Calcul infinitésimal Exemples

$y = x - x^{2} + 4 x^{4}$

Étape 1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (x - x^{2} + 4 x^{4})$

Étape 2

La dérivée de $y$ par rapport à $x$ est $y'$ .

$y'$

Étape 3

Différenciez le côté droit de l’équation.

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Étape 3.1

Différenciez.

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Étape 3.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x - x^{2} + 4 x^{4}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x^{4}]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x^{4}]$

Étape 3.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x^{4}]$

Étape 3.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

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Étape 3.2.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x^{2}$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$1 - \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x^{4}]$

Étape 3.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$1 - (2 x) + \frac{d}{d x} [4 x^{4}]$

Étape 3.2.3

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$1 - 2 x + \frac{d}{d x} [4 x^{4}]$

Étape 3.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [4 x^{4}]$ .

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Étape 3.3.1

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4 x^{4}$ par rapport à $x$ est $4 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$1 - 2 x + 4 \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Étape 3.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$1 - 2 x + 4 (4 x^{3})$

Étape 3.3.3

Multipliez $4$ par $4$ .

$1 - 2 x + 16 x^{3}$

Étape 3.4

Remettez les termes dans l’ordre.

$16 x^{3} - 2 x + 1$

Étape 4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$y' = 16 x^{3} - 2 x + 1$

Étape 5

Remplacez $y'$ par $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = 16 x^{3} - 2 x + 1$

Étape 6

Définissez $\frac{d y}{d x} = 0$ puis résolvez pour $x$ dans les termes de $y$ .

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Étape 6.1

Factorisez $16 x^{3} - 2 x + 1$ en utilisant le test des racines rationnelles.

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Étape 6.1.1

Si une fonction polynomiale a des coefficients entiers, chaque zéro rationnel aura la forme $\frac{p}{q}$ où $p$ est un facteur de la constante et $q$ est un facteur du coefficient directeur.

$p = \pm 1$

$q = \pm 1, \pm 16, \pm 2, \pm 8, \pm 4$

Étape 6.1.2

Déterminez chaque combinaison de $\pm \frac{p}{q}$ . Il s’agit des racines possibles de la fonction polynomiale.

$\pm 1, \pm 0.0625, \pm 0.5, \pm 0.125, \pm 0.25$

Étape 6.1.3

Remplacez $- 0.5$ et simplifiez l’expression. Dans ce cas, l’expression est égale à $0$ donc $- 0.5$ est une racine du polynôme.

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Étape 6.1.3.1

Remplacez $- 0.5$ dans le polynôme.

$16 {(- 0.5)}^{3} - 2 \cdot - 0.5 + 1$

Étape 6.1.3.2

Élevez $- 0.5$ à la puissance $3$ .

$16 \cdot - 0.125 - 2 \cdot - 0.5 + 1$

Étape 6.1.3.3

Multipliez $16$ par $- 0.125$ .

$- 2 - 2 \cdot - 0.5 + 1$

Étape 6.1.3.4

Multipliez $- 2$ par $- 0.5$ .

$- 2 + 1 + 1$

Étape 6.1.3.5

Additionnez $- 2$ et $1$ .

$- 1 + 1$

Étape 6.1.3.6

Additionnez $- 1$ et $1$ .

$0$

Étape 6.1.4

Comme $- 0.5$ est une racine connue, divisez le polynôme par $2 x + 1$ pour déterminer le polynôme quotient. Ce polynôme peut alors être utilisé pour déterminer les racines restantes.

$\frac{16 x^{3} - 2 x + 1}{2 x + 1}$

Étape 6.1.5

Divisez $16 x^{3} - 2 x + 1$ par $2 x + 1$ .

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Étape 6.1.5.1

Définissez les polynômes à diviser. S’il n’y a pas de terme pour chaque exposant, insérez-en un avec une valeur de $0$ .

$2 x$

$1$

$16 x^{3}$

$0 x^{2}$

$2 x$

$1$

Étape 6.1.5.2

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $16 x^{3}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $2 x$ .

					$8 x^{2}$
	$2 x$	+	$1$		$16 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$2 x$	+	$1$

Étape 6.1.5.3

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$8 x^{2}$
$2 x$	+	$1$		$16 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$2 x$	+	$1$
			+	$16 x^{3}$	+	$8 x^{2}$

Étape 6.1.5.4

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $16 x^{3} + 8 x^{2}$

				$8 x^{2}$
$2 x$	+	$1$		$16 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$2 x$	+	$1$
			-	$16 x^{3}$	-	$8 x^{2}$

Étape 6.1.5.5

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$8 x^{2}$
$2 x$	+	$1$		$16 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$2 x$	+	$1$
			-	$16 x^{3}$	-	$8 x^{2}$
					-	$8 x^{2}$

Étape 6.1.5.6

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

				$8 x^{2}$
$2 x$	+	$1$		$16 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$2 x$	+	$1$
			-	$16 x^{3}$	-	$8 x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	-	$2 x$

Étape 6.1.5.7

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $- 8 x^{2}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $2 x$ .

				$8 x^{2}$	-	$4 x$
$2 x$	+	$1$		$16 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$2 x$	+	$1$
			-	$16 x^{3}$	-	$8 x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	-	$2 x$

Étape 6.1.5.8

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$8 x^{2}$	-	$4 x$
$2 x$	+	$1$		$16 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$2 x$	+	$1$
			-	$16 x^{3}$	-	$8 x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	-	$2 x$
					-	$8 x^{2}$	-	$4 x$

Étape 6.1.5.9

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $- 8 x^{2} - 4 x$

				$8 x^{2}$	-	$4 x$
$2 x$	+	$1$		$16 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$2 x$	+	$1$
			-	$16 x^{3}$	-	$8 x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	-	$2 x$
					+	$8 x^{2}$	+	$4 x$

Étape 6.1.5.10

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$8 x^{2}$	-	$4 x$
$2 x$	+	$1$		$16 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$2 x$	+	$1$
			-	$16 x^{3}$	-	$8 x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	-	$2 x$
					+	$8 x^{2}$	+	$4 x$
							+	$2 x$

Étape 6.1.5.11

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

				$8 x^{2}$	-	$4 x$
$2 x$	+	$1$		$16 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$2 x$	+	$1$
			-	$16 x^{3}$	-	$8 x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	-	$2 x$
					+	$8 x^{2}$	+	$4 x$
							+	$2 x$	+	$1$

Étape 6.1.5.12

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $2 x$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $2 x$ .

				$8 x^{2}$	-	$4 x$	+	$1$
$2 x$	+	$1$		$16 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$2 x$	+	$1$
			-	$16 x^{3}$	-	$8 x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	-	$2 x$
					+	$8 x^{2}$	+	$4 x$
							+	$2 x$	+	$1$

Étape 6.1.5.13

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$8 x^{2}$	-	$4 x$	+	$1$
$2 x$	+	$1$		$16 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$2 x$	+	$1$
			-	$16 x^{3}$	-	$8 x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	-	$2 x$
					+	$8 x^{2}$	+	$4 x$
							+	$2 x$	+	$1$
							+	$2 x$	+	$1$

Étape 6.1.5.14

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $2 x + 1$

				$8 x^{2}$	-	$4 x$	+	$1$
$2 x$	+	$1$		$16 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$2 x$	+	$1$
			-	$16 x^{3}$	-	$8 x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	-	$2 x$
					+	$8 x^{2}$	+	$4 x$
							+	$2 x$	+	$1$
							-	$2 x$	-	$1$

Étape 6.1.5.15

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$8 x^{2}$	-	$4 x$	+	$1$
$2 x$	+	$1$		$16 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$2 x$	+	$1$
			-	$16 x^{3}$	-	$8 x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	-	$2 x$
					+	$8 x^{2}$	+	$4 x$
							+	$2 x$	+	$1$
							-	$2 x$	-	$1$
										$0$

Étape 6.1.5.16

Comme le reste est $0$ , la réponse finale est le quotient.

$8 x^{2} - 4 x + 1$

Étape 6.1.6

Écrivez $16 x^{3} - 2 x + 1$ comme un ensemble de facteurs.

$(2 x + 1) (8 x^{2} - 4 x + 1) = 0$

Étape 6.2

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$2 x + 1 = 0$

$8 x^{2} - 4 x + 1 = 0$

Étape 6.3

Définissez $2 x + 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 6.3.1

Définissez $2 x + 1$ égal à $0$ .

$2 x + 1 = 0$

Étape 6.3.2

Résolvez $2 x + 1 = 0$ pour $x$ .

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Étape 6.3.2.1

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$2 x = - 1$

Étape 6.3.2.2

Divisez chaque terme dans $2 x = - 1$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 6.3.2.2.1

Divisez chaque terme dans $2 x = - 1$ par $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 1}{2}$

Étape 6.3.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 6.3.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 6.3.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 1}{2}$

Étape 6.3.2.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{- 1}{2}$

Étape 6.3.2.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 6.3.2.2.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$x = - \frac{1}{2}$

Étape 6.4

Définissez $8 x^{2} - 4 x + 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 6.4.1

Définissez $8 x^{2} - 4 x + 1$ égal à $0$ .

$8 x^{2} - 4 x + 1 = 0$

Étape 6.4.2

Résolvez $8 x^{2} - 4 x + 1 = 0$ pour $x$ .

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Étape 6.4.2.1

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 6.4.2.2

Remplacez les valeurs $a = 8$ , $b = - 4$ et $c = 1$ dans la formule quadratique et résolvez pour $x$ .

$\frac{4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot (8 \cdot 1)}}{2 \cdot 8}$

Étape 6.4.2.3

Simplifiez

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Étape 6.4.2.3.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.4.2.3.1.1

Élevez $- 4$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 8 \cdot 1}}{2 \cdot 8}$

Étape 6.4.2.3.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 8 \cdot 1$ .

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Étape 6.4.2.3.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $8$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 32 \cdot 1}}{2 \cdot 8}$

Étape 6.4.2.3.1.2.2

Multipliez $- 32$ par $1$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 32}}{2 \cdot 8}$

Étape 6.4.2.3.1.3

Soustrayez $32$ de $16$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{- 16}}{2 \cdot 8}$

Étape 6.4.2.3.1.4

Réécrivez $- 16$ comme $- 1 (16)$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{- 1 \cdot 16}}{2 \cdot 8}$

Étape 6.4.2.3.1.5

Réécrivez $\sqrt{- 1 (16)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{16}$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{16}}{2 \cdot 8}$

Étape 6.4.2.3.1.6

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$x = \frac{4 \pm i \cdot \sqrt{16}}{2 \cdot 8}$

Étape 6.4.2.3.1.7

Réécrivez $16$ comme $4^{2}$ .

$x = \frac{4 \pm i \cdot \sqrt{4^{2}}}{2 \cdot 8}$

Étape 6.4.2.3.1.8

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$x = \frac{4 \pm i \cdot 4}{2 \cdot 8}$

Étape 6.4.2.3.1.9

Déplacez $4$ à gauche de $i$ .

$x = \frac{4 \pm 4 i}{2 \cdot 8}$

Étape 6.4.2.3.2

Multipliez $2$ par $8$ .

$x = \frac{4 \pm 4 i}{16}$

Étape 6.4.2.3.3

Simplifiez $\frac{4 \pm 4 i}{16}$ .

$x = \frac{1 \pm i}{4}$

Étape 6.4.2.4

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $+$ du $\pm$ .

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Étape 6.4.2.4.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.4.2.4.1.1

Élevez $- 4$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 8 \cdot 1}}{2 \cdot 8}$

Étape 6.4.2.4.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 8 \cdot 1$ .

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Étape 6.4.2.4.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $8$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 32 \cdot 1}}{2 \cdot 8}$

Étape 6.4.2.4.1.2.2

Multipliez $- 32$ par $1$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 32}}{2 \cdot 8}$

Étape 6.4.2.4.1.3

Soustrayez $32$ de $16$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{- 16}}{2 \cdot 8}$

Étape 6.4.2.4.1.4

Réécrivez $- 16$ comme $- 1 (16)$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{- 1 \cdot 16}}{2 \cdot 8}$

Étape 6.4.2.4.1.5

Réécrivez $\sqrt{- 1 (16)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{16}$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{16}}{2 \cdot 8}$

Étape 6.4.2.4.1.6

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$x = \frac{4 \pm i \cdot \sqrt{16}}{2 \cdot 8}$

Étape 6.4.2.4.1.7

Réécrivez $16$ comme $4^{2}$ .

$x = \frac{4 \pm i \cdot \sqrt{4^{2}}}{2 \cdot 8}$

Étape 6.4.2.4.1.8

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$x = \frac{4 \pm i \cdot 4}{2 \cdot 8}$

Étape 6.4.2.4.1.9

Déplacez $4$ à gauche de $i$ .

$x = \frac{4 \pm 4 i}{2 \cdot 8}$

Étape 6.4.2.4.2

Multipliez $2$ par $8$ .

$x = \frac{4 \pm 4 i}{16}$

Étape 6.4.2.4.3

Simplifiez $\frac{4 \pm 4 i}{16}$ .

$x = \frac{1 \pm i}{4}$

Étape 6.4.2.4.4

Remplacez le $\pm$ par $+$ .

$x = \frac{1 + i}{4}$

Étape 6.4.2.4.5

Divisez la fraction $\frac{1 + i}{4}$ en deux fractions.

$x = \frac{1}{4} + \frac{i}{4}$

Étape 6.4.2.5

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $-$ du $\pm$ .

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Étape 6.4.2.5.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.4.2.5.1.1

Élevez $- 4$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 8 \cdot 1}}{2 \cdot 8}$

Étape 6.4.2.5.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 8 \cdot 1$ .

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Étape 6.4.2.5.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $8$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 32 \cdot 1}}{2 \cdot 8}$

Étape 6.4.2.5.1.2.2

Multipliez $- 32$ par $1$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 32}}{2 \cdot 8}$

Étape 6.4.2.5.1.3

Soustrayez $32$ de $16$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{- 16}}{2 \cdot 8}$

Étape 6.4.2.5.1.4

Réécrivez $- 16$ comme $- 1 (16)$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{- 1 \cdot 16}}{2 \cdot 8}$

Étape 6.4.2.5.1.5

Réécrivez $\sqrt{- 1 (16)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{16}$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{16}}{2 \cdot 8}$

Étape 6.4.2.5.1.6

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$x = \frac{4 \pm i \cdot \sqrt{16}}{2 \cdot 8}$

Étape 6.4.2.5.1.7

Réécrivez $16$ comme $4^{2}$ .

$x = \frac{4 \pm i \cdot \sqrt{4^{2}}}{2 \cdot 8}$

Étape 6.4.2.5.1.8

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$x = \frac{4 \pm i \cdot 4}{2 \cdot 8}$

Étape 6.4.2.5.1.9

Déplacez $4$ à gauche de $i$ .

$x = \frac{4 \pm 4 i}{2 \cdot 8}$

Étape 6.4.2.5.2

Multipliez $2$ par $8$ .

$x = \frac{4 \pm 4 i}{16}$

Étape 6.4.2.5.3

Simplifiez $\frac{4 \pm 4 i}{16}$ .

$x = \frac{1 \pm i}{4}$

Étape 6.4.2.5.4

Remplacez le $\pm$ par $-$ .

$x = \frac{1 - i}{4}$

Étape 6.4.2.5.5

Divisez la fraction $\frac{1 - i}{4}$ en deux fractions.

$x = \frac{1}{4} + \frac{- i}{4}$

Étape 6.4.2.5.6

Placez le signe moins devant la fraction.

$x = \frac{1}{4} - \frac{i}{4}$

Étape 6.4.2.6

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$x = \frac{1}{4} + \frac{i}{4}, \frac{1}{4} - \frac{i}{4}$

Étape 6.5

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(2 x + 1) (8 x^{2} - 4 x + 1) = 0$ vraie.

$x = - \frac{1}{2}, \frac{1}{4} + \frac{i}{4}, \frac{1}{4} - \frac{i}{4}$

Étape 7

Résolvez $y$ .

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Étape 7.1

Supprimez les parenthèses.

$y = - \frac{1}{2} - {(- \frac{1}{2})}^{2} + 4 {(- \frac{1}{2})}^{4}$

Étape 7.2

Supprimez les parenthèses.

$y = (- \frac{1}{2}) - {(- \frac{1}{2})}^{2} + 4 {(- \frac{1}{2})}^{4}$

Étape 7.3

Simplifiez $(- \frac{1}{2}) - {(- \frac{1}{2})}^{2} + 4 {(- \frac{1}{2})}^{4}$ .

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Étape 7.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 7.3.1.1

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

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Étape 7.3.1.1.1

Appliquez la règle de produit à $- \frac{1}{2}$ .

$y = - \frac{1}{2} - ({(- 1)}^{2} {(\frac{1}{2})}^{2}) + 4 {(- \frac{1}{2})}^{4}$

Étape 7.3.1.1.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{1}{2}$ .

$y = - \frac{1}{2} - ({(- 1)}^{2} \frac{1^{2}}{2^{2}}) + 4 {(- \frac{1}{2})}^{4}$

Étape 7.3.1.2

Multipliez $- 1$ par ${(- 1)}^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 7.3.1.2.1

Déplacez ${(- 1)}^{2}$ .

$y = - \frac{1}{2} + {(- 1)}^{2} \cdot - 1 \frac{1^{2}}{2^{2}} + 4 {(- \frac{1}{2})}^{4}$

Étape 7.3.1.2.2

Multipliez ${(- 1)}^{2}$ par $- 1$ .

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Étape 7.3.1.2.2.1

Élevez $- 1$ à la puissance $1$ .

$y = - \frac{1}{2} + {(- 1)}^{2} \cdot {(- 1)}^{1} \frac{1^{2}}{2^{2}} + 4 {(- \frac{1}{2})}^{4}$

Étape 7.3.1.2.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$y = - \frac{1}{2} + {(- 1)}^{2 + 1} \frac{1^{2}}{2^{2}} + 4 {(- \frac{1}{2})}^{4}$

Étape 7.3.1.2.3

Additionnez $2$ et $1$ .

$y = - \frac{1}{2} + {(- 1)}^{3} \frac{1^{2}}{2^{2}} + 4 {(- \frac{1}{2})}^{4}$

Étape 7.3.1.3

Élevez $- 1$ à la puissance $3$ .

$y = - \frac{1}{2} - \frac{1^{2}}{2^{2}} + 4 {(- \frac{1}{2})}^{4}$

Étape 7.3.1.4

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$y = - \frac{1}{2} - \frac{1}{2^{2}} + 4 {(- \frac{1}{2})}^{4}$

Étape 7.3.1.5

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$y = - \frac{1}{2} - \frac{1}{4} + 4 {(- \frac{1}{2})}^{4}$

Étape 7.3.1.6

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

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Étape 7.3.1.6.1

Appliquez la règle de produit à $- \frac{1}{2}$ .

$y = - \frac{1}{2} - \frac{1}{4} + 4 ({(- 1)}^{4} {(\frac{1}{2})}^{4})$

Étape 7.3.1.6.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{1}{2}$ .

$y = - \frac{1}{2} - \frac{1}{4} + 4 ({(- 1)}^{4} \frac{1^{4}}{2^{4}})$

Étape 7.3.1.7

Élevez $- 1$ à la puissance $4$ .

$y = - \frac{1}{2} - \frac{1}{4} + 4 (1 \frac{1^{4}}{2^{4}})$

Étape 7.3.1.8

Multipliez $\frac{1^{4}}{2^{4}}$ par $1$ .

$y = - \frac{1}{2} - \frac{1}{4} + 4 \frac{1^{4}}{2^{4}}$

Étape 7.3.1.9

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$y = - \frac{1}{2} - \frac{1}{4} + 4 \frac{1}{2^{4}}$

Étape 7.3.1.10

Élevez $2$ à la puissance $4$ .

$y = - \frac{1}{2} - \frac{1}{4} + 4 (\frac{1}{16})$

Étape 7.3.1.11

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 7.3.1.11.1

Factorisez $4$ à partir de $16$ .

$y = - \frac{1}{2} - \frac{1}{4} + 4 \frac{1}{4 (4)}$

Étape 7.3.1.11.2

Annulez le facteur commun.

$y = - \frac{1}{2} - \frac{1}{4} + 4 \frac{1}{4 \cdot 4}$

Étape 7.3.1.11.3

Réécrivez l’expression.

$y = - \frac{1}{2} - \frac{1}{4} + \frac{1}{4}$

Étape 7.3.2

Associez les fractions.

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Étape 7.3.2.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y = \frac{- 1}{2} + \frac{- 1 + 1}{4}$

Étape 7.3.2.2

Additionnez $- 1$ et $1$ .

$y = \frac{- 1}{2} + \frac{0}{4}$

Étape 7.3.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 7.3.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$y = - \frac{1}{2} + \frac{0}{4}$

Étape 7.3.3.2

Divisez $0$ par $4$ .

$y = - \frac{1}{2} + 0$

Étape 7.3.4

Additionnez $- \frac{1}{2}$ et $0$ .

$y = - \frac{1}{2}$

Étape 8

Les valeurs $x$ calculées ne peuvent pas contenir de composants imaginaires.

$\frac{1}{4} + \frac{i}{4}$ n’est pas une valeur valide pour x

Étape 9

Les valeurs $x$ calculées ne peuvent pas contenir de composants imaginaires.

$\frac{1}{4} - \frac{i}{4}$ n’est pas une valeur valide pour x

Étape 10

Déterminez les points où $\frac{d y}{d x} = 0$ .

$(- \frac{1}{2}, - \frac{1}{2})$

Étape 11

Saisissez VOTRE problème