Calcul infinitésimal Exemples

$y = | x^{2} - x |$

Étape 1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (| x^{2} - x |)$

Étape 2

La dérivée de $y$ par rapport à $x$ est $y'$ .

$y'$

Étape 3

Différenciez le côté droit de l’équation.

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Étape 3.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = | x |$ et $g (x) = x^{2} - x$ .

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Étape 3.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x^{2} - x$ .

$\frac{d}{d u} [| u |] \frac{d}{d x} [x^{2} - x]$

Étape 3.1.2

La dérivée de $| u |$ par rapport à $u$ est $\frac{u}{| u |}$ .

$\frac{u}{| u |} \frac{d}{d x} [x^{2} - x]$

Étape 3.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{2} - x$ .

$\frac{x^{2} - x}{| x^{2} - x |} \frac{d}{d x} [x^{2} - x]$

Étape 3.2

Différenciez.

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Étape 3.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} - x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{x^{2} - x}{| x^{2} - x |} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x])$

Étape 3.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{x^{2} - x}{| x^{2} - x |} (2 x + \frac{d}{d x} [- x])$

Étape 3.2.3

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{x^{2} - x}{| x^{2} - x |} (2 x - \frac{d}{d x} [x])$

Étape 3.2.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{x^{2} - x}{| x^{2} - x |} (2 x - 1 \cdot 1)$

Étape 3.2.5

Simplifiez l’expression.

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Étape 3.2.5.1

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{x^{2} - x}{| x^{2} - x |} (2 x - 1)$

Étape 3.2.5.2

Réorganisez les facteurs de $\frac{x^{2} - x}{| x^{2} - x |} (2 x - 1)$ .

$(2 x - 1) \frac{x^{2} - x}{| x^{2} - x |}$

Étape 4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$y' = (2 x - 1) (\frac{x^{2} - x}{| x^{2} - x |})$

Étape 5

Remplacez $y'$ par $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = (2 x - 1) (\frac{x^{2} - x}{| x^{2} - x |})$

Étape 6

Définissez $\frac{d y}{d x} = 0$ puis résolvez pour $x$ dans les termes de $y$ .

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Étape 6.1

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$2 x - 1 = 0$

$\frac{x^{2} - x}{| x^{2} - x |} = 0$

Étape 6.2

Définissez $2 x - 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 6.2.1

Définissez $2 x - 1$ égal à $0$ .

$2 x - 1 = 0$

Étape 6.2.2

Résolvez $2 x - 1 = 0$ pour $x$ .

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Étape 6.2.2.1

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$2 x = 1$

Étape 6.2.2.2

Divisez chaque terme dans $2 x = 1$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 6.2.2.2.1

Divisez chaque terme dans $2 x = 1$ par $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Étape 6.2.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 6.2.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 6.2.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Étape 6.2.2.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{1}{2}$

Étape 6.3

Définissez $\frac{x^{2} - x}{| x^{2} - x |}$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 6.3.1

Définissez $\frac{x^{2} - x}{| x^{2} - x |}$ égal à $0$ .

$\frac{x^{2} - x}{| x^{2} - x |} = 0$

Étape 6.3.2

Résolvez $\frac{x^{2} - x}{| x^{2} - x |} = 0$ pour $x$ .

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Étape 6.3.2.1

Définissez le numérateur égal à zéro.

$x^{2} - x = 0$

Étape 6.3.2.2

Résolvez l’équation pour $x$ .

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Étape 6.3.2.2.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{2} - x$ .

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Étape 6.3.2.2.1.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{2}$ .

$x \cdot x - x = 0$

Étape 6.3.2.2.1.2

Factorisez $x$ à partir de $- x$ .

$x \cdot x + x \cdot - 1 = 0$

Étape 6.3.2.2.1.3

Factorisez $x$ à partir de $x \cdot x + x \cdot - 1$ .

$x (x - 1) = 0$

Étape 6.3.2.2.2

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x = 0$

$x - 1 = 0$

Étape 6.3.2.2.3

Définissez $x$ égal à $0$ .

$x = 0$

Étape 6.3.2.2.4

Définissez $x - 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 6.3.2.2.4.1

Définissez $x - 1$ égal à $0$ .

$x - 1 = 0$

Étape 6.3.2.2.4.2

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 1$

Étape 6.3.2.2.5

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $x (x - 1) = 0$ vraie.

$x = 0, 1$

Étape 6.4

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(2 x - 1) (\frac{x^{2} - x}{| x^{2} - x |}) = 0$ vraie.

$x = \frac{1}{2}, 0, 1$

Étape 6.5

Excluez les solutions qui ne rendent pas $(2 x - 1) (\frac{x^{2} - x}{| x^{2} - x |}) = 0$ vrai.

$x = \frac{1}{2}$

Étape 7

Simplifiez $| {(\frac{1}{2})}^{2} - (\frac{1}{2}) |$ .

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Étape 7.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 7.1.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{1}{2}$ .

$y = | \frac{1^{2}}{2^{2}} - (\frac{1}{2}) |$

Étape 7.1.2

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$y = | \frac{1}{2^{2}} - (\frac{1}{2}) |$

Étape 7.1.3

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$y = | \frac{1}{4} - \frac{1}{2} |$

Étape 7.2

Pour écrire $- \frac{1}{2}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$y = | \frac{1}{4} - \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{2} |$

Étape 7.3

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $4$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 7.3.1

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $\frac{2}{2}$ .

$y = | \frac{1}{4} - \frac{2}{2 \cdot 2} |$

Étape 7.3.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$y = | \frac{1}{4} - \frac{2}{4} |$

Étape 7.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y = | \frac{1 - 2}{4} |$

Étape 7.5

Soustrayez $2$ de $1$ .

$y = | \frac{- 1}{4} |$

Étape 7.6

Placez le signe moins devant la fraction.

$y = | - \frac{1}{4} |$

Étape 7.7

$- \frac{1}{4}$ est d’environ $- 0.25$ qui est négatif, alors inversez $- \frac{1}{4}$ et retirez la valeur absolue

$y = \frac{1}{4}$

Étape 8

Déterminez les points où $\frac{d y}{d x} = 0$ .

$(\frac{1}{2}, \frac{1}{4})$

Étape 9

Saisissez VOTRE problème