Analyse Exemples

$f (x) = \frac{1}{x^{2} - 4}$

Trouver où l'expression $\frac{1}{x^{2} - 4}$ est non définie.

$x = - 2, x = 2$

Comme $\frac{1}{x^{2} - 4}$ $\to$ $\infty$ quand $x$ $\to$ $- 2$ à gauche et $\frac{1}{x^{2} - 4}$ $\to$ $- \infty$ quand $x$ $\to$ $- 2$ à droite, alors $x = - 2$ est une asymptote verticale.

$x = - 2$

Comme $\frac{1}{x^{2} - 4}$ $\to$ $- \infty$ quand $x$ $\to$ $2$ à gauche et $\frac{1}{x^{2} - 4}$ $\to$ $\infty$ quand $x$ $\to$ $2$ à droite, alors $x = 2$ est une asymptote verticale.

$x = 2$

Lister toutes les asymptotes verticales :

$x = - 2, 2$

Considérer la fonction rationnelle $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ où $n$ est le degré du numérateur et $m$ est le degré du dénominateur.

1. Si $n < m$ , alors l'axe des abscisses $y = 0$ est l'asymptote horizontale.

2. Si $n = m$ , alors l'asymptote horizontale est la droite d'équation $y = \frac{a}{b}$ .

3. Si $n > m$ , alors il n'y a pas d'asymptote horizontale (il y a une asymptote oblique).

Trouver $n$ et $m$ .

$n = 0$

$m = 2$

Comme $n < m$ , l'axe des abscisses, $y = 0$ , est l'asymptote horizontale.

$y = 0$

Il n'y a pas d'asymptote oblique car le degré du numérateur est plus petit que ou égal au degré du dénominateur.

Pas d'asymptote oblique

C'est l'ensemble de toutes les asymptotes.

Asymptotes verticales : $x = - 2, 2$

Asymptotes horizontales : $y = 0$

Pas d'asymptote oblique

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