Calcul infinitésimal Exemples

$x \cdot \frac{d y}{d x} = y + \sqrt{x y}$

Étape 1

Réécrivez l’équation différentielle en fonction de $\frac{y}{x}$ .

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Étape 1.1

Divisez chaque terme dans $x \cdot \frac{d y}{d x} = y + \sqrt{x y}$ par $x$ et simplifiez.

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Étape 1.1.1

Divisez chaque terme dans $x \cdot \frac{d y}{d x} = y + \sqrt{x y}$ par $x$ .

$\frac{x \cdot \frac{d y}{d x}}{x} = \frac{y}{x} + \frac{\sqrt{x y}}{x}$

Étape 1.1.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.1.2.1

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 1.1.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x \cdot \frac{d y}{d x}}{x} = \frac{y}{x} + \frac{\sqrt{x y}}{x}$

Étape 1.1.2.1.2

Divisez $\frac{d y}{d x}$ par $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \frac{\sqrt{x y}}{x}$

Étape 1.2

Supposez que $\sqrt{x^{2}} = x$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \frac{\sqrt{x y}}{\sqrt{x^{2}}}$

Étape 1.3

Associez $\sqrt{x y}$ et $\sqrt{x^{2}}$ en un radical unique.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \sqrt{\frac{x y}{x^{2}}}$

Étape 1.4

Réduisez l’expression $\frac{x y}{x^{2}}$ en annulant les facteurs communs.

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Étape 1.4.1

Factorisez $x$ à partir de $x y$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \sqrt{\frac{x (y)}{x^{2}}}$

Étape 1.4.2

Factorisez $x$ à partir de $x^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \sqrt{\frac{x (y)}{x \cdot x}}$

Étape 1.4.3

Annulez le facteur commun.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \sqrt{\frac{x y}{x \cdot x}}$

Étape 1.4.4

Réécrivez l’expression.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \sqrt{\frac{y}{x}}$

Étape 2

Laissez $V = \frac{y}{x}$ . Remplacez $\frac{y}{x}$ par $V$ .

$\frac{d y}{d x} = V + \sqrt{V}$

Étape 3

Résolvez $V = \frac{y}{x}$ pour $y$ .

$y = V x$

Étape 4

Utilisez la règle de produit pour déterminer la dérivée de $y = V x$ par rapport à $x$ .

$\frac{d y}{d x} = x \frac{d V}{d x} + V$

Étape 5

Remplacez $\frac{d y}{d x}$ par $x \frac{d V}{d x} + V$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = V + \sqrt{V}$

Étape 6

Résolvez l’équation différentielle remplacée.

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Étape 6.1

Séparez les variables.

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Étape 6.1.1

Résolvez $\frac{d V}{d x}$ .

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Étape 6.1.1.1

Déplacez tous les termes ne contenant pas $\frac{d V}{d x}$ du côté droit de l’équation.

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Étape 6.1.1.1.1

Soustrayez $V$ des deux côtés de l’équation.

$x \frac{d V}{d x} = V + \sqrt{V} - V$

Étape 6.1.1.1.2

Associez les termes opposés dans $V + \sqrt{V} - V$ .

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Étape 6.1.1.1.2.1

Soustrayez $V$ de $V$ .

$x \frac{d V}{d x} = 0 + \sqrt{V}$

Étape 6.1.1.1.2.2

Additionnez $0$ et $\sqrt{V}$ .

$x \frac{d V}{d x} = \sqrt{V}$

Étape 6.1.1.2

Divisez chaque terme dans $x \frac{d V}{d x} = \sqrt{V}$ par $x$ et simplifiez.

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Étape 6.1.1.2.1

Divisez chaque terme dans $x \frac{d V}{d x} = \sqrt{V}$ par $x$ .

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{\sqrt{V}}{x}$

Étape 6.1.1.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 6.1.1.2.2.1

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 6.1.1.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{\sqrt{V}}{x}$

Étape 6.1.1.2.2.1.2

Divisez $\frac{d V}{d x}$ par $1$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\sqrt{V}}{x}$

Étape 6.1.2

Multipliez les deux côtés par $\frac{1}{\sqrt{V}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{V}} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{\sqrt{V}} \cdot \frac{\sqrt{V}}{x}$

Étape 6.1.3

Annulez le facteur commun de $\sqrt{V}$ .

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Étape 6.1.3.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{\sqrt{V}} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{\sqrt{V}} \cdot \frac{\sqrt{V}}{x}$

Étape 6.1.3.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{\sqrt{V}} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{x}$

Étape 6.1.4

Réécrivez l’équation.

$\frac{1}{\sqrt{V}} d V = \frac{1}{x} d x$

Étape 6.2

Intégrez les deux côtés.

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Étape 6.2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int \frac{1}{\sqrt{V}} d V = \int \frac{1}{x} d x$

Étape 6.2.2

Intégrez le côté gauche.

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Étape 6.2.2.1

Appliquez les règles de base des exposants.

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Étape 6.2.2.1.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{V}$ comme $V^{\frac{1}{2}}$ .

$\int \frac{1}{V^{\frac{1}{2}}} d V = \int \frac{1}{x} d x$

Étape 6.2.2.1.2

Retirez $V^{\frac{1}{2}}$ du dénominateur en l’élevant à la puissance $- 1$ .

$\int {(V^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d V = \int \frac{1}{x} d x$

Étape 6.2.2.1.3

Multipliez les exposants dans ${(V^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Étape 6.2.2.1.3.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int V^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d V = \int \frac{1}{x} d x$

Étape 6.2.2.1.3.2

Associez $\frac{1}{2}$ et $- 1$ .

$\int V^{\frac{- 1}{2}} d V = \int \frac{1}{x} d x$

Étape 6.2.2.1.3.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$\int V^{- \frac{1}{2}} d V = \int \frac{1}{x} d x$

Étape 6.2.2.2

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $V^{- \frac{1}{2}}$ par rapport à $V$ est $2 V^{\frac{1}{2}}$ .

$2 V^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

Étape 6.2.3

L’intégrale de $\frac{1}{x}$ par rapport à $x$ est $\ln (| x |)$ .

$2 V^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \ln (| x |) + C_{2}$

Étape 6.2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $C$ .

$2 V^{\frac{1}{2}} = \ln (| x |) + C$

Étape 6.3

Résolvez $V$ .

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Étape 6.3.1

Divisez chaque terme dans $2 V^{\frac{1}{2}} = \ln (| x |) + C$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 6.3.1.1

Divisez chaque terme dans $2 V^{\frac{1}{2}} = \ln (| x |) + C$ par $2$ .

$\frac{2 V^{\frac{1}{2}}}{2} = \frac{\ln (| x |)}{2} + \frac{C}{2}$

Étape 6.3.1.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 6.3.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 V^{\frac{1}{2}}}{2} = \frac{\ln (| x |)}{2} + \frac{C}{2}$

Étape 6.3.1.2.2

Divisez $V^{\frac{1}{2}}$ par $1$ .

$V^{\frac{1}{2}} = \frac{\ln (| x |)}{2} + \frac{C}{2}$

Étape 6.3.1.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 6.3.1.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.3.1.3.1.1

Réécrivez $\frac{\ln (| x |)}{2}$ comme $\frac{1}{2} \ln (| x |)$ .

$V^{\frac{1}{2}} = \frac{1}{2} \ln (| x |) + \frac{C}{2}$

Étape 6.3.1.3.1.2

Simplifiez $\frac{1}{2} \ln (| x |)$ en déplaçant $\frac{1}{2}$ dans le logarithme.

$V^{\frac{1}{2}} = \ln ({| x |}^{\frac{1}{2}}) + \frac{C}{2}$

Étape 6.3.2

Élevez chaque côté de l’équation à la puissance $2$ pour éliminer l’exposant fractionnel du côté gauche.

${(V^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(\ln ({| x |}^{\frac{1}{2}}) + \frac{C}{2})}^{2}$

Étape 6.3.3

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 6.3.3.1

Simplifiez ${(V^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 6.3.3.1.1

Multipliez les exposants dans ${(V^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 6.3.3.1.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$V^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(\ln ({| x |}^{\frac{1}{2}}) + \frac{C}{2})}^{2}$

Étape 6.3.3.1.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 6.3.3.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$V^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(\ln ({| x |}^{\frac{1}{2}}) + \frac{C}{2})}^{2}$

Étape 6.3.3.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$V^{1} = {(\ln ({| x |}^{\frac{1}{2}}) + \frac{C}{2})}^{2}$

Étape 6.3.3.1.2

Simplifiez

$V = {(\ln ({| x |}^{\frac{1}{2}}) + \frac{C}{2})}^{2}$

Étape 6.4

Simplifiez la constante d’intégration.

$V = {(\ln ({| x |}^{\frac{1}{2}}) + C)}^{2}$

Étape 7

Remplacez $V$ par $\frac{y}{x}$ .

$\frac{y}{x} = {(\ln ({| x |}^{\frac{1}{2}}) + C)}^{2}$

Étape 8

Résolvez $\frac{y}{x} = {(\ln ({| x |}^{\frac{1}{2}}) + C)}^{2}$ pour $y$ .

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Étape 8.1

Multipliez les deux côtés par $x$ .

$\frac{y}{x} x = {(\ln ({| x |}^{\frac{1}{2}}) + C)}^{2} x$

Étape 8.2

Simplifiez

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Étape 8.2.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 8.2.1.1

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 8.2.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y}{x} x = {(\ln ({| x |}^{\frac{1}{2}}) + C)}^{2} x$

Étape 8.2.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$y = {(\ln ({| x |}^{\frac{1}{2}}) + C)}^{2} x$

Étape 8.2.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 8.2.2.1

Remettez les facteurs dans l’ordre dans ${(\ln ({| x |}^{\frac{1}{2}}) + C)}^{2} x$ .

$y = x {(\ln ({| x |}^{\frac{1}{2}}) + C)}^{2}$

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