Calcul infinitésimal Exemples

$y = x + 4 x^{2}$

Étape 1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (x + 4 x^{2})$

Étape 2

La dérivée de $y$ par rapport à $x$ est $y'$ .

$y'$

Étape 3

Différenciez le côté droit de l’équation.

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Étape 3.1

Différenciez.

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Étape 3.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x + 4 x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4 x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4 x^{2}]$

Étape 3.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [4 x^{2}]$

Étape 3.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [4 x^{2}]$ .

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Étape 3.2.1

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4 x^{2}$ par rapport à $x$ est $4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$1 + 4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 3.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$1 + 4 (2 x)$

Étape 3.2.3

Multipliez $2$ par $4$ .

$1 + 8 x$

Étape 3.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$8 x + 1$

Étape 4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$y' = 8 x + 1$

Étape 5

Remplacez $y'$ par $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = 8 x + 1$

Étape 6

Définissez $\frac{d y}{d x} = 0$ puis résolvez pour $x$ dans les termes de $y$ .

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Étape 6.1

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$8 x = - 1$

Étape 6.2

Divisez chaque terme dans $8 x = - 1$ par $8$ et simplifiez.

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Étape 6.2.1

Divisez chaque terme dans $8 x = - 1$ par $8$ .

$\frac{8 x}{8} = \frac{- 1}{8}$

Étape 6.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 6.2.2.1

Annulez le facteur commun de $8$ .

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Étape 6.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{8 x}{8} = \frac{- 1}{8}$

Étape 6.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{- 1}{8}$

Étape 6.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 6.2.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$x = - \frac{1}{8}$

Étape 7

Résolvez $y$ .

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Étape 7.1

Supprimez les parenthèses.

$y = - \frac{1}{8} + 4 {(- \frac{1}{8})}^{2}$

Étape 7.2

Supprimez les parenthèses.

$y = (- \frac{1}{8}) + 4 {(- \frac{1}{8})}^{2}$

Étape 7.3

Simplifiez $(- \frac{1}{8}) + 4 {(- \frac{1}{8})}^{2}$ .

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Étape 7.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 7.3.1.1

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

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Étape 7.3.1.1.1

Appliquez la règle de produit à $- \frac{1}{8}$ .

$y = - \frac{1}{8} + 4 ({(- 1)}^{2} {(\frac{1}{8})}^{2})$

Étape 7.3.1.1.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{1}{8}$ .

$y = - \frac{1}{8} + 4 ({(- 1)}^{2} \frac{1^{2}}{8^{2}})$

Étape 7.3.1.2

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$y = - \frac{1}{8} + 4 (1 \frac{1^{2}}{8^{2}})$

Étape 7.3.1.3

Multipliez $\frac{1^{2}}{8^{2}}$ par $1$ .

$y = - \frac{1}{8} + 4 \frac{1^{2}}{8^{2}}$

Étape 7.3.1.4

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$y = - \frac{1}{8} + 4 \frac{1}{8^{2}}$

Étape 7.3.1.5

Élevez $8$ à la puissance $2$ .

$y = - \frac{1}{8} + 4 (\frac{1}{64})$

Étape 7.3.1.6

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 7.3.1.6.1

Factorisez $4$ à partir de $64$ .

$y = - \frac{1}{8} + 4 \frac{1}{4 (16)}$

Étape 7.3.1.6.2

Annulez le facteur commun.

$y = - \frac{1}{8} + 4 \frac{1}{4 \cdot 16}$

Étape 7.3.1.6.3

Réécrivez l’expression.

$y = - \frac{1}{8} + \frac{1}{16}$

Étape 7.3.2

Pour écrire $- \frac{1}{8}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$y = - \frac{1}{8} \cdot \frac{2}{2} + \frac{1}{16}$

Étape 7.3.3

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $16$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 7.3.3.1

Multipliez $\frac{1}{8}$ par $\frac{2}{2}$ .

$y = - \frac{2}{8 \cdot 2} + \frac{1}{16}$

Étape 7.3.3.2

Multipliez $8$ par $2$ .

$y = - \frac{2}{16} + \frac{1}{16}$

Étape 7.3.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y = \frac{- 2 + 1}{16}$

Étape 7.3.5

Additionnez $- 2$ et $1$ .

$y = \frac{- 1}{16}$

Étape 7.3.6

Placez le signe moins devant la fraction.

$y = - \frac{1}{16}$

Étape 8

Déterminez les points où $\frac{d y}{d x} = 0$ .

$(- \frac{1}{8}, - \frac{1}{16})$

Étape 9

Saisissez VOTRE problème