Calcul infinitésimal Exemples

$y = x^{4} - 8 x^{2}$

Étape 1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (x^{4} - 8 x^{2})$

Étape 2

La dérivée de $y$ par rapport à $x$ est $y'$ .

$y'$

Étape 3

Différenciez le côté droit de l’équation.

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Étape 3.1

Différenciez.

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Étape 3.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{4} - 8 x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 8 x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 8 x^{2}]$

Étape 3.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$4 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 8 x^{2}]$

Étape 3.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 8 x^{2}]$ .

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Étape 3.2.1

Comme $- 8$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 8 x^{2}$ par rapport à $x$ est $- 8 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$4 x^{3} - 8 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 3.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$4 x^{3} - 8 (2 x)$

Étape 3.2.3

Multipliez $2$ par $- 8$ .

$4 x^{3} - 16 x$

Étape 4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$y' = 4 x^{3} - 16 x$

Étape 5

Remplacez $y'$ par $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = 4 x^{3} - 16 x$

Étape 6

Définissez $\frac{d y}{d x} = 0$ puis résolvez pour $x$ dans les termes de $y$ .

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Étape 6.1

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 6.1.1

Factorisez $4 x$ à partir de $4 x^{3} - 16 x$ .

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Étape 6.1.1.1

Factorisez $4 x$ à partir de $4 x^{3}$ .

$4 x (x^{2}) - 16 x = 0$

Étape 6.1.1.2

Factorisez $4 x$ à partir de $- 16 x$ .

$4 x (x^{2}) + 4 x (- 4) = 0$

Étape 6.1.1.3

Factorisez $4 x$ à partir de $4 x (x^{2}) + 4 x (- 4)$ .

$4 x (x^{2} - 4) = 0$

Étape 6.1.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$4 x (x^{2} - 2^{2}) = 0$

Étape 6.1.3

Factorisez.

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Étape 6.1.3.1

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x$ et $b = 2$ .

$4 x ((x + 2) (x - 2)) = 0$

Étape 6.1.3.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$4 x (x + 2) (x - 2) = 0$

Étape 6.2

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x = 0$

$x + 2 = 0$

$x - 2 = 0$

Étape 6.3

Définissez $x$ égal à $0$ .

$x = 0$

Étape 6.4

Définissez $x + 2$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 6.4.1

Définissez $x + 2$ égal à $0$ .

$x + 2 = 0$

Étape 6.4.2

Soustrayez $2$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 2$

Étape 6.5

Définissez $x - 2$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 6.5.1

Définissez $x - 2$ égal à $0$ .

$x - 2 = 0$

Étape 6.5.2

Ajoutez $2$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 2$

Étape 6.6

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $4 x (x + 2) (x - 2) = 0$ vraie.

$x = 0, - 2, 2$

Étape 7

Résolvez $y$ .

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Étape 7.1

Supprimez les parenthèses.

$y = 0^{4} - 8 {(0)}^{2}$

Étape 7.2

Supprimez les parenthèses.

$y = 0^{4} - 8 \cdot 0^{2}$

Étape 7.3

Simplifiez $0^{4} - 8 \cdot 0^{2}$ .

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Étape 7.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 7.3.1.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$y = 0 - 8 \cdot 0^{2}$

Étape 7.3.1.2

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$y = 0 - 8 \cdot 0$

Étape 7.3.1.3

Multipliez $- 8$ par $0$ .

$y = 0 + 0$

Étape 7.3.2

Additionnez $0$ et $0$ .

$y = 0$

Étape 8

Simplifiez ${(- 2)}^{4} - 8 {(- 2)}^{2}$ .

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Étape 8.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 8.1.1

Élevez $- 2$ à la puissance $4$ .

$y = 16 - 8 {(- 2)}^{2}$

Étape 8.1.2

Élevez $- 2$ à la puissance $2$ .

$y = 16 - 8 \cdot 4$

Étape 8.1.3

Multipliez $- 8$ par $4$ .

$y = 16 - 32$

Étape 8.2

Soustrayez $32$ de $16$ .

$y = - 16$

Étape 9

Déterminez les points où $\frac{d y}{d x} = 0$ .

$(0, 0)$

$(- 2, - 16)$

$(2, - 16)$

Étape 10

Saisissez VOTRE problème