Algèbre Exemples

$S ([\begin{array}{c} a \\ b \\ c \end{array}]) = [\begin{array}{c} 2 a - 6 b + 6 c \\ a + 2 b + c \\ 2 a + b + 2 c \end{array}]$

La transformation définit une fonction de $ℝ^{3}$ vers $ℝ^{3}$ . Pour prouver que la transformation est linéaire, la transformation doit préserver la multiplication par un scalaire, l'addition et le vecteur zéro.

S : $ℝ^{3} \to ℝ^{3}$

Tout d'abord prouver que la transformation préserve cette propriété.

$S (x + y) = S (x) + S (y)$

Poser deux matrices pour vérifier si la propriété additive est préservée pour $S$ .

$S ([\begin{array}{c} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{array}] + [\begin{array}{c} y_{1} \\ y_{2} \\ y_{3} \end{array}])$

Ajouter les deux matrices.

$S ([\begin{array}{c} x_{1} + y_{1} \\ x_{2} + y_{2} \\ x_{3} + y_{3} \end{array}])$

Appliquer la transformation au vecteur.

$S (x + y) = [\begin{array}{c} 2 (x_{1} + y_{1}) - 6 (x_{2} + y_{2}) + 6 (x_{3} + y_{3}) \\ (x_{1} + y_{1}) + 2 (x_{2} + y_{2}) + (x_{3} + y_{3}) \\ 2 (x_{1} + y_{1}) + (x_{2} + y_{2}) + 2 (x_{3} + y_{3}) \end{array}]$

Simplifier chaque élément de la matrice $[\begin{array}{c} 2 (x_{1} + y_{1}) - 6 (x_{2} + y_{2}) + 6 (x_{3} + y_{3}) \\ (x_{1} + y_{1}) + 2 (x_{2} + y_{2}) + (x_{3} + y_{3}) \\ 2 (x_{1} + y_{1}) + (x_{2} + y_{2}) + 2 (x_{3} + y_{3}) \end{array}]$ .

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Réarranger $2 (x_{1} + y_{1}) - 6 (x_{2} + y_{2}) + 6 (x_{3} + y_{3})$ .

$S (x + y) = [\begin{array}{c} 2 x_{1} - 6 x_{2} + 6 x_{3} + 2 y_{1} - 6 y_{2} + 6 y_{3} \\ (x_{1} + y_{1}) + 2 (x_{2} + y_{2}) + (x_{3} + y_{3}) \\ 2 (x_{1} + y_{1}) + (x_{2} + y_{2}) + 2 (x_{3} + y_{3}) \end{array}]$

Réarranger $(x_{1} + y_{1}) + 2 (x_{2} + y_{2}) + x_{3} + y_{3}$ .

$S (x + y) = [\begin{array}{c} 2 x_{1} - 6 x_{2} + 6 x_{3} + 2 y_{1} - 6 y_{2} + 6 y_{3} \\ x_{1} + 2 x_{2} + x_{3} + y_{1} + 2 y_{2} + y_{3} \\ 2 (x_{1} + y_{1}) + (x_{2} + y_{2}) + 2 (x_{3} + y_{3}) \end{array}]$

Réarranger $2 (x_{1} + y_{1}) + x_{2} + y_{2} + 2 (x_{3} + y_{3})$ .

$S (x + y) = [\begin{array}{c} 2 x_{1} - 6 x_{2} + 6 x_{3} + 2 y_{1} - 6 y_{2} + 6 y_{3} \\ x_{1} + 2 x_{2} + x_{3} + y_{1} + 2 y_{2} + y_{3} \\ 2 x_{1} + x_{2} + 2 x_{3} + 2 y_{1} + y_{2} + 2 y_{3} \end{array}]$

Séparer le résultat en deux matrices en regroupant les variables.

$S (x + y) = [\begin{array}{c} 2 x_{1} - 6 x_{2} + 6 x_{3} \\ x_{1} + 2 x_{2} + x_{3} \\ 2 x_{1} + x_{2} + 2 x_{3} \end{array}] + [\begin{array}{c} 2 y_{1} - 6 y_{2} + 6 y_{3} \\ y_{1} + 2 y_{2} + y_{3} \\ 2 y_{1} + y_{2} + 2 y_{3} \end{array}]$

L'additivité de la transformation est vérifiée.

$S (x + y) = S (x) + S (y)$

Pour qu'une transformation soit linéaire, elle doit conserver la multiplication par un scalaire.

$S (p x) = T (p [\begin{array}{c} a \\ b \\ c \end{array}])$

Factoriser le $p$ de chaque élément.

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Multiplier $p$ par chaque élément dans la matrice.

$S (p x) = S ([\begin{array}{c} p a \\ p b \\ p c \end{array}])$

Appliquer la transformation au vecteur.

$S (p x) = [\begin{array}{c} 2 ((p a) - 6 (p b) + 6 (p c)) \\ ((p a) + 2 (p b) + (p c)) \\ 2 ((p a) + (p b) + 2 (p c)) \end{array}]$

Simplifier chaque élément de la matrice $[\begin{array}{c} 2 ((p a) - 6 (p b) + 6 (p c)) \\ ((p a) + 2 (p b) + (p c)) \\ 2 ((p a) + (p b) + 2 (p c)) \end{array}]$ .

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Réarranger $2 ((p a) - 6 (p b) + 6 (p c))$ .

$S (p x) = [\begin{array}{c} 2 p a - 12 p b + 12 p c \\ ((p a) + 2 (p b) + (p c)) \\ 2 ((p a) + (p b) + 2 (p c)) \end{array}]$

Réarranger $(p a) + 2 (p b) + p c$ .

$S (p x) = [\begin{array}{c} 2 p a - 12 p b + 12 p c \\ p a + 2 p b + p c \\ 2 ((p a) + (p b) + 2 (p c)) \end{array}]$

Réarranger $2 (p a + p b + 2 (p c))$ .

$S (p x) = [\begin{array}{c} 2 p a - 12 p b + 12 p c \\ p a + 2 p b + p c \\ 2 p a + 2 p b + 4 p c \end{array}]$

Factoriser chaque élément de la matrice.

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Factoriser l'élément $0, 0$ en multipliant $2 p a - 12 p b + 12 p c$ .

$S (p x) = [\begin{array}{c} p (2 a - 12 b + 12 c) \\ p a + 2 p b + p c \\ 2 p a + 2 p b + 4 p c \end{array}]$

Factoriser l'élément $1, 0$ en multipliant $p a + 2 p b + p c$ .

$S (p x) = [\begin{array}{c} p (2 a - 12 b + 12 c) \\ p (a + 2 b + c) \\ 2 p a + 2 p b + 4 p c \end{array}]$

Factoriser l'élément $2, 0$ en multipliant $2 p a + 2 p b + 4 p c$ .

$S (p x) = [\begin{array}{c} p (2 a - 12 b + 12 c) \\ p (a + 2 b + c) \\ p (2 a + 2 b + 4 c) \end{array}]$

La deuxième propriété des transformations linéaires est préservée avec cette transformation.

$S (p [\begin{array}{c} a \\ b \\ c \end{array}]) = p S (x)$

Pour que la transformation soit linéaire, il faut que le vecteur nul soit préservé.

$S (0) = 0$

Appliquer la transformation au vecteur.

$S (0) = [\begin{array}{c} 2 (0) - 6 \cdot 0 + 6 (0) \\ (0) + 2 (0) + (0) \\ 2 (0) + (0) + 2 (0) \end{array}]$

Simplifier chaque élément de la matrice $[\begin{array}{c} 2 (0) - 6 \cdot 0 + 6 (0) \\ (0) + 2 (0) + (0) \\ 2 (0) + (0) + 2 (0) \end{array}]$ .

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Réarranger $2 (0) - 6 \cdot 0 + 6 (0)$ .

$S (0) = [\begin{array}{c} 0 \\ (0) + 2 (0) + (0) \\ 2 (0) + (0) + 2 (0) \end{array}]$

Réarranger $(0) + 2 (0) + 0$ .

$S (0) = [\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 2 (0) + (0) + 2 (0) \end{array}]$

Réarranger $2 (0) + 0 + 2 (0)$ .

$S (0) = [\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 0 \end{array}]$

Le vecteur nul est préservé par la transformation.

$S (0) = 0$

Comme les trois propriétés des transformations linéaires ne sont pas toutes vérifiées, ce n'est pas une transformation linéaire.

Transformation linéaire

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