}{2}$

$B = - 2 C$

$A = \frac{1}{2}$

Étape 1.3.5.2.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$- 5 C = \frac{2 \cdot 2 - 3}{2}$

$B = - 2 C$

$A = \frac{1}{2}$

Étape 1.3.5.2.5

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.5.2.5.1

Multipliez $2$ par $2$ .

$- 5 C = \frac{4 - 3}{2}$

$B = - 2 C$

$A = \frac{1}{2}$

Étape 1.3.5.2.5.2

Soustrayez $3$ de $4$ .

$- 5 C = \frac{1}{2}$

$B = - 2 C$

$A = \frac{1}{2}$

$- 5 C = \frac{1}{2}$

$B = - 2 C$

$A = \frac{1}{2}$

$- 5 C = \frac{1}{2}$

$B = - 2 C$

$A = \frac{1}{2}$

Étape 1.3.5.3

Divisez chaque terme dans $- 5 C = \frac{1}{2}$ par $- 5$ et simplifiez.

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Étape 1.3.5.3.1

Divisez chaque terme dans $- 5 C = \frac{1}{2}$ par $- 5$ .

$\frac{- 5 C}{- 5} = \frac{\frac{1}{2}}{- 5}$

$B = - 2 C$

$A = \frac{1}{2}$

Étape 1.3.5.3.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.5.3.2.1

Annulez le facteur commun de $- 5$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.5.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 5 C}{- 5} = \frac{\frac{1}{2}}{- 5}$

$B = - 2 C$

$A = \frac{1}{2}$

Étape 1.3.5.3.2.1.2

Divisez $C$ par $1$ .

$C = \frac{\frac{1}{2}}{- 5}$

$B = - 2 C$

$A = \frac{1}{2}$

$C = \frac{\frac{1}{2}}{- 5}$

$B = - 2 C$

$A = \frac{1}{2}$

$C = \frac{\frac{1}{2}}{- 5}$

$B = - 2 C$

$A = \frac{1}{2}$

Étape 1.3.5.3.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.5.3.3.1

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$C = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{- 5}$

$B = - 2 C$

$A = \frac{1}{2}$

Étape 1.3.5.3.3.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$C = \frac{1}{2} \cdot (- \frac{1}{5})$

$B = - 2 C$

$A = \frac{1}{2}$

Étape 1.3.5.3.3.3

Multipliez $\frac{1}{2} (- \frac{1}{5})$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.5.3.3.3.1

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $\frac{1}{5}$ .

$C = - \frac{1}{2 \cdot 5}$

$B = - 2 C$

$A = \frac{1}{2}$

Étape 1.3.5.3.3.3.2

Multipliez $2$ par $5$ .

$C = - \frac{1}{10}$

$B = - 2 C$

$A = \frac{1}{2}$

$C = - \frac{1}{10}$

$B = - 2 C$

$A = \frac{1}{2}$

$C = - \frac{1}{10}$

$B = - 2 C$

$A = \frac{1}{2}$

$C = - \frac{1}{10}$

$B = - 2 C$

$A = \frac{1}{2}$

$C = - \frac{1}{10}$

$B = - 2 C$

$A = \frac{1}{2}$

Étape 1.3.6

Remplacez toutes les occurrences de $C$ par $- \frac{1}{10}$ dans chaque équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.6.1

Remplacez toutes les occurrences de $C$ dans $B = - 2 C$ par $- \frac{1}{10}$ .

$B = - 2 (- \frac{1}{10})$

$C = - \frac{1}{10}$

$A = \frac{1}{2}$

Étape 1.3.6.2

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.6.2.1

Simplifiez $- 2 (- \frac{1}{10})$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.6.2.1.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.6.2.1.1.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{1}{10}$ dans le numérateur.

$B = - 2 (\frac{- 1}{10})$

$C = - \frac{1}{10}$

$A = \frac{1}{2}$

Étape 1.3.6.2.1.1.2

Factorisez $2$ à partir de $- 2$ .

$B = 2 (- 1) (\frac{- 1}{10})$

$C = - \frac{1}{10}$

$A = \frac{1}{2}$

Étape 1.3.6.2.1.1.3

Factorisez $2$ à partir de $10$ .

$B = 2 \cdot (- 1 \frac{- 1}{2 \cdot 5})$

$C = - \frac{1}{10}$

$A = \frac{1}{2}$

Étape 1.3.6.2.1.1.4

Annulez le facteur commun.

$B = 2 \cdot (- 1 \frac{- 1}{2 \cdot 5})$

$C = - \frac{1}{10}$

$A = \frac{1}{2}$

Étape 1.3.6.2.1.1.5

Réécrivez l’expression.

$B = - 1 (\frac{- 1}{5})$

$C = - \frac{1}{10}$

$A = \frac{1}{2}$

$B = - 1 (\frac{- 1}{5})$

$C = - \frac{1}{10}$

$A = \frac{1}{2}$

Étape 1.3.6.2.1.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$B = - 1 (- \frac{1}{5})$

$C = - \frac{1}{10}$

$A = \frac{1}{2}$

Étape 1.3.6.2.1.3

Multipliez $- 1 (- \frac{1}{5})$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.6.2.1.3.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$B = 1 (\frac{1}{5})$

$C = - \frac{1}{10}$

$A = \frac{1}{2}$

Étape 1.3.6.2.1.3.2

Multipliez $\frac{1}{5}$ par $1$ .

$B = \frac{1}{5}$

$C = - \frac{1}{10}$

$A = \frac{1}{2}$

$B = \frac{1}{5}$

$C = - \frac{1}{10}$

$A = \frac{1}{2}$

$B = \frac{1}{5}$

$C = - \frac{1}{10}$

$A = \frac{1}{2}$

$B = \frac{1}{5}$

$C = - \frac{1}{10}$

$A = \frac{1}{2}$

$B = \frac{1}{5}$

$C = - \frac{1}{10}$

$A = \frac{1}{2}$

Étape 1.3.7

Indiquez toutes les solutions.

$B = \frac{1}{5}, C = - \frac{1}{10}, A = \frac{1}{2}$

Étape 1.4

Remplacez chacun des coefficients de fractions partielles dans $\frac{A}{x} + \frac{B}{2 x - 1} + \frac{C}{x + 2}$ par les valeurs trouvées pour $A$ , $B$ et $C$ .

$\frac{\frac{1}{2}}{x} + \frac{\frac{1}{5}}{2 x - 1} + \frac{- \frac{1}{10}}{x + 2}$

Étape 1.5

Simplifiez

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Étape 1.5.1

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x} + \frac{\frac{1}{5}}{2 x - 1} + \frac{- \frac{1}{10}}{x + 2}$

Étape 1.5.2

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{2 x} + \frac{\frac{1}{5}}{2 x - 1} + \frac{- \frac{1}{10}}{x + 2}$

Étape 1.5.3

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$\frac{1}{2 x} + \frac{1}{5} \cdot \frac{1}{2 x - 1} + \frac{- \frac{1}{10}}{x + 2}$

Étape 1.5.4

Multipliez $\frac{1}{5}$ par $\frac{1}{2 x - 1}$ .

$\frac{1}{2 x} + \frac{1}{5 (2 x - 1)} + \frac{- \frac{1}{10}}{x + 2}$

Étape 1.5.5

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$\frac{1}{2 x} + \frac{1}{5 (2 x - 1)} - \frac{1}{10} \cdot \frac{1}{x + 2}$

Étape 1.5.6

Multipliez $\frac{1}{x + 2}$ par $\frac{1}{10}$ .

$\frac{1}{2 x} + \frac{1}{5 (2 x - 1)} - \frac{1}{(x + 2) \cdot 10}$

Étape 1.5.7

Déplacez $10$ à gauche de $x + 2$ .

$\int \frac{1}{2 x} + \frac{1}{5 (2 x - 1)} - \frac{1}{10 (x + 2)} d x$

Étape 2

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int \frac{1}{2 x} d x + \int \frac{1}{5 (2 x - 1)} d x + \int - \frac{1}{10 (x + 2)} d x$

Étape 3

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $x$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{x} d x + \int \frac{1}{5 (2 x - 1)} d x + \int - \frac{1}{10 (x + 2)} d x$

Étape 4

L’intégrale de $\frac{1}{x}$ par rapport à $x$ est $\ln (| x |)$ .

$\frac{1}{2} (\ln (| x |) + C) + \int \frac{1}{5 (2 x - 1)} d x + \int - \frac{1}{10 (x + 2)} d x$

Étape 5

Comme $\frac{1}{5}$ est constant par rapport à $x$ , placez $\frac{1}{5}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{2} (\ln (| x |) + C) + \frac{1}{5} \int \frac{1}{2 x - 1} d x + \int - \frac{1}{10 (x + 2)} d x$

Étape 6

Laissez $u_{1} = 2 x - 1$ . Alors $d u_{1} = 2 d x$ , donc $\frac{1}{2} d u_{1} = d x$ . Réécrivez avec $u_{1}$ et $d$ $u_{1}$ .

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Étape 6.1

Laissez $u_{1} = 2 x - 1$ . Déterminez $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Étape 6.1.1

Différenciez $2 x - 1$ .

$\frac{d}{d x} [2 x - 1]$

Étape 6.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 x - 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 6.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

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Étape 6.1.3.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 6.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 6.1.3.3

Multipliez $2$ par $1$ .

$2 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 6.1.4

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 6.1.4.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$2 + 0$

Étape 6.1.4.2

Additionnez $2$ et $0$ .

$2$

Étape 6.2

Réécrivez le problème en utilisant $u_{1}$ et $d u_{1}$ .

$\frac{1}{2} (\ln (| x |) + C) + \frac{1}{5} \int \frac{1}{u_{1}} \cdot \frac{1}{2} d u_{1} + \int - \frac{1}{10 (x + 2)} d x$

Étape 7

Simplifiez

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Étape 7.1

Multipliez $\frac{1}{u_{1}}$ par $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} (\ln (| x |) + C) + \frac{1}{5} \int \frac{1}{u_{1} \cdot 2} d u_{1} + \int - \frac{1}{10 (x + 2)} d x$

Étape 7.2

Déplacez $2$ à gauche de $u_{1}$ .

$\frac{1}{2} (\ln (| x |) + C) + \frac{1}{5} \int \frac{1}{2 u_{1}} d u_{1} + \int - \frac{1}{10 (x + 2)} d x$

Étape 8

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $u_{1}$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{2} (\ln (| x |) + C) + \frac{1}{5} (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1}) + \int - \frac{1}{10 (x + 2)} d x$

Étape 9

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.1

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $\frac{1}{5}$ .

$\frac{1}{2} (\ln (| x |) + C) + \frac{1}{2 \cdot 5} \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} + \int - \frac{1}{10 (x + 2)} d x$

Étape 9.2

Multipliez $2$ par $5$ .

$\frac{1}{2} (\ln (| x |) + C) + \frac{1}{10} \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} + \int - \frac{1}{10 (x + 2)} d x$

Étape 10

L’intégrale de $\frac{1}{u_{1}}$ par rapport à $u_{1}$ est $\ln (| u_{1} |)$ .

$\frac{1}{2} (\ln (| x |) + C) + \frac{1}{10} (\ln (| u_{1} |) + C) + \int - \frac{1}{10 (x + 2)} d x$

Étape 11

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{2} (\ln (| x |) + C) + \frac{1}{10} (\ln (| u_{1} |) + C) - \int \frac{1}{10 (x + 2)} d x$

Étape 12

Comme $\frac{1}{10}$ est constant par rapport à $x$ , placez $\frac{1}{10}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{2} (\ln (| x |) + C) + \frac{1}{10} (\ln (| u_{1} |) + C) - (\frac{1}{10} \int \frac{1}{x + 2} d x)$

Étape 13

Laissez $u_{2} = x + 2$ . Puis $d u_{2} = d x$ . Réécrivez avec $u_{2}$ et $d$ $u_{2}$ .

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Étape 13.1

Laissez $u_{2} = x + 2$ . Déterminez $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 13.1.1

Différenciez $x + 2$ .

$\frac{d}{d x} [x + 2]$

Étape 13.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x + 2$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$

Étape 13.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [2]$

Étape 13.1.4

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2$ par rapport à $x$ est $0$ .

$1 + 0$

Étape 13.1.5

Additionnez $1$ et $0$ .

$1$

Étape 13.2

Réécrivez le problème en utilisant $u_{2}$ et $d u_{2}$ .

$\frac{1}{2} (\ln (| x |) + C) + \frac{1}{10} (\ln (| u_{1} |) + C) - \frac{1}{10} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Étape 14

L’intégrale de $\frac{1}{u_{2}}$ par rapport à $u_{2}$ est $\ln (| u_{2} |)$ .

$\frac{1}{2} (\ln (| x |) + C) + \frac{1}{10} (\ln (| u_{1} |) + C) - \frac{1}{10} (\ln (| u_{2} |) + C)$

Étape 15

Simplifiez

$\frac{1}{2} \ln (| x |) + \frac{1}{10} \ln (| u_{1} |) - \frac{1}{10} \ln (| u_{2} |) + C$

Étape 16

Remplacez à nouveau pour chaque variable de substitution de l’intégration.

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Étape 16.1

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $2 x - 1$ .

$\frac{1}{2} \ln (| x |) + \frac{1}{10} \ln (| 2 x - 1 |) - \frac{1}{10} \ln (| u_{2} |) + C$

Étape 16.2

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $x + 2$ .

$\frac{1}{2} \ln (| x |) + \frac{1}{10} \ln (| 2 x - 1 |) - \frac{1}{10} \ln (| x + 2 |) + C$

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