Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = \frac{1}{10^{x}} + 4$

Étape 1

Déterminez où l’expression $\frac{1}{10^{x}} + 4$ est indéfinie.

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Étape 2

Les asymptotes verticales se trouvent dans des zones de discontinuité infinie.

Aucune asymptote verticale

Étape 3

Évaluez $lim_{x \to \infty} \frac{1 + 4 \cdot 10^{x}}{10^{x}}$ pour déterminer l’asymptote horizontale.

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Étape 3.1

Appliquez la Règle de l’Hôpital.

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Étape 3.1.1

Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

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Étape 3.1.1.1

Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

$\frac{lim_{x \to \infty} 1 + 4 \cdot 10^{x}}{lim_{x \to \infty} 10^{x}}$

Étape 3.1.1.2

Évaluez la limite du numérateur.

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Étape 3.1.1.2.1

Évaluez la limite.

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Étape 3.1.1.2.1.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $\infty$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} 1 + lim_{x \to \infty} 4 \cdot 10^{x}}{lim_{x \to \infty} 10^{x}}$

Étape 3.1.1.2.1.2

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $\infty$ .

$\frac{1 + lim_{x \to \infty} 4 \cdot 10^{x}}{lim_{x \to \infty} 10^{x}}$

Étape 3.1.1.2.2

Comme la fonction $10^{x}$ approche de $\infty$ , la constante positive $4$ fois la fraction approche également de $\infty$ .

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Étape 3.1.1.2.2.1

Étudiez la limite avec le multiple constant $4$ retiré.

$\frac{1 + lim_{x \to \infty} 10^{x}}{lim_{x \to \infty} 10^{x}}$

Étape 3.1.1.2.2.2

Comme l’exposant $x$ approche de $\infty$ , la quantité $10^{x}$ approche de $\infty$ .

$\frac{1 + \infty}{lim_{x \to \infty} 10^{x}}$

Étape 3.1.1.2.3

L’infini plus ou moins un nombre est l’infini.

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} 10^{x}}$

Étape 3.1.1.3

Comme l’exposant $x$ approche de $\infty$ , la quantité $10^{x}$ approche de $\infty$ .

$\frac{\infty}{\infty}$

Étape 3.1.1.4

L’infini divisé l’infini est indéfini.

Indéfini

$\frac{\infty}{\infty}$

Étape 3.1.2

Comme $\frac{\infty}{\infty}$ est de forme indéterminée, appliquez la règle de l’Hôpital. La règle de l’Hôpital indique que la limite d’un quotient de fonctions est égale à la limite du quotient de leurs dérivées.

$lim_{x \to \infty} \frac{1 + 4 \cdot 10^{x}}{10^{x}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [1 + 4 \cdot 10^{x}]}{\frac{d}{d x} [10^{x}]}$

Étape 3.1.3

Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.

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Étape 3.1.3.1

Différenciez le numérateur et le dénominateur.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [1 + 4 \cdot 10^{x}]}{\frac{d}{d x} [10^{x}]}$

Étape 3.1.3.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $1 + 4 \cdot 10^{x}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [4 \cdot 10^{x}]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [4 \cdot 10^{x}]}{\frac{d}{d x} [10^{x}]}$

Étape 3.1.3.3

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{0 + \frac{d}{d x} [4 \cdot 10^{x}]}{\frac{d}{d x} [10^{x}]}$

Étape 3.1.3.4

Évaluez $\frac{d}{d x} [4 \cdot 10^{x}]$ .

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Étape 3.1.3.4.1

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4 \cdot 10^{x}$ par rapport à $x$ est $4 \frac{d}{d x} [10^{x}]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{0 + 4 \frac{d}{d x} [10^{x}]}{\frac{d}{d x} [10^{x}]}$

Étape 3.1.3.4.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ est $a^{x} \ln (a)$ où $a$ = $10$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{0 + 4 \cdot 10^{x} \ln (10)}{\frac{d}{d x} [10^{x}]}$

Étape 3.1.3.5

Additionnez $0$ et $4 \cdot 10^{x} \ln (10)$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{4 \cdot 10^{x} \ln (10)}{\frac{d}{d x} [10^{x}]}$

Étape 3.1.3.6

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ est $a^{x} \ln (a)$ où $a$ = $10$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{4 \cdot 10^{x} \ln (10)}{10^{x} \ln (10)}$

Étape 3.1.4

Réduisez.

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Étape 3.1.4.1

Annulez le facteur commun de $10^{x}$ .

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Étape 3.1.4.1.1

Annulez le facteur commun.

$lim_{x \to \infty} \frac{4 \cdot 10^{x} \ln (10)}{10^{x} \ln (10)}$

Étape 3.1.4.1.2

Réécrivez l’expression.

$lim_{x \to \infty} \frac{4 \ln (10)}{\ln (10)}$

Étape 3.1.4.2

Annulez le facteur commun de $\ln (10)$ .

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Étape 3.1.4.2.1

Annulez le facteur commun.

$lim_{x \to \infty} \frac{4 \ln (10)}{\ln (10)}$

Étape 3.1.4.2.2

Divisez $4$ par $1$ .

$lim_{x \to \infty} 4$

Étape 3.2

Évaluez la limite de $4$ qui est constante lorsque $x$ approche de $\infty$ .

$4$

Étape 4

Indiquez les asymptotes horizontales :

$y = 4$

Étape 5

Il n’y a pas d’asymptote oblique car le degré du numérateur est inférieur ou égal au degré du dénominateur.

Aucune asymptote oblique

Étape 6

C’est l’ensemble de toutes les asymptotes.

Aucune asymptote verticale

Asymptotes horizontales : $y = 4$

Aucune asymptote oblique

Étape 7

Saisissez VOTRE problème