Calcul infinitésimal Exemples

$\sum_{k = 1}^{\infty} k e^{k^{2}}$

Étape 1

Vérifiez si la fonction est continue sur les bornes de l’addition.

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Étape 1.1

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Notation d’intervalle :

$(- \infty, \infty)$

Notation de constructeur d’ensemble :

${k | k \in ℝ}$

Étape 1.2

$f (k)$ est continu sur $[1, \infty)$ .

$La fonction est continue.$

Étape 2

Vérifiez si la fonction est positive sur les bornes.

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Étape 2.1

Définissez une inégalité.

$k e^{k^{2}} > 0$

Étape 2.2

Résolvez l’inégalité.

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Étape 2.2.1

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$k = 0$

$e^{k^{2}} = 0$

Étape 2.2.2

Définissez $k$ égal à $0$ .

$k = 0$

Étape 2.2.3

Définissez $e^{k^{2}}$ égal à $0$ et résolvez $k$ .

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Étape 2.2.3.1

Définissez $e^{k^{2}}$ égal à $0$ .

$e^{k^{2}} = 0$

Étape 2.2.3.2

Résolvez $e^{k^{2}} = 0$ pour $k$ .

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Étape 2.2.3.2.1

Prenez le logarithme naturel des deux côtés de l’équation pour retirer la variable de l’exposant.

$\ln (e^{k^{2}}) = \ln (0)$

Étape 2.2.3.2.2

L’équation ne peut pas être résolue car $\ln (0)$ est indéfini.

Indéfini

Étape 2.2.3.2.3

Il n’y a pas de solution pour $e^{k^{2}} = 0$

Aucune solution

Étape 2.2.4

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $k e^{k^{2}} > 0$ vraie.

$k = 0$

Étape 2.2.5

La solution se compose de tous les intervalles vrais.

$k > 0$

Étape 3

Déterminez où la fonction est décroissante.

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Étape 3.1

Écrivez $k e^{k^{2}}$ comme une fonction.

$f (k) = k e^{k^{2}}$

Étape 3.2

Déterminez la dérivée première.

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Étape 3.2.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 3.2.1.1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d k} [f (k) g (k)]$ est $f (k) \frac{d}{d k} [g (k)] + g (k) \frac{d}{d k} [f (k)]$ où $f (k) = k$ et $g (k) = e^{k^{2}}$ .

$k \frac{d}{d k} [e^{k^{2}}] + e^{k^{2}} \frac{d}{d k} [k]$

Étape 3.2.1.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d k} [f (g (k))]$ est $f' (g (k)) g' (k)$ où $f (k) = e^{k}$ et $g (k) = k^{2}$ .

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Étape 3.2.1.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $k^{2}$ .

$k (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d k} [k^{2}]) + e^{k^{2}} \frac{d}{d k} [k]$

Étape 3.2.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ est $a^{u} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$k (e^{u} \frac{d}{d k} [k^{2}]) + e^{k^{2}} \frac{d}{d k} [k]$

Étape 3.2.1.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $k^{2}$ .

$k (e^{k^{2}} \frac{d}{d k} [k^{2}]) + e^{k^{2}} \frac{d}{d k} [k]$

Étape 3.2.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d k} [k^{n}]$ est $n k^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$k (e^{k^{2}} (2 k)) + e^{k^{2}} \frac{d}{d k} [k]$

Étape 3.2.1.4

Élevez $k$ à la puissance $1$ .

$k^{1} k (e^{k^{2}} \cdot (2)) + e^{k^{2}} \frac{d}{d k} [k]$

Étape 3.2.1.5

Élevez $k$ à la puissance $1$ .

$k^{1} k^{1} (e^{k^{2}} \cdot (2)) + e^{k^{2}} \frac{d}{d k} [k]$

Étape 3.2.1.6

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$k^{1 + 1} (e^{k^{2}} \cdot (2)) + e^{k^{2}} \frac{d}{d k} [k]$

Étape 3.2.1.7

Simplifiez l’expression.

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Étape 3.2.1.7.1

Additionnez $1$ et $1$ .

$k^{2} (e^{k^{2}} \cdot (2)) + e^{k^{2}} \frac{d}{d k} [k]$

Étape 3.2.1.7.2

Déplacez $2$ à gauche de $e^{k^{2}}$ .

$k^{2} (2 \cdot e^{k^{2}}) + e^{k^{2}} \frac{d}{d k} [k]$

Étape 3.2.1.8

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d k} [k^{n}]$ est $n k^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$k^{2} (2 e^{k^{2}}) + e^{k^{2}} \cdot 1$

Étape 3.2.1.9

Multipliez $e^{k^{2}}$ par $1$ .

$k^{2} (2 e^{k^{2}}) + e^{k^{2}}$

Étape 3.2.1.10

Simplifiez

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Étape 3.2.1.10.1

Remettez les termes dans l’ordre.

$2 e^{k^{2}} k^{2} + e^{k^{2}}$

Étape 3.2.1.10.2

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $2 e^{k^{2}} k^{2} + e^{k^{2}}$ .

$f' (k) = 2 k^{2} e^{k^{2}} + e^{k^{2}}$

Étape 3.2.2

La dérivée première de $f (k)$ par rapport à $k$ est $2 k^{2} e^{k^{2}} + e^{k^{2}}$ .

$2 k^{2} e^{k^{2}} + e^{k^{2}}$

Étape 3.3

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $2 k^{2} e^{k^{2}} + e^{k^{2}} = 0$ .

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Étape 3.3.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$2 k^{2} e^{k^{2}} + e^{k^{2}} = 0$

Étape 3.3.2

Factorisez $e^{k^{2}}$ à partir de $2 k^{2} e^{k^{2}} + e^{k^{2}}$ .

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Étape 3.3.2.1

Factorisez $e^{k^{2}}$ à partir de $2 k^{2} e^{k^{2}}$ .

$e^{k^{2}} (2 k^{2}) + e^{k^{2}} = 0$

Étape 3.3.2.2

Multipliez par $1$ .

$e^{k^{2}} (2 k^{2}) + e^{k^{2}} \cdot 1 = 0$

Étape 3.3.2.3

Factorisez $e^{k^{2}}$ à partir de $e^{k^{2}} (2 k^{2}) + e^{k^{2}} \cdot 1$ .

$e^{k^{2}} (2 k^{2} + 1) = 0$

Étape 3.3.3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$e^{k^{2}} = 0$

$2 k^{2} + 1 = 0$

Étape 3.3.4

Définissez $e^{k^{2}}$ égal à $0$ et résolvez $k$ .

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Étape 3.3.4.1

Définissez $e^{k^{2}}$ égal à $0$ .

$e^{k^{2}} = 0$

Étape 3.3.4.2

Résolvez $e^{k^{2}} = 0$ pour $k$ .

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Étape 3.3.4.2.1

Prenez le logarithme naturel des deux côtés de l’équation pour retirer la variable de l’exposant.

$\ln (e^{k^{2}}) = \ln (0)$

Étape 3.3.4.2.2

L’équation ne peut pas être résolue car $\ln (0)$ est indéfini.

Indéfini

Étape 3.3.4.2.3

Il n’y a pas de solution pour $e^{k^{2}} = 0$

Aucune solution

Étape 3.3.5

Définissez $2 k^{2} + 1$ égal à $0$ et résolvez $k$ .

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Étape 3.3.5.1

Définissez $2 k^{2} + 1$ égal à $0$ .

$2 k^{2} + 1 = 0$

Étape 3.3.5.2

Résolvez $2 k^{2} + 1 = 0$ pour $k$ .

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Étape 3.3.5.2.1

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$2 k^{2} = - 1$

Étape 3.3.5.2.2

Divisez chaque terme dans $2 k^{2} = - 1$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 3.3.5.2.2.1

Divisez chaque terme dans $2 k^{2} = - 1$ par $2$ .

$\frac{2 k^{2}}{2} = \frac{- 1}{2}$

Étape 3.3.5.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.3.5.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.3.5.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 k^{2}}{2} = \frac{- 1}{2}$

Étape 3.3.5.2.2.2.1.2

Divisez $k^{2}$ par $1$ .

$k^{2} = \frac{- 1}{2}$

Étape 3.3.5.2.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.3.5.2.2.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$k^{2} = - \frac{1}{2}$

Étape 3.3.5.2.3

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$k = \pm \sqrt{- \frac{1}{2}}$

Étape 3.3.5.2.4

Simplifiez $\pm \sqrt{- \frac{1}{2}}$ .

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Étape 3.3.5.2.4.1

Réécrivez $- \frac{1}{2}$ comme $i^{2} \frac{1^{2}}{2}$ .

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Étape 3.3.5.2.4.1.1

Réécrivez $- 1$ comme $i^{2}$ .

$k = \pm \sqrt{i^{2} \frac{1}{2}}$

Étape 3.3.5.2.4.1.2

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$k = \pm \sqrt{i^{2} \frac{1^{2}}{2}}$

Étape 3.3.5.2.4.2

Extrayez les termes de sous le radical.

$k = \pm i \sqrt{\frac{1^{2}}{2}}$

Étape 3.3.5.2.4.3

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$k = \pm i \sqrt{\frac{1}{2}}$

Étape 3.3.5.2.4.4

Réécrivez $\sqrt{\frac{1}{2}}$ comme $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$ .

$k = \pm i \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$

Étape 3.3.5.2.4.5

Toute racine de $1$ est $1$ .

$k = \pm i \frac{1}{\sqrt{2}}$

Étape 3.3.5.2.4.6

Multipliez $\frac{1}{\sqrt{2}}$ par $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$k = \pm i (\frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}})$

Étape 3.3.5.2.4.7

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 3.3.5.2.4.7.1

Multipliez $\frac{1}{\sqrt{2}}$ par $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$k = \pm i \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Étape 3.3.5.2.4.7.2

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$k = \pm i \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

Étape 3.3.5.2.4.7.3

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$k = \pm i \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

Étape 3.3.5.2.4.7.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$k = \pm i \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Étape 3.3.5.2.4.7.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$k = \pm i \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

Étape 3.3.5.2.4.7.6

Réécrivez ${\sqrt{2}}^{2}$ comme $2$ .

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Étape 3.3.5.2.4.7.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2}$ comme $2^{\frac{1}{2}}$ .

$k = \pm i \frac{\sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 3.3.5.2.4.7.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$k = \pm i \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 3.3.5.2.4.7.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$k = \pm i \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Étape 3.3.5.2.4.7.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.3.5.2.4.7.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$k = \pm i \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Étape 3.3.5.2.4.7.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$k = \pm i \frac{\sqrt{2}}{2^{1}}$

Étape 3.3.5.2.4.7.6.5

Évaluez l’exposant.

$k = \pm i \frac{\sqrt{2}}{2}$

Étape 3.3.5.2.4.8

Associez $i$ et $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$k = \pm \frac{i \sqrt{2}}{2}$

Étape 3.3.5.2.5

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 3.3.5.2.5.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$k = \frac{i \sqrt{2}}{2}$

Étape 3.3.5.2.5.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$k = - \frac{i \sqrt{2}}{2}$

Étape 3.3.5.2.5.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$k = \frac{i \sqrt{2}}{2}, - \frac{i \sqrt{2}}{2}$

Étape 3.3.6

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $e^{k^{2}} (2 k^{2} + 1) = 0$ vraie.

$k = \frac{i \sqrt{2}}{2}, - \frac{i \sqrt{2}}{2}$

Étape 3.4

Le domaine du problème d’origine ne comprend aucune valeur de $k$ où la dérivée est $0$ ou indéfinie.

Aucun point critique n’a été trouvé

Étape 3.5

Aucun point ne rend la dérivée $f' (k) = 2 k^{2} e^{k^{2}} + e^{k^{2}}$ égale à $0$ ni indéfinie. L’intervalle pour vérifier si $f (k) = k e^{k^{2}}$ est croissant ou décroissant est $(- \infty, \infty)$ .

$(- \infty, \infty)$

Étape 3.6

Remplacez tout nombre, tel que $1$ , de l’intervalle $(- \infty, \infty)$ dans la dérivée $f' (k) = 2 k^{2} e^{k^{2}} + e^{k^{2}}$ pour vérifier si le résultat est négatif ou positif. Si le résultat est négatif, le graphe est décroissant sur l’intervalle $(- \infty, \infty)$ . Si le résultat est positif, le graphe est croissant sur l’intervalle $(- \infty, \infty)$ .

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Étape 3.6.1

Remplacez la variable $k$ par $1$ dans l’expression.

$f' (1) = 2 {(1)}^{2} e^{{(1)}^{2}} + e^{{(1)}^{2}}$

Étape 3.6.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 3.6.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.6.2.1.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$f' (1) = 2 \cdot (1 e^{{(1)}^{2}}) + e^{{(1)}^{2}}$

Étape 3.6.2.1.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$f' (1) = 2 e^{{(1)}^{2}} + e^{{(1)}^{2}}$

Étape 3.6.2.1.3

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$f' (1) = 2 e + e^{{(1)}^{2}}$

Étape 3.6.2.1.4

Simplifiez

$f' (1) = 2 e + e^{{(1)}^{2}}$

Étape 3.6.2.1.5

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$f' (1) = 2 e + e$

Étape 3.6.2.1.6

Simplifiez

$f' (1) = 2 e + e$

Étape 3.6.2.2

Additionnez $2 e$ et $e$ .

$f' (1) = 3 e$

Étape 3.6.2.3

La réponse finale est $3 e$ .

$3 e$

Étape 3.7

Le résultat du remplacement de $1$ dans $f' (k) = 2 k^{2} e^{k^{2}} + e^{k^{2}}$ est $3 e$ , qui est positif, si bien que le graphe est croissant sur l’intervalle $(- \infty, \infty)$ .

Augmente sur $(- \infty, \infty)$ depuis $2 k^{2} e^{k^{2}} + e^{k^{2}} > 0$

Étape 3.8

Augmente sur l’intervalle $(- \infty, \infty)$ signifie que la fonction est toujours croissante.

$Toujours croissant$

Étape 4

Le test intégral ne s’applique pas car la fonction n’est pas toujours décroissante de $1$ à $\infty$ .

Saisissez VOTRE problème