Calcul infinitésimal Exemples

$\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{1 + n^{2}}$

Étape 1

Pour déterminer si la série est convergente, déterminez si l’intégrale de la séquence est convergente.

$\int_{1}^{\infty} \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

Étape 2

Écrivez l’intégrale comme une limite lorsque $t$ approche de $\infty$ .

$lim_{t \to \infty} \int_{1}^{t} \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

Étape 3

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$lim_{t \to \infty} \int_{1}^{t} \frac{1}{1^{2} + x^{2}} d x$

Étape 4

L’intégrale de $\frac{1}{1^{2} + x^{2}}$ par rapport à $x$ est $\arctan (x)]_{1}^{t}$ .

$lim_{t \to \infty} \arctan (x)]_{1}^{t}$

Étape 5

Simplifiez la réponse.

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Étape 5.1

Évaluez $\arctan (x)$ sur $t$ et sur $1$ .

$lim_{t \to \infty} (\arctan (t)) - \arctan (1)$

Étape 5.2

Supprimez les parenthèses.

$lim_{t \to \infty} \arctan (t) - \arctan (1)$

Étape 6

Évaluez la limite.

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Étape 6.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $t$ approche de $\infty$ .

$lim_{t \to \infty} \arctan (t) - lim_{t \to \infty} \arctan (1)$

Étape 6.2

La limite lorsque $t$ approche de $\infty$ est $\frac{π}{2}$ .

$\frac{π}{2} - lim_{t \to \infty} \arctan (1)$

Étape 6.3

Évaluez la limite de $\arctan (1)$ qui est constante lorsque $t$ approche de $\infty$ .

$\frac{π}{2} - \arctan (1)$

Étape 6.4

Simplifiez la réponse.

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Étape 6.4.1

La valeur exacte de $\arctan (1)$ est $\frac{π}{4}$ .

$\frac{π}{2} - \frac{π}{4}$

Étape 6.4.2

Pour écrire $\frac{π}{2}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{π}{2} \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{4}$

Étape 6.4.3

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $4$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 6.4.3.1

Multipliez $\frac{π}{2}$ par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{π \cdot 2}{2 \cdot 2} - \frac{π}{4}$

Étape 6.4.3.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{π \cdot 2}{4} - \frac{π}{4}$

Étape 6.4.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{π \cdot 2 - π}{4}$

Étape 6.4.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.4.5.1

Déplacez $2$ à gauche de $π$ .

$\frac{2 \cdot π - π}{4}$

Étape 6.4.5.2

Soustrayez $π$ de $2 π$ .

$\frac{π}{4}$

Étape 7

Comme l’intégrale est convergente, la série est convergente.

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