Algèbre Exemples

$S ([\begin{array}{c} a \\ b \\ c \end{array}]) = [\begin{array}{c} a + 3 b - 6 c \\ 2 a + b + c \\ a + 5 b + c \end{array}]$

La transformation définit une fonction de $ℝ^{3}$ vers $ℝ^{3}$ . Pour prouver que la transformation est linéaire, la transformation doit préserver la multiplication par un scalaire, l'addition et le vecteur zéro.

S : $ℝ^{3} \to ℝ^{3}$

Tout d'abord prouver que la transformation préserve cette propriété.

$S (x + y) = S (x) + S (y)$

Poser deux matrices pour vérifier si la propriété additive est préservée pour $S$ .

$S ([\begin{array}{c} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{array}] + [\begin{array}{c} y_{1} \\ y_{2} \\ y_{3} \end{array}])$

Ajouter les deux matrices.

$S ([\begin{array}{c} x_{1} + y_{1} \\ x_{2} + y_{2} \\ x_{3} + y_{3} \end{array}])$

Appliquer la transformation au vecteur.

$S (x + y) = [\begin{array}{c} (x_{1} + y_{1}) + 3 (x_{2} + y_{2}) - 6 (x_{3} + y_{3}) \\ 2 (x_{1} + y_{1}) + (x_{2} + y_{2}) + (x_{3} + y_{3}) \\ (x_{1} + y_{1}) + 5 (x_{2} + y_{2}) + (x_{3} + y_{3}) \end{array}]$

Simplifier chaque élément de la matrice $[\begin{array}{c} (x_{1} + y_{1}) + 3 (x_{2} + y_{2}) - 6 (x_{3} + y_{3}) \\ 2 (x_{1} + y_{1}) + (x_{2} + y_{2}) + (x_{3} + y_{3}) \\ (x_{1} + y_{1}) + 5 (x_{2} + y_{2}) + (x_{3} + y_{3}) \end{array}]$ .

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Simplifier l'élément $0; 0$ en multipliant $(x_{1} + y_{1}) + 3 (x_{2} + y_{2}) - 6 (x_{3} + y_{3})$ .

$S (x + y) = [\begin{array}{c} x_{1} + 3 x_{2} - 6 x_{3} + y_{1} + 3 y_{2} - 6 y_{3} \\ 2 (x_{1} + y_{1}) + (x_{2} + y_{2}) + (x_{3} + y_{3}) \\ (x_{1} + y_{1}) + 5 (x_{2} + y_{2}) + (x_{3} + y_{3}) \end{array}]$

Simplifier l'élément $1; 0$ en multipliant $2 (x_{1} + y_{1}) + x_{2} + y_{2} + x_{3} + y_{3}$ .

$S (x + y) = [\begin{array}{c} x_{1} + 3 x_{2} - 6 x_{3} + y_{1} + 3 y_{2} - 6 y_{3} \\ 2 x_{1} + x_{2} + x_{3} + 2 y_{1} + y_{2} + y_{3} \\ (x_{1} + y_{1}) + 5 (x_{2} + y_{2}) + (x_{3} + y_{3}) \end{array}]$

Simplifier l'élément $2; 0$ en multipliant $(x_{1} + y_{1}) + 5 (x_{2} + y_{2}) + x_{3} + y_{3}$ .

$S (x + y) = [\begin{array}{c} x_{1} + 3 x_{2} - 6 x_{3} + y_{1} + 3 y_{2} - 6 y_{3} \\ 2 x_{1} + x_{2} + x_{3} + 2 y_{1} + y_{2} + y_{3} \\ x_{1} + 5 x_{2} + x_{3} + y_{1} + 5 y_{2} + y_{3} \end{array}]$

Séparer le résultat en deux matrices en regroupant les variables.

$S (x + y) = [\begin{array}{c} x_{1} + 3 x_{2} - 6 x_{3} \\ 2 x_{1} + x_{2} + x_{3} \\ x_{1} + 5 x_{2} + x_{3} \end{array}] + [\begin{array}{c} y_{1} + 3 y_{2} - 6 y_{3} \\ 2 y_{1} + y_{2} + y_{3} \\ y_{1} + 5 y_{2} + y_{3} \end{array}]$

L'additivité de la transformation est vérifiée.

$S (x + y) = S (x) + S (y)$

Pour qu'une transformation soit linéaire, elle doit conserver la multiplication par un scalaire.

$S (p x) = T (p [\begin{array}{c} a \\ b \\ c \end{array}])$

Factoriser le $p$ de chaque élément.

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Multiplier $p$ par chaque élément dans la matrice.

$S (p x) = S ([\begin{array}{c} p a \\ p b \\ p c \end{array}])$

Appliquer la transformation au vecteur.

$S (p x) = [\begin{array}{c} ((p a) + 3 (p b) - 6 (p c)) \\ 2 ((p a) + (p b) + (p c)) \\ ((p a) + 5 (p b) + (p c)) \end{array}]$

Simplifier chaque élément de la matrice $[\begin{array}{c} ((p a) + 3 (p b) - 6 (p c)) \\ 2 ((p a) + (p b) + (p c)) \\ ((p a) + 5 (p b) + (p c)) \end{array}]$ .

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Simplifier l'élément $0; 0$ en multipliant $(p a) + 3 (p b) - 6 (p c)$ .

$S (p x) = [\begin{array}{c} p a + 3 p b - 6 p c \\ 2 ((p a) + (p b) + (p c)) \\ ((p a) + 5 (p b) + (p c)) \end{array}]$

Simplifier l'élément $1; 0$ en multipliant $2 (p a + p b + p c)$ .

$S (p x) = [\begin{array}{c} p a + 3 p b - 6 p c \\ 2 p a + 2 p b + 2 p c \\ ((p a) + 5 (p b) + (p c)) \end{array}]$

Simplifier l'élément $2; 0$ en multipliant $(p a) + 5 (p b) + p c$ .

$S (p x) = [\begin{array}{c} p a + 3 p b - 6 p c \\ 2 p a + 2 p b + 2 p c \\ p a + 5 p b + p c \end{array}]$

Factoriser chaque élément de la matrice.

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Factoriser l'élément $0; 0$ en multipliant $p a + 3 p b - 6 p c$ .

$S (p x) = [\begin{array}{c} p (a + 3 b - 6 c) \\ 2 p a + 2 p b + 2 p c \\ p a + 5 p b + p c \end{array}]$

Factoriser l'élément $1; 0$ en multipliant $2 p a + 2 p b + 2 p c$ .

$S (p x) = [\begin{array}{c} p (a + 3 b - 6 c) \\ p (2 a + 2 b + 2 c) \\ p a + 5 p b + p c \end{array}]$

Factoriser l'élément $2; 0$ en multipliant $p a + 5 p b + p c$ .

$S (p x) = [\begin{array}{c} p (a + 3 b - 6 c) \\ p (2 a + 2 b + 2 c) \\ p (a + 5 b + c) \end{array}]$

La deuxième propriété des transformations linéaires est préservée avec cette transformation.

$S (p [\begin{array}{c} a \\ b \\ c \end{array}]) = p S (x)$

Pour que la transformation soit linéaire, il faut que le vecteur nul soit préservé.

$S (0) = 0$

Appliquer la transformation au vecteur.

$S (0) = [\begin{array}{c} (0) + 3 (0) - 6 \cdot 0 \\ 2 (0) + (0) + (0) \\ (0) + 5 (0) + (0) \end{array}]$

Simplifier chaque élément de la matrice $[\begin{array}{c} (0) + 3 (0) - 6 \cdot 0 \\ 2 (0) + (0) + (0) \\ (0) + 5 (0) + (0) \end{array}]$ .

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Simplifier l'élément $0; 0$ en multipliant $(0) + 3 (0) - 6 \cdot 0$ .

$S (0) = [\begin{array}{c} 0 \\ 2 (0) + (0) + (0) \\ (0) + 5 (0) + (0) \end{array}]$

Simplifier l'élément $1; 0$ en multipliant $2 (0) + 0 + 0$ .

$S (0) = [\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ (0) + 5 (0) + (0) \end{array}]$

Simplifier l'élément $2; 0$ en multipliant $(0) + 5 (0) + 0$ .

$S (0) = [\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 0 \end{array}]$

Le vecteur nul est préservé par la transformation.

$S (0) = 0$

Comme les trois propriétés des transformations linéaires ne sont pas toutes vérifiées, ce n'est pas une transformation linéaire.

Transformation linéaire

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