Analyse Exemples

$\frac{5 x - 4}{x^{2} - x - 2}$

Décomposer la fraction et la multiplier par le dénominateur commun.

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Factoriser $x^{2} - x - 2$ avec la méthode AC.

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Considérer la forme $x^{2} + b x + c$ . Trouver deux entiers dont le produit vaut $c$ et dont la somme vaut $b$ . Dans notre cas, dont le produit vaut $- 2$ et dont la somme vaut $- 1$ .

$- 2, 1$

Écrire la forme factorisée avec ces entiers.

$\frac{5 x - 4}{(x - 2) (x + 1)}$

Pour chaque facteur du dénominateur, créer une nouvelle fraction avec le facteur comme dénominateur et une inconnue comme numérateur. Comme le facteur au dénominateur est linéaire, mettre une seule variable au numérateur $A$ .

$\frac{A}{x - 2}$

$\frac{A}{x - 2} + \frac{B}{x + 1}$

Multiplier chaque fraction dans l'équation par le dénominateur de l'expression initiale. Dans ce cas, le dénominateur est $(x - 2) (x + 1)$ .

$\frac{(5 x - 4) (x - 2) (x + 1)}{(x - 2) (x + 1)} = \frac{(A) (x - 2) (x + 1)}{x - 2} + \frac{(B) (x - 2) (x + 1)}{x + 1}$

Éliminer le facteur commun de $x - 2$ .

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Annuler le facteur commun.

$\frac{(5 x - 4) (x - 2) (x + 1)}{(x - 2) (x + 1)} = \frac{(A) (x - 2) (x + 1)}{x - 2} + \frac{(B) (x - 2) (x + 1)}{x + 1}$

Réécrire l'expression.

$\frac{(5 x - 4) (x + 1)}{x + 1} = \frac{(A) (x - 2) (x + 1)}{x - 2} + \frac{(B) (x - 2) (x + 1)}{x + 1}$

Éliminer le facteur commun de $x + 1$ .

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Annuler le facteur commun.

$\frac{(5 x - 4) (x + 1)}{x + 1} = \frac{(A) (x - 2) (x + 1)}{x - 2} + \frac{(B) (x - 2) (x + 1)}{x + 1}$

Diviser $5 x - 4$ par $1$ .

$5 x - 4 = \frac{(A) (x - 2) (x + 1)}{x - 2} + \frac{(B) (x - 2) (x + 1)}{x + 1}$

Simplifier chaque terme.

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Éliminer le facteur commun de $x - 2$ .

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Annuler le facteur commun.

$5 x - 4 = \frac{A (x - 2) (x + 1)}{x - 2} + \frac{(B) (x - 2) (x + 1)}{x + 1}$

Diviser $(A) (x + 1)$ par $1$ .

$5 x - 4 = (A) (x + 1) + \frac{(B) (x - 2) (x + 1)}{x + 1}$

Appliquer la distributivité.

$5 x - 4 = A x + A \cdot 1 + \frac{(B) (x - 2) (x + 1)}{x + 1}$

Multiplier $A$ par $1$ .

$5 x - 4 = A x + A + \frac{(B) (x - 2) (x + 1)}{x + 1}$

Éliminer le facteur commun de $x + 1$ .

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Annuler le facteur commun.

$5 x - 4 = A x + A + \frac{(B) (x - 2) (x + 1)}{x + 1}$

Diviser $(B) (x - 2)$ par $1$ .

$5 x - 4 = A x + A + (B) (x - 2)$

Appliquer la distributivité.

$5 x - 4 = A x + A + B x + B \cdot - 2$

Déplacer $- 2$ à gauche de $B$ .

$5 x - 4 = A x + A + B x - 2 B$

Déplacer $A$ .

$5 x - 4 = A x + B x + A - 2 B$

Créer les équations pour les fractions partielles variables et les utiliser pour poser un système d'équations.

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Créer une équation pour les variables des éléments simples en rendant égaux les coefficients de $x$ de chaque côté de l'équation. Pour que l'équation soit vraie, les coefficients équivalents de chaque côté de l'équation doivent être égaux.

$5 = A + B$

Créer une équation pour les variables des éléments simples en rendant égaux les coefficients des termes qui ne contiennent pas $x$ . Pour que l'équation soit vraie, les coefficients équivalents de chaque côté de l'équation doivent être égaux.

$- 4 = A - 2 B$

Poser le système d'équations pour trouver les coefficients des éléments simples.

$5 = A + B$

$- 4 = A - 2 B$

$5 = A + B$

$- 4 = A - 2 B$

Résoudre le système d'équations.

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Résoudre pour $A$ dans la première équation.

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Réécrire l'équation sous la forme $A + B = 5$ .

$A + B = 5$

$- 4 = A - 2 B$

Soustraire $B$ de chaque côté de l'équation.

$A = 5 - B$

$- 4 = A - 2 B$

$A = 5 - B$

$- 4 = A - 2 B$

Remplacer tous les occurrences de $A$ dans $- 4 = A - 2 B$ par $5 - B$ .

$A = 5 - B$

$- 4 = (5 - B) - 2 B$

Soustraire $2 B$ de $- B$ .

$A = 5 - B$

$- 4 = 5 - 3 B$

Résoudre pour $B$ dans la deuxième équation.

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Réécrire l'équation sous la forme $5 - 3 B = - 4$ .

$A = 5 - B$

$5 - 3 B = - 4$

Déplacer tous les termes ne contenant pas $B$ vers le côté droit de l'équation.

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Soustraire $5$ de chaque côté de l'équation.

$A = 5 - B$

$- 3 B = - 4 - 5$

Soustraire $5$ de $- 4$ .

$A = 5 - B$

$- 3 B = - 9$

$A = 5 - B$

$- 3 B = - 9$

Diviser chaque terme par $- 3$ et simplifier.

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Diviser chaque terme dans $- 3 B = - 9$ par $- 3$ .

$A = 5 - B$

$\frac{- 3 B}{- 3} = \frac{- 9}{- 3}$

Éliminer le facteur commun de $- 3$ .

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Annuler le facteur commun.

$A = 5 - B$

$\frac{- 3 B}{- 3} = \frac{- 9}{- 3}$

Diviser $B$ par $1$ .

$A = 5 - B$

$B = \frac{- 9}{- 3}$

$A = 5 - B$

$B = \frac{- 9}{- 3}$

Diviser $- 9$ par $- 3$ .

$A = 5 - B$

$B = 3$

$A = 5 - B$

$B = 3$

$A = 5 - B$

$B = 3$

Remplacer tous les occurrences de $B$ dans $A = 5 - B$ par $3$ .

$A = 5 - (3)$

$B = 3$

Simplifier $5 - (3)$ .

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Multiplier $- 1$ par $3$ .

$A = 5 - 3$

$B = 3$

Soustraire $3$ de $5$ .

$A = 2$

$B = 3$

$A = 2$

$B = 3$

$A = 2$

$B = 3$

Remplacer chaque coefficient de la fraction partielle dans $\frac{A}{x - 2} + \frac{B}{x + 1}$ avec les valeurs trouvées pour $A$ et $B$ .

$\frac{2}{x - 2} + \frac{3}{x + 1}$

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