Calcul infinitésimal Exemples

$y' = 2 y$ , $y = c e^{2 x}$ , $y (0) = 3$

Étape 1

Vérifiez que la solution donnée respecte l’équation différentielle.

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Étape 1.1

Déterminez $y'$ .

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Étape 1.1.1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (c e^{2 x})$

Étape 1.1.2

La dérivée de $y$ par rapport à $x$ est $y'$ .

$y'$

Étape 1.1.3

Différenciez le côté droit de l’équation.

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Étape 1.1.3.1

Comme $c$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $c e^{2 x}$ par rapport à $x$ est $c \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$ .

$c \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$

Étape 1.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = 2 x$ .

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Étape 1.1.3.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $2 x$ .

$c (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [2 x])$

Étape 1.1.3.2.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ est $a^{u} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$c (e^{u} \frac{d}{d x} [2 x])$

Étape 1.1.3.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $2 x$ .

$c (e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x])$

Étape 1.1.3.3

Différenciez.

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Étape 1.1.3.3.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$c e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} [x])$

Étape 1.1.3.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$c e^{2 x} (2 \cdot 1)$

Étape 1.1.3.3.3

Simplifiez l’expression.

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Étape 1.1.3.3.3.1

Multipliez $2$ par $1$ .

$c e^{2 x} \cdot 2$

Étape 1.1.3.3.3.2

Déplacez $2$ à gauche de $c e^{2 x}$ .

$2 \cdot (c e^{2 x})$

Étape 1.1.3.4

Simplifiez

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Étape 1.1.3.4.1

Réorganisez les facteurs de $2 c e^{2 x}$ .

$2 e^{2 x} c$

Étape 1.1.3.4.2

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $2 e^{2 x} c$ .

$2 c e^{2 x}$

Étape 1.1.4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$y' = 2 c e^{2 x}$

Étape 1.2

Remplacez dans l’équation différentielle donnée.

$2 c e^{2 x} = 2 (c e^{2 x})$

Étape 1.3

Supprimez les parenthèses.

$2 c e^{2 x} = 2 c e^{2 x}$

Étape 1.4

La solution donnée respecte l’équation différentielle donnée.

$y = c e^{2 x}$ est une solution à $y' = 2 y$

Étape 2

Remplacez dans la condition initiale.

$3 = c e^{2 \cdot 0}$

Étape 3

Résolvez $c$ .

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Étape 3.1

Réécrivez l’équation comme $c e^{2 \cdot 0} = 3$ .

$c e^{2 \cdot 0} = 3$

Étape 3.2

Simplifiez $c e^{2 \cdot 0}$ .

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Étape 3.2.1

Multipliez $2$ par $0$ .

$c e^{0} = 3$

Étape 3.2.2

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$c \cdot 1 = 3$

Étape 3.2.3

Multipliez $c$ par $1$ .

$c = 3$

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