Calcul infinitésimal Exemples

$4 y'' = y$ , $y = e^{r x}$

Étape 1

Déterminez $y'$ .

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Étape 1.1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (e^{r x})$

Étape 1.2

La dérivée de $y$ par rapport à $x$ est $y'$ .

$y'$

Étape 1.3

Différenciez le côté droit de l’équation.

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Étape 1.3.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = r x$ .

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Étape 1.3.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $r x$ .

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [r x]$

Étape 1.3.1.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ est $a^{u} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$e^{u} \frac{d}{d x} [r x]$

Étape 1.3.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $r x$ .

$e^{r x} \frac{d}{d x} [r x]$

Étape 1.3.2

Différenciez.

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Étape 1.3.2.1

Comme $r$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $r x$ par rapport à $x$ est $r \frac{d}{d x} [x]$ .

$e^{r x} (r \frac{d}{d x} [x])$

Étape 1.3.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$e^{r x} (r \cdot 1)$

Étape 1.3.2.3

Simplifiez l’expression.

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Étape 1.3.2.3.1

Multipliez $r$ par $1$ .

$e^{r x} r$

Étape 1.3.2.3.2

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $e^{r x} r$ .

$r e^{r x}$

Étape 1.4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$y' = r e^{r x}$

Étape 2

Déterminez $y''$ .

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Étape 2.1

Définissez la dérivée.

$y'' = \frac{d}{d x} [r e^{r x}]$

Étape 2.2

Comme $r$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $r e^{r x}$ par rapport à $x$ est $r \frac{d}{d x} [e^{r x}]$ .

$y'' = r \frac{d}{d x} [e^{r x}]$

Étape 2.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = r x$ .

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Étape 2.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $r x$ .

$y'' = r (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [r x])$

Étape 2.3.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ est $a^{u} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$y'' = r (e^{u} \frac{d}{d x} [r x])$

Étape 2.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $r x$ .

$y'' = r (e^{r x} \frac{d}{d x} [r x])$

Étape 2.4

Comme $r$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $r x$ par rapport à $x$ est $r \frac{d}{d x} [x]$ .

$y'' = r (e^{r x} (r \frac{d}{d x} [x]))$

Étape 2.5

Élevez $r$ à la puissance $1$ .

$y'' = r^{1} r (e^{r x} (\frac{d}{d x} [x]))$

Étape 2.6

Élevez $r$ à la puissance $1$ .

$y'' = r^{1} r^{1} (e^{r x} (\frac{d}{d x} [x]))$

Étape 2.7

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$y'' = r^{1 + 1} (e^{r x} (\frac{d}{d x} [x]))$

Étape 2.8

Additionnez $1$ et $1$ .

$y'' = r^{2} (e^{r x} (\frac{d}{d x} [x]))$

Étape 2.9

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$y'' = r^{2} (e^{r x} \cdot 1)$

Étape 2.10

Multipliez $e^{r x}$ par $1$ .

$y'' = r^{2} e^{r x}$

Étape 3

Remplacez dans l’équation différentielle donnée.

$4 (r^{2} e^{r x}) = y$

Étape 4

Remplacez $e^{r x}$ par $y$ .

$4 (r^{2} y) = y$

Étape 5

Résolvez $r$ .

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Étape 5.1

Divisez chaque terme dans $4 r^{2} y = y$ par $4 y$ et simplifiez.

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Étape 5.1.1

Divisez chaque terme dans $4 r^{2} y = y$ par $4 y$ .

$\frac{4 r^{2} y}{4 y} = \frac{y}{4 y}$

Étape 5.1.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.1.2.1

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 5.1.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{4 r^{2} y}{4 y} = \frac{y}{4 y}$

Étape 5.1.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{r^{2} y}{y} = \frac{y}{4 y}$

Étape 5.1.2.2

Annulez le facteur commun de $y$ .

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Étape 5.1.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{r^{2} y}{y} = \frac{y}{4 y}$

Étape 5.1.2.2.2

Divisez $r^{2}$ par $1$ .

$r^{2} = \frac{y}{4 y}$

Étape 5.1.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.1.3.1

Annulez le facteur commun de $y$ .

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Étape 5.1.3.1.1

Annulez le facteur commun.

$r^{2} = \frac{y}{4 y}$

Étape 5.1.3.1.2

Réécrivez l’expression.

$r^{2} = \frac{1}{4}$

Étape 5.2

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$r = \pm \sqrt{\frac{1}{4}}$

Étape 5.3

Simplifiez $\pm \sqrt{\frac{1}{4}}$ .

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Étape 5.3.1

Réécrivez $\sqrt{\frac{1}{4}}$ comme $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{4}}$ .

$r = \pm \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{4}}$

Étape 5.3.2

Toute racine de $1$ est $1$ .

$r = \pm \frac{1}{\sqrt{4}}$

Étape 5.3.3

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 5.3.3.1

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$r = \pm \frac{1}{\sqrt{2^{2}}}$

Étape 5.3.3.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$r = \pm \frac{1}{2}$

Étape 5.4

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 5.4.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$r = \frac{1}{2}$

Étape 5.4.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$r = - \frac{1}{2}$

Étape 5.4.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$r = \frac{1}{2}, - \frac{1}{2}$

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