Calcul infinitésimal Exemples

$y = x^{2} - 2 x$ , $y = x$

Étape 1

Pour déterminer le volume du solide, commencez par définir l’aire de chaque coupe, puis intégrez sur la plage. L’aire de chaque coupe est l’aire d’un cercle avec un rayon de $f (x)$ et $A = π r^{2}$ .

$V = π \int_{0}^{3} {(f (x))}^{2} - {(g (x))}^{2} d x$ où $f (x) = x$ et $g (x) = x^{2} - 2 x$

Étape 2

Simplifiez l’intégrande.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.1

Réécrivez ${(x^{2} - 2 x)}^{2}$ comme $(x^{2} - 2 x) (x^{2} - 2 x)$ .

$V = x^{2} - ((x^{2} - 2 x) (x^{2} - 2 x))$

Étape 2.1.2

Développez $(x^{2} - 2 x) (x^{2} - 2 x)$ à l’aide de la méthode FOIL.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$V = x^{2} - (x^{2} (x^{2} - 2 x) - 2 x (x^{2} - 2 x))$

Étape 2.1.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$V = x^{2} - (x^{2} x^{2} + x^{2} (- 2 x) - 2 x (x^{2} - 2 x))$

Étape 2.1.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$V = x^{2} - (x^{2} x^{2} + x^{2} (- 2 x) - 2 x \cdot x^{2} - 2 x (- 2 x))$

Étape 2.1.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.3.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.3.1.1

Multipliez $x^{2}$ par $x^{2}$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.3.1.1.1

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$V = x^{2} - (x^{2 + 2} + x^{2} (- 2 x) - 2 x \cdot x^{2} - 2 x (- 2 x))$

Étape 2.1.3.1.1.2

Additionnez $2$ et $2$ .

$V = x^{2} - (x^{4} + x^{2} (- 2 x) - 2 x \cdot x^{2} - 2 x (- 2 x))$

Étape 2.1.3.1.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$V = x^{2} - (x^{4} - 2 x^{2} x - 2 x \cdot x^{2} - 2 x (- 2 x))$

Étape 2.1.3.1.3

Multipliez $x^{2}$ par $x$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.3.1.3.1

Déplacez $x$ .

$V = x^{2} - (x^{4} - 2 (x \cdot x^{2}) - 2 x \cdot x^{2} - 2 x (- 2 x))$

Étape 2.1.3.1.3.2

Multipliez $x$ par $x^{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.3.1.3.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$V = x^{2} - (x^{4} - 2 (x \cdot x^{2}) - 2 x \cdot x^{2} - 2 x (- 2 x))$

Étape 2.1.3.1.3.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$V = x^{2} - (x^{4} - 2 x^{1 + 2} - 2 x \cdot x^{2} - 2 x (- 2 x))$

Étape 2.1.3.1.3.3

Additionnez $1$ et $2$ .

$V = x^{2} - (x^{4} - 2 x^{3} - 2 x \cdot x^{2} - 2 x (- 2 x))$

Étape 2.1.3.1.4

Multipliez $x$ par $x^{2}$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.3.1.4.1

Déplacez $x^{2}$ .

$V = x^{2} - (x^{4} - 2 x^{3} - 2 (x^{2} x) - 2 x (- 2 x))$

Étape 2.1.3.1.4.2

Multipliez $x^{2}$ par $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.3.1.4.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$V = x^{2} - (x^{4} - 2 x^{3} - 2 (x^{2} x) - 2 x (- 2 x))$

Étape 2.1.3.1.4.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$V = x^{2} - (x^{4} - 2 x^{3} - 2 x^{2 + 1} - 2 x (- 2 x))$

Étape 2.1.3.1.4.3

Additionnez $2$ et $1$ .

$V = x^{2} - (x^{4} - 2 x^{3} - 2 x^{3} - 2 x (- 2 x))$

Étape 2.1.3.1.5

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$V = x^{2} - (x^{4} - 2 x^{3} - 2 x^{3} - 2 \cdot (- 2 x \cdot x))$

Étape 2.1.3.1.6

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.3.1.6.1

Déplacez $x$ .

$V = x^{2} - (x^{4} - 2 x^{3} - 2 x^{3} - 2 \cdot (- 2 (x \cdot x)))$

Étape 2.1.3.1.6.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$V = x^{2} - (x^{4} - 2 x^{3} - 2 x^{3} - 2 \cdot (- 2 x^{2}))$

Étape 2.1.3.1.7

Multipliez $- 2$ par $- 2$ .

$V = x^{2} - (x^{4} - 2 x^{3} - 2 x^{3} + 4 x^{2})$

Étape 2.1.3.2

Soustrayez $2 x^{3}$ de $- 2 x^{3}$ .

$V = x^{2} - (x^{4} - 4 x^{3} + 4 x^{2})$

Étape 2.1.4

Appliquez la propriété distributive.

$V = x^{2} - x^{4} - (- 4 x^{3}) - (4 x^{2})$

Étape 2.1.5

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.5.1

Multipliez $- 4$ par $- 1$ .

$V = x^{2} - x^{4} + 4 x^{3} - (4 x^{2})$

Étape 2.1.5.2

Multipliez $4$ par $- 1$ .

$V = x^{2} - x^{4} + 4 x^{3} - 4 x^{2}$

Étape 2.2

Soustrayez $4 x^{2}$ de $x^{2}$ .

$V = - x^{4} + 4 x^{3} - 3 x^{2}$

Étape 3

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$V = π (\int_{0}^{3} - x^{4} d x + \int_{0}^{3} 4 x^{3} d x + \int_{0}^{3} - 3 x^{2} d x)$

Étape 4

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$V = π (- \int_{0}^{3} x^{4} d x + \int_{0}^{3} 4 x^{3} d x + \int_{0}^{3} - 3 x^{2} d x)$

Étape 5

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{4}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{5} x^{5}$ .

$V = π (- (\frac{1}{5} x^{5}]_{0}^{3}) + \int_{0}^{3} 4 x^{3} d x + \int_{0}^{3} - 3 x^{2} d x)$

Étape 6

Associez $\frac{1}{5}$ et $x^{5}$ .

$V = π (- (\frac{x^{5}}{5}]_{0}^{3}) + \int_{0}^{3} 4 x^{3} d x + \int_{0}^{3} - 3 x^{2} d x)$

Étape 7

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , placez $4$ en dehors de l’intégrale.

$V = π (- (\frac{x^{5}}{5}]_{0}^{3}) + 4 \int_{0}^{3} x^{3} d x + \int_{0}^{3} - 3 x^{2} d x)$

Étape 8

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{3}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$V = π (- (\frac{x^{5}}{5}]_{0}^{3}) + 4 (\frac{1}{4} x^{4}]_{0}^{3}) + \int_{0}^{3} - 3 x^{2} d x)$

Étape 9

Associez $\frac{1}{4}$ et $x^{4}$ .

$V = π (- (\frac{x^{5}}{5}]_{0}^{3}) + 4 (\frac{x^{4}}{4}]_{0}^{3}) + \int_{0}^{3} - 3 x^{2} d x)$

Étape 10

Comme $- 3$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 3$ en dehors de l’intégrale.

$V = π (- (\frac{x^{5}}{5}]_{0}^{3}) + 4 (\frac{x^{4}}{4}]_{0}^{3}) - 3 \int_{0}^{3} x^{2} d x)$

Étape 11

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$V = π (- (\frac{x^{5}}{5}]_{0}^{3}) + 4 (\frac{x^{4}}{4}]_{0}^{3}) - 3 (\frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{3}))$

Étape 12

Simplifiez la réponse.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 12.1

Associez $\frac{1}{3}$ et $x^{3}$ .

$V = π (- (\frac{x^{5}}{5}]_{0}^{3}) + 4 (\frac{x^{4}}{4}]_{0}^{3}) - 3 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{3}))$

Étape 12.2

Remplacez et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 12.2.1

Évaluez $\frac{x^{5}}{5}$ sur $3$ et sur $0$ .

$V = π (- ((\frac{3^{5}}{5}) - \frac{0^{5}}{5}) + 4 (\frac{x^{4}}{4}]_{0}^{3}) - 3 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{3}))$

Étape 12.2.2

Évaluez $\frac{x^{4}}{4}$ sur $3$ et sur $0$ .

$V = π (- (\frac{3^{5}}{5} - \frac{0^{5}}{5}) + 4 (\frac{3^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4}) - 3 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{3}))$

Étape 12.2.3

Évaluez $\frac{x^{3}}{3}$ sur $3$ et sur $0$ .

$V = π (- (\frac{3^{5}}{5} - \frac{0^{5}}{5}) + 4 (\frac{3^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4}) - 3 ((\frac{3^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}))$

Étape 12.2.4

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 12.2.4.1

Élevez $3$ à la puissance $5$ .

$V = π (- (\frac{243}{5} - \frac{0^{5}}{5}) + 4 (\frac{3^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4}) - 3 ((\frac{3^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}))$

Étape 12.2.4.2

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$V = π (- (\frac{243}{5} - \frac{0}{5}) + 4 (\frac{3^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4}) - 3 ((\frac{3^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}))$

Étape 12.2.4.3

Annulez le facteur commun à $0$ et $5$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 12.2.4.3.1

Factorisez $5$ à partir de $0$ .

$V = π (- (\frac{243}{5} - \frac{5 (0)}{5}) + 4 (\frac{3^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4}) - 3 ((\frac{3^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}))$

Étape 12.2.4.3.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 12.2.4.3.2.1

Factorisez $5$ à partir de $5$ .

$V = π (- (\frac{243}{5} - \frac{5 \cdot 0}{5 \cdot 1}) + 4 (\frac{3^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4}) - 3 ((\frac{3^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}))$

Étape 12.2.4.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$V = π (- (\frac{243}{5} - \frac{5 \cdot 0}{5 \cdot 1}) + 4 (\frac{3^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4}) - 3 ((\frac{3^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}))$

Étape 12.2.4.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$V = π (- (\frac{243}{5} - \frac{0}{1}) + 4 (\frac{3^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4}) - 3 ((\frac{3^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}))$

Étape 12.2.4.3.2.4

Divisez $0$ par $1$ .

$V = π (- (\frac{243}{5} - 0) + 4 (\frac{3^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4}) - 3 ((\frac{3^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}))$

Étape 12.2.4.4

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$V = π (- (\frac{243}{5} + 0) + 4 (\frac{3^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4}) - 3 ((\frac{3^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}))$

Étape 12.2.4.5

Additionnez $\frac{243}{5}$ et $0$ .

$V = π (- \frac{243}{5} + 4 (\frac{3^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4}) - 3 ((\frac{3^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}))$

Étape 12.2.4.6

Élevez $3$ à la puissance $4$ .

$V = π (- \frac{243}{5} + 4 (\frac{81}{4} - \frac{0^{4}}{4}) - 3 ((\frac{3^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}))$

Étape 12.2.4.7

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$V = π (- \frac{243}{5} + 4 (\frac{81}{4} - \frac{0}{4}) - 3 ((\frac{3^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}))$

Étape 12.2.4.8

Annulez le facteur commun à $0$ et $4$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 12.2.4.8.1

Factorisez $4$ à partir de $0$ .

$V = π (- \frac{243}{5} + 4 (\frac{81}{4} - \frac{4 (0)}{4}) - 3 ((\frac{3^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}))$

Étape 12.2.4.8.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 12.2.4.8.2.1

Factorisez $4$ à partir de $4$ .

$V = π (- \frac{243}{5} + 4 (\frac{81}{4} - \frac{4 \cdot 0}{4 \cdot 1}) - 3 ((\frac{3^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}))$

Étape 12.2.4.8.2.2

Annulez le facteur commun.

$V = π (- \frac{243}{5} + 4 (\frac{81}{4} - \frac{4 \cdot 0}{4 \cdot 1}) - 3 ((\frac{3^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}))$

Étape 12.2.4.8.2.3

Réécrivez l’expression.

$V = π (- \frac{243}{5} + 4 (\frac{81}{4} - \frac{0}{1}) - 3 ((\frac{3^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}))$

Étape 12.2.4.8.2.4

Divisez $0$ par $1$ .

$V = π (- \frac{243}{5} + 4 (\frac{81}{4} - 0) - 3 ((\frac{3^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}))$

Étape 12.2.4.9

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$V = π (- \frac{243}{5} + 4 (\frac{81}{4} + 0) - 3 ((\frac{3^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}))$

Étape 12.2.4.10

Additionnez $\frac{81}{4}$ et $0$ .

$V = π (- \frac{243}{5} + 4 (\frac{81}{4}) - 3 ((\frac{3^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}))$

Étape 12.2.4.11

Associez $4$ et $\frac{81}{4}$ .

$V = π (- \frac{243}{5} + \frac{4 \cdot 81}{4} - 3 ((\frac{3^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}))$

Étape 12.2.4.12

Multipliez $4$ par $81$ .

$V = π (- \frac{243}{5} + \frac{324}{4} - 3 ((\frac{3^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}))$

Étape 12.2.4.13

Annulez le facteur commun à $324$ et $4$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 12.2.4.13.1

Factorisez $4$ à partir de $324$ .

$V = π (- \frac{243}{5} + \frac{4 \cdot 81}{4} - 3 ((\frac{3^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}))$

Étape 12.2.4.13.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 12.2.4.13.2.1

Factorisez $4$ à partir de $4$ .

$V = π (- \frac{243}{5} + \frac{4 \cdot 81}{4 (1)} - 3 ((\frac{3^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}))$

Étape 12.2.4.13.2.2

Annulez le facteur commun.

$V = π (- \frac{243}{5} + \frac{4 \cdot 81}{4 \cdot 1} - 3 ((\frac{3^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}))$

Étape 12.2.4.13.2.3

Réécrivez l’expression.

$V = π (- \frac{243}{5} + \frac{81}{1} - 3 ((\frac{3^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}))$

Étape 12.2.4.13.2.4

Divisez $81$ par $1$ .

$V = π (- \frac{243}{5} + 81 - 3 ((\frac{3^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}))$

Étape 12.2.4.14

Pour écrire $81$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{5}{5}$ .

$V = π (- \frac{243}{5} + 81 \cdot \frac{5}{5} - 3 ((\frac{3^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}))$

Étape 12.2.4.15

Associez $81$ et $\frac{5}{5}$ .

$V = π (- \frac{243}{5} + \frac{81 \cdot 5}{5} - 3 ((\frac{3^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}))$

Étape 12.2.4.16

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$V = π (\frac{- 243 + 81 \cdot 5}{5} - 3 ((\frac{3^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}))$

Étape 12.2.4.17

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 12.2.4.17.1

Multipliez $81$ par $5$ .

$V = π (\frac{- 243 + 405}{5} - 3 ((\frac{3^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}))$

Étape 12.2.4.17.2

Additionnez $- 243$ et $405$ .

$V = π (\frac{162}{5} - 3 ((\frac{3^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}))$

Étape 12.2.4.18

Élevez $3$ à la puissance $3$ .

$V = π (\frac{162}{5} - 3 (\frac{27}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

Étape 12.2.4.19

Annulez le facteur commun à $27$ et $3$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 12.2.4.19.1

Factorisez $3$ à partir de $27$ .

$V = π (\frac{162}{5} - 3 (\frac{3 \cdot 9}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

Étape 12.2.4.19.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 12.2.4.19.2.1

Factorisez $3$ à partir de $3$ .

$V = π (\frac{162}{5} - 3 (\frac{3 \cdot 9}{3 (1)} - \frac{0^{3}}{3}))$

Étape 12.2.4.19.2.2

Annulez le facteur commun.

$V = π (\frac{162}{5} - 3 (\frac{3 \cdot 9}{3 \cdot 1} - \frac{0^{3}}{3}))$

Étape 12.2.4.19.2.3

Réécrivez l’expression.

$V = π (\frac{162}{5} - 3 (\frac{9}{1} - \frac{0^{3}}{3}))$

Étape 12.2.4.19.2.4

Divisez $9$ par $1$ .

$V = π (\frac{162}{5} - 3 (9 - \frac{0^{3}}{3}))$

Étape 12.2.4.20

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$V = π (\frac{162}{5} - 3 (9 - \frac{0}{3}))$

Étape 12.2.4.21

Annulez le facteur commun à $0$ et $3$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 12.2.4.21.1

Factorisez $3$ à partir de $0$ .

$V = π (\frac{162}{5} - 3 (9 - \frac{3 (0)}{3}))$

Étape 12.2.4.21.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 12.2.4.21.2.1

Factorisez $3$ à partir de $3$ .

$V = π (\frac{162}{5} - 3 (9 - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}))$

Étape 12.2.4.21.2.2

Annulez le facteur commun.

$V = π (\frac{162}{5} - 3 (9 - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}))$

Étape 12.2.4.21.2.3

Réécrivez l’expression.

$V = π (\frac{162}{5} - 3 (9 - \frac{0}{1}))$

Étape 12.2.4.21.2.4

Divisez $0$ par $1$ .

$V = π (\frac{162}{5} - 3 (9 - 0))$

Étape 12.2.4.22

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$V = π (\frac{162}{5} - 3 (9 + 0))$

Étape 12.2.4.23

Additionnez $9$ et $0$ .

$V = π (\frac{162}{5} - 3 \cdot 9)$

Étape 12.2.4.24

Multipliez $- 3$ par $9$ .

$V = π (\frac{162}{5} - 27)$

Étape 12.2.4.25

Pour écrire $- 27$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{5}{5}$ .

$V = π (\frac{162}{5} - 27 \cdot \frac{5}{5})$

Étape 12.2.4.26

Associez $- 27$ et $\frac{5}{5}$ .

$V = π (\frac{162}{5} + \frac{- 27 \cdot 5}{5})$

Étape 12.2.4.27

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$V = π (\frac{162 - 27 \cdot 5}{5})$

Étape 12.2.4.28

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 12.2.4.28.1

Multipliez $- 27$ par $5$ .

$V = π (\frac{162 - 135}{5})$

Étape 12.2.4.28.2

Soustrayez $135$ de $162$ .

$V = π (\frac{27}{5})$

Étape 12.2.4.29

Associez $π$ et $\frac{27}{5}$ .

$V = \frac{π \cdot 27}{5}$

Étape 12.2.4.30

Déplacez $27$ à gauche de $π$ .

$V = \frac{27 π}{5}$

Étape 13

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$V = \frac{27 π}{5}$

Forme décimale :

$V = 16.96460032 \dots$

Étape 14

Saisissez VOTRE problème