Algèbre Exemples

$[\begin{array}{c} 2 & 4 & 6 \\ 8 & 10 & 12 \\ 1 & 2 & 0 \end{array}]$

Étape 1

Déterminez les valeurs propres.

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Étape 1.1

Définissez la formule pour déterminer l’équation caractéristique $p (λ)$ .

$p (λ) = déterminant (A - λ I_{3})$

Étape 1.2

La matrice d’identité ou matrice d’unité de taille $3$ est la matrice carrée $3 \times 3$ avec les uns sur la diagonale principale et les zéros ailleurs.

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}]$

Étape 1.3

Remplacez les valeurs connues dans $p (λ) = déterminant (A - λ I_{3})$ .

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Étape 1.3.1

Remplacez $A$ par $[\begin{array}{c} 2 & 4 & 6 \\ 8 & 10 & 12 \\ 1 & 2 & 0 \end{array}]$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 2 & 4 & 6 \\ 8 & 10 & 12 \\ 1 & 2 & 0 \end{array}] - λ I_{3})$

Étape 1.3.2

Remplacez $I_{3}$ par $[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}]$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 2 & 4 & 6 \\ 8 & 10 & 12 \\ 1 & 2 & 0 \end{array}] - λ [\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}])$

Étape 1.4

Simplifiez

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Étape 1.4.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.4.1.1

Multipliez $- λ$ par chaque élément de la matrice.

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 2 & 4 & 6 \\ 8 & 10 & 12 \\ 1 & 2 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 1.4.1.2

Simplifiez chaque élément dans la matrice.

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Étape 1.4.1.2.1

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 2 & 4 & 6 \\ 8 & 10 & 12 \\ 1 & 2 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 1.4.1.2.2

Multipliez $- λ \cdot 0$ .

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Étape 1.4.1.2.2.1

Multipliez $0$ par $- 1$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 2 & 4 & 6 \\ 8 & 10 & 12 \\ 1 & 2 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 1.4.1.2.2.2

Multipliez $0$ par $λ$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 2 & 4 & 6 \\ 8 & 10 & 12 \\ 1 & 2 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 1.4.1.2.3

Multipliez $- λ \cdot 0$ .

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Étape 1.4.1.2.3.1

Multipliez $0$ par $- 1$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 2 & 4 & 6 \\ 8 & 10 & 12 \\ 1 & 2 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 1.4.1.2.3.2

Multipliez $0$ par $λ$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 2 & 4 & 6 \\ 8 & 10 & 12 \\ 1 & 2 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 1.4.1.2.4

Multipliez $- λ \cdot 0$ .

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Étape 1.4.1.2.4.1

Multipliez $0$ par $- 1$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 2 & 4 & 6 \\ 8 & 10 & 12 \\ 1 & 2 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 1.4.1.2.4.2

Multipliez $0$ par $λ$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 2 & 4 & 6 \\ 8 & 10 & 12 \\ 1 & 2 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 1.4.1.2.5

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 2 & 4 & 6 \\ 8 & 10 & 12 \\ 1 & 2 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 1.4.1.2.6

Multipliez $- λ \cdot 0$ .

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Étape 1.4.1.2.6.1

Multipliez $0$ par $- 1$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 2 & 4 & 6 \\ 8 & 10 & 12 \\ 1 & 2 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 1.4.1.2.6.2

Multipliez $0$ par $λ$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 2 & 4 & 6 \\ 8 & 10 & 12 \\ 1 & 2 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 1.4.1.2.7

Multipliez $- λ \cdot 0$ .

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Étape 1.4.1.2.7.1

Multipliez $0$ par $- 1$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 2 & 4 & 6 \\ 8 & 10 & 12 \\ 1 & 2 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 1.4.1.2.7.2

Multipliez $0$ par $λ$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 2 & 4 & 6 \\ 8 & 10 & 12 \\ 1 & 2 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 1.4.1.2.8

Multipliez $- λ \cdot 0$ .

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Étape 1.4.1.2.8.1

Multipliez $0$ par $- 1$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 2 & 4 & 6 \\ 8 & 10 & 12 \\ 1 & 2 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 λ & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 1.4.1.2.8.2

Multipliez $0$ par $λ$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 2 & 4 & 6 \\ 8 & 10 & 12 \\ 1 & 2 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 1.4.1.2.9

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 2 & 4 & 6 \\ 8 & 10 & 12 \\ 1 & 2 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & - λ \end{array}])$

Étape 1.4.2

Additionnez les éléments correspondants.

$p (λ) = déterminant [\begin{array}{c} 2 - λ & 4 + 0 & 6 + 0 \\ 8 + 0 & 10 - λ & 12 + 0 \\ 1 + 0 & 2 + 0 & 0 - λ \end{array}]$

Étape 1.4.3

Simplify each element.

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Étape 1.4.3.1

Additionnez $4$ et $0$ .

$p (λ) = déterminant [\begin{array}{c} 2 - λ & 4 & 6 + 0 \\ 8 + 0 & 10 - λ & 12 + 0 \\ 1 + 0 & 2 + 0 & 0 - λ \end{array}]$

Étape 1.4.3.2

Additionnez $6$ et $0$ .

$p (λ) = déterminant [\begin{array}{c} 2 - λ & 4 & 6 \\ 8 + 0 & 10 - λ & 12 + 0 \\ 1 + 0 & 2 + 0 & 0 - λ \end{array}]$

Étape 1.4.3.3

Additionnez $8$ et $0$ .

$p (λ) = déterminant [\begin{array}{c} 2 - λ & 4 & 6 \\ 8 & 10 - λ & 12 + 0 \\ 1 + 0 & 2 + 0 & 0 - λ \end{array}]$

Étape 1.4.3.4

Additionnez $12$ et $0$ .

$p (λ) = déterminant [\begin{array}{c} 2 - λ & 4 & 6 \\ 8 & 10 - λ & 12 \\ 1 + 0 & 2 + 0 & 0 - λ \end{array}]$

Étape 1.4.3.5

Additionnez $1$ et $0$ .

$p (λ) = déterminant [\begin{array}{c} 2 - λ & 4 & 6 \\ 8 & 10 - λ & 12 \\ 1 & 2 + 0 & 0 - λ \end{array}]$

Étape 1.4.3.6

Additionnez $2$ et $0$ .

$p (λ) = déterminant [\begin{array}{c} 2 - λ & 4 & 6 \\ 8 & 10 - λ & 12 \\ 1 & 2 & 0 - λ \end{array}]$

Étape 1.4.3.7

Soustrayez $λ$ de $0$ .

$p (λ) = déterminant [\begin{array}{c} 2 - λ & 4 & 6 \\ 8 & 10 - λ & 12 \\ 1 & 2 & - λ \end{array}]$

Étape 1.5

Find the determinant.

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Étape 1.5.1

Choose the row or column with the most $0$ elements. If there are no $0$ elements choose any row or column. Multiply every element in row $1$ by its cofactor and add.

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Étape 1.5.1.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Étape 1.5.1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a $-$ position on the sign chart.

Étape 1.5.1.3

The minor for $a_{11}$ is the determinant with row $1$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 10 - λ & 12 \\ 2 & - λ \end{array} |$

Étape 1.5.1.4

Multiply element $a_{11}$ by its cofactor.

$(2 - λ) | \begin{array}{c} 10 - λ & 12 \\ 2 & - λ \end{array} |$

Étape 1.5.1.5

The minor for $a_{12}$ is the determinant with row $1$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} 8 & 12 \\ 1 & - λ \end{array} |$

Étape 1.5.1.6

Multiply element $a_{12}$ by its cofactor.

$- 4 | \begin{array}{c} 8 & 12 \\ 1 & - λ \end{array} |$

Étape 1.5.1.7

The minor for $a_{13}$ is the determinant with row $1$ and column $3$ deleted.

$| \begin{array}{c} 8 & 10 - λ \\ 1 & 2 \end{array} |$

Étape 1.5.1.8

Multiply element $a_{13}$ by its cofactor.

$6 | \begin{array}{c} 8 & 10 - λ \\ 1 & 2 \end{array} |$

Étape 1.5.1.9

Add the terms together.

$p (λ) = (2 - λ) | \begin{array}{c} 10 - λ & 12 \\ 2 & - λ \end{array} | - 4 | \begin{array}{c} 8 & 12 \\ 1 & - λ \end{array} | + 6 | \begin{array}{c} 8 & 10 - λ \\ 1 & 2 \end{array} |$

Étape 1.5.2

Évaluez $| \begin{array}{c} 10 - λ & 12 \\ 2 & - λ \end{array} |$ .

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Étape 1.5.2.1

Le déterminant d’une matrice $2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$p (λ) = (2 - λ) ((10 - λ) (- λ) - 2 \cdot 12) - 4 | \begin{array}{c} 8 & 12 \\ 1 & - λ \end{array} | + 6 | \begin{array}{c} 8 & 10 - λ \\ 1 & 2 \end{array} |$

Étape 1.5.2.2

Simplifiez le déterminant.

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Étape 1.5.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.5.2.2.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$p (λ) = (2 - λ) (10 (- λ) - λ (- λ) - 2 \cdot 12) - 4 | \begin{array}{c} 8 & 12 \\ 1 & - λ \end{array} | + 6 | \begin{array}{c} 8 & 10 - λ \\ 1 & 2 \end{array} |$

Étape 1.5.2.2.1.2

Multipliez $- 1$ par $10$ .

$p (λ) = (2 - λ) (- 10 λ - λ (- λ) - 2 \cdot 12) - 4 | \begin{array}{c} 8 & 12 \\ 1 & - λ \end{array} | + 6 | \begin{array}{c} 8 & 10 - λ \\ 1 & 2 \end{array} |$

Étape 1.5.2.2.1.3

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$p (λ) = (2 - λ) (- 10 λ - 1 \cdot - 1 λ \cdot λ - 2 \cdot 12) - 4 | \begin{array}{c} 8 & 12 \\ 1 & - λ \end{array} | + 6 | \begin{array}{c} 8 & 10 - λ \\ 1 & 2 \end{array} |$

Étape 1.5.2.2.1.4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.5.2.2.1.4.1

Multipliez $λ$ par $λ$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.5.2.2.1.4.1.1

Déplacez $λ$ .

$p (λ) = (2 - λ) (- 10 λ - 1 \cdot - 1 (λ \cdot λ) - 2 \cdot 12) - 4 | \begin{array}{c} 8 & 12 \\ 1 & - λ \end{array} | + 6 | \begin{array}{c} 8 & 10 - λ \\ 1 & 2 \end{array} |$

Étape 1.5.2.2.1.4.1.2

Multipliez $λ$ par $λ$ .

$p (λ) = (2 - λ) (- 10 λ - 1 \cdot - 1 λ^{2} - 2 \cdot 12) - 4 | \begin{array}{c} 8 & 12 \\ 1 & - λ \end{array} | + 6 | \begin{array}{c} 8 & 10 - λ \\ 1 & 2 \end{array} |$

Étape 1.5.2.2.1.4.2

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$p (λ) = (2 - λ) (- 10 λ + 1 λ^{2} - 2 \cdot 12) - 4 | \begin{array}{c} 8 & 12 \\ 1 & - λ \end{array} | + 6 | \begin{array}{c} 8 & 10 - λ \\ 1 & 2 \end{array} |$

Étape 1.5.2.2.1.4.3

Multipliez $λ^{2}$ par $1$ .

$p (λ) = (2 - λ) (- 10 λ + λ^{2} - 2 \cdot 12) - 4 | \begin{array}{c} 8 & 12 \\ 1 & - λ \end{array} | + 6 | \begin{array}{c} 8 & 10 - λ \\ 1 & 2 \end{array} |$

Étape 1.5.2.2.1.5

Multipliez $- 2$ par $12$ .

$p (λ) = (2 - λ) (- 10 λ + λ^{2} - 24) - 4 | \begin{array}{c} 8 & 12 \\ 1 & - λ \end{array} | + 6 | \begin{array}{c} 8 & 10 - λ \\ 1 & 2 \end{array} |$

Étape 1.5.2.2.2

Remettez dans l’ordre $- 10 λ$ et $λ^{2}$ .

$p (λ) = (2 - λ) (λ^{2} - 10 λ - 24) - 4 | \begin{array}{c} 8 & 12 \\ 1 & - λ \end{array} | + 6 | \begin{array}{c} 8 & 10 - λ \\ 1 & 2 \end{array} |$

Étape 1.5.3

Évaluez $| \begin{array}{c} 8 & 12 \\ 1 & - λ \end{array} |$ .

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Étape 1.5.3.1

Le déterminant d’une matrice $2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$p (λ) = (2 - λ) (λ^{2} - 10 λ - 24) - 4 (8 (- λ) - 1 \cdot 12) + 6 | \begin{array}{c} 8 & 10 - λ \\ 1 & 2 \end{array} |$

Étape 1.5.3.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.5.3.2.1

Multipliez $- 1$ par $8$ .

$p (λ) = (2 - λ) (λ^{2} - 10 λ - 24) - 4 (- 8 λ - 1 \cdot 12) + 6 | \begin{array}{c} 8 & 10 - λ \\ 1 & 2 \end{array} |$

Étape 1.5.3.2.2

Multipliez $- 1$ par $12$ .

$p (λ) = (2 - λ) (λ^{2} - 10 λ - 24) - 4 (- 8 λ - 12) + 6 | \begin{array}{c} 8 & 10 - λ \\ 1 & 2 \end{array} |$

Étape 1.5.4

Évaluez $| \begin{array}{c} 8 & 10 - λ \\ 1 & 2 \end{array} |$ .

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Étape 1.5.4.1

Le déterminant d’une matrice $2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$p (λ) = (2 - λ) (λ^{2} - 10 λ - 24) - 4 (- 8 λ - 12) + 6 (8 \cdot 2 - (10 - λ))$

Étape 1.5.4.2

Simplifiez le déterminant.

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Étape 1.5.4.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.5.4.2.1.1

Multipliez $8$ par $2$ .

$p (λ) = (2 - λ) (λ^{2} - 10 λ - 24) - 4 (- 8 λ - 12) + 6 (16 - (10 - λ))$

Étape 1.5.4.2.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$p (λ) = (2 - λ) (λ^{2} - 10 λ - 24) - 4 (- 8 λ - 12) + 6 (16 - 1 \cdot 10 - - λ)$

Étape 1.5.4.2.1.3

Multipliez $- 1$ par $10$ .

$p (λ) = (2 - λ) (λ^{2} - 10 λ - 24) - 4 (- 8 λ - 12) + 6 (16 - 10 - - λ)$

Étape 1.5.4.2.1.4

Multipliez $- - λ$ .

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Étape 1.5.4.2.1.4.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$p (λ) = (2 - λ) (λ^{2} - 10 λ - 24) - 4 (- 8 λ - 12) + 6 (16 - 10 + 1 λ)$

Étape 1.5.4.2.1.4.2

Multipliez $λ$ par $1$ .

$p (λ) = (2 - λ) (λ^{2} - 10 λ - 24) - 4 (- 8 λ - 12) + 6 (16 - 10 + λ)$

Étape 1.5.4.2.2

Soustrayez $10$ de $16$ .

$p (λ) = (2 - λ) (λ^{2} - 10 λ - 24) - 4 (- 8 λ - 12) + 6 (6 + λ)$

Étape 1.5.4.2.3

Remettez dans l’ordre $6$ et $λ$ .

$p (λ) = (2 - λ) (λ^{2} - 10 λ - 24) - 4 (- 8 λ - 12) + 6 (λ + 6)$

Étape 1.5.5

Simplifiez le déterminant.

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Étape 1.5.5.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.5.5.1.1

Développez $(2 - λ) (λ^{2} - 10 λ - 24)$ en multipliant chaque terme dans la première expression par chaque terme dans la deuxième expression.

$p (λ) = 2 λ^{2} + 2 (- 10 λ) + 2 \cdot - 24 - λ \cdot λ^{2} - λ (- 10 λ) - λ \cdot - 24 - 4 (- 8 λ - 12) + 6 (λ + 6)$

Étape 1.5.5.1.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.5.5.1.2.1

Multipliez $- 10$ par $2$ .

$p (λ) = 2 λ^{2} - 20 λ + 2 \cdot - 24 - λ \cdot λ^{2} - λ (- 10 λ) - λ \cdot - 24 - 4 (- 8 λ - 12) + 6 (λ + 6)$

Étape 1.5.5.1.2.2

Multipliez $2$ par $- 24$ .

$p (λ) = 2 λ^{2} - 20 λ - 48 - λ \cdot λ^{2} - λ (- 10 λ) - λ \cdot - 24 - 4 (- 8 λ - 12) + 6 (λ + 6)$

Étape 1.5.5.1.2.3

Multipliez $λ$ par $λ^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.5.5.1.2.3.1

Déplacez $λ^{2}$ .

$p (λ) = 2 λ^{2} - 20 λ - 48 - (λ^{2} λ) - λ (- 10 λ) - λ \cdot - 24 - 4 (- 8 λ - 12) + 6 (λ + 6)$

Étape 1.5.5.1.2.3.2

Multipliez $λ^{2}$ par $λ$ .

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Étape 1.5.5.1.2.3.2.1

Élevez $λ$ à la puissance $1$ .

$p (λ) = 2 λ^{2} - 20 λ - 48 - (λ^{2} λ^{1}) - λ (- 10 λ) - λ \cdot - 24 - 4 (- 8 λ - 12) + 6 (λ + 6)$

Étape 1.5.5.1.2.3.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$p (λ) = 2 λ^{2} - 20 λ - 48 - λ^{2 + 1} - λ (- 10 λ) - λ \cdot - 24 - 4 (- 8 λ - 12) + 6 (λ + 6)$

Étape 1.5.5.1.2.3.3

Additionnez $2$ et $1$ .

$p (λ) = 2 λ^{2} - 20 λ - 48 - λ^{3} - λ (- 10 λ) - λ \cdot - 24 - 4 (- 8 λ - 12) + 6 (λ + 6)$

Étape 1.5.5.1.2.4

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$p (λ) = 2 λ^{2} - 20 λ - 48 - λ^{3} - 1 \cdot - 10 λ \cdot λ - λ \cdot - 24 - 4 (- 8 λ - 12) + 6 (λ + 6)$

Étape 1.5.5.1.2.5

Multipliez $λ$ par $λ$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.5.5.1.2.5.1

Déplacez $λ$ .

$p (λ) = 2 λ^{2} - 20 λ - 48 - λ^{3} - 1 \cdot - 10 (λ \cdot λ) - λ \cdot - 24 - 4 (- 8 λ - 12) + 6 (λ + 6)$

Étape 1.5.5.1.2.5.2

Multipliez $λ$ par $λ$ .

$p (λ) = 2 λ^{2} - 20 λ - 48 - λ^{3} - 1 \cdot - 10 λ^{2} - λ \cdot - 24 - 4 (- 8 λ - 12) + 6 (λ + 6)$

Étape 1.5.5.1.2.6

Multipliez $- 1$ par $- 10$ .

$p (λ) = 2 λ^{2} - 20 λ - 48 - λ^{3} + 10 λ^{2} - λ \cdot - 24 - 4 (- 8 λ - 12) + 6 (λ + 6)$

Étape 1.5.5.1.2.7

Multipliez $- 24$ par $- 1$ .

$p (λ) = 2 λ^{2} - 20 λ - 48 - λ^{3} + 10 λ^{2} + 24 λ - 4 (- 8 λ - 12) + 6 (λ + 6)$

Étape 1.5.5.1.3

Additionnez $2 λ^{2}$ et $10 λ^{2}$ .

$p (λ) = 12 λ^{2} - 20 λ - 48 - λ^{3} + 24 λ - 4 (- 8 λ - 12) + 6 (λ + 6)$

Étape 1.5.5.1.4

Additionnez $- 20 λ$ et $24 λ$ .

$p (λ) = 12 λ^{2} + 4 λ - 48 - λ^{3} - 4 (- 8 λ - 12) + 6 (λ + 6)$

Étape 1.5.5.1.5

Appliquez la propriété distributive.

$p (λ) = 12 λ^{2} + 4 λ - 48 - λ^{3} - 4 (- 8 λ) - 4 \cdot - 12 + 6 (λ + 6)$

Étape 1.5.5.1.6

Multipliez $- 8$ par $- 4$ .

$p (λ) = 12 λ^{2} + 4 λ - 48 - λ^{3} + 32 λ - 4 \cdot - 12 + 6 (λ + 6)$

Étape 1.5.5.1.7

Multipliez $- 4$ par $- 12$ .

$p (λ) = 12 λ^{2} + 4 λ - 48 - λ^{3} + 32 λ + 48 + 6 (λ + 6)$

Étape 1.5.5.1.8

Appliquez la propriété distributive.

$p (λ) = 12 λ^{2} + 4 λ - 48 - λ^{3} + 32 λ + 48 + 6 λ + 6 \cdot 6$

Étape 1.5.5.1.9

Multipliez $6$ par $6$ .

$p (λ) = 12 λ^{2} + 4 λ - 48 - λ^{3} + 32 λ + 48 + 6 λ + 36$

Étape 1.5.5.2

Associez les termes opposés dans $12 λ^{2} + 4 λ - 48 - λ^{3} + 32 λ + 48 + 6 λ + 36$ .

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Étape 1.5.5.2.1

Additionnez $- 48$ et $48$ .

$p (λ) = 12 λ^{2} + 4 λ - λ^{3} + 32 λ + 0 + 6 λ + 36$

Étape 1.5.5.2.2

Additionnez $12 λ^{2} + 4 λ - λ^{3} + 32 λ$ et $0$ .

$p (λ) = 12 λ^{2} + 4 λ - λ^{3} + 32 λ + 6 λ + 36$

Étape 1.5.5.3

Additionnez $4 λ$ et $32 λ$ .

$p (λ) = 12 λ^{2} - λ^{3} + 36 λ + 6 λ + 36$

Étape 1.5.5.4

Additionnez $36 λ$ et $6 λ$ .

$p (λ) = 12 λ^{2} - λ^{3} + 42 λ + 36$

Étape 1.5.5.5

Remettez dans l’ordre $12 λ^{2}$ et $- λ^{3}$ .

$p (λ) = - λ^{3} + 12 λ^{2} + 42 λ + 36$

Étape 1.6

Définissez le polynôme caractéristique égal à $0$ pour déterminer les valeurs propres $λ$ .

$- λ^{3} + 12 λ^{2} + 42 λ + 36 = 0$

Étape 1.7

Résolvez $λ$ .

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Étape 1.7.1

Représentez chaque côté de l’équation. La solution est la valeur x du point d’intersection.

$λ \approx 14.96690066$

Étape 2

The eigenvector is equal to the null space of the matrix minus the eigenvalue times the identity matrix where $N$ is the null space and $I$ is the identity matrix.

$ε_{A} = N (A - λ I_{3})$

Étape 3

Find the eigenvector using the eigenvalue $λ = 14.96690066$ .

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Étape 3.1

Remplacez les valeurs connues dans la formule.

$N ([\begin{array}{c} 2 & 4 & 6 \\ 8 & 10 & 12 \\ 1 & 2 & 0 \end{array}] - 14.96690066 [\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}])$

Étape 3.2

Simplifiez

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Étape 3.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.2.1.1

Multipliez $- 14.96690066$ par chaque élément de la matrice.

$[\begin{array}{c} 2 & 4 & 6 \\ 8 & 10 & 12 \\ 1 & 2 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 14.96690066 \cdot 1 & - 14.96690066 \cdot 0 & - 14.96690066 \cdot 0 \\ - 14.96690066 \cdot 0 & - 14.96690066 \cdot 1 & - 14.96690066 \cdot 0 \\ - 14.96690066 \cdot 0 & - 14.96690066 \cdot 0 & - 14.96690066 \cdot 1 \end{array}]$

Étape 3.2.1.2

Simplifiez chaque élément dans la matrice.

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Étape 3.2.1.2.1

Multipliez $- 14.96690066$ par $1$ .

$[\begin{array}{c} 2 & 4 & 6 \\ 8 & 10 & 12 \\ 1 & 2 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 14.96690066 & - 14.96690066 \cdot 0 & - 14.96690066 \cdot 0 \\ - 14.96690066 \cdot 0 & - 14.96690066 \cdot 1 & - 14.96690066 \cdot 0 \\ - 14.96690066 \cdot 0 & - 14.96690066 \cdot 0 & - 14.96690066 \cdot 1 \end{array}]$

Étape 3.2.1.2.2

Multipliez $- 14.96690066$ par $0$ .

$[\begin{array}{c} 2 & 4 & 6 \\ 8 & 10 & 12 \\ 1 & 2 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 14.96690066 & 0 & - 14.96690066 \cdot 0 \\ - 14.96690066 \cdot 0 & - 14.96690066 \cdot 1 & - 14.96690066 \cdot 0 \\ - 14.96690066 \cdot 0 & - 14.96690066 \cdot 0 & - 14.96690066 \cdot 1 \end{array}]$

Étape 3.2.1.2.3

Multipliez $- 14.96690066$ par $0$ .

$[\begin{array}{c} 2 & 4 & 6 \\ 8 & 10 & 12 \\ 1 & 2 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 14.96690066 & 0 & 0 \\ - 14.96690066 \cdot 0 & - 14.96690066 \cdot 1 & - 14.96690066 \cdot 0 \\ - 14.96690066 \cdot 0 & - 14.96690066 \cdot 0 & - 14.96690066 \cdot 1 \end{array}]$

Étape 3.2.1.2.4

Multipliez $- 14.96690066$ par $0$ .

$[\begin{array}{c} 2 & 4 & 6 \\ 8 & 10 & 12 \\ 1 & 2 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 14.96690066 & 0 & 0 \\ 0 & - 14.96690066 \cdot 1 & - 14.96690066 \cdot 0 \\ - 14.96690066 \cdot 0 & - 14.96690066 \cdot 0 & - 14.96690066 \cdot 1 \end{array}]$

Étape 3.2.1.2.5

Multipliez $- 14.96690066$ par $1$ .

$[\begin{array}{c} 2 & 4 & 6 \\ 8 & 10 & 12 \\ 1 & 2 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 14.96690066 & 0 & 0 \\ 0 & - 14.96690066 & - 14.96690066 \cdot 0 \\ - 14.96690066 \cdot 0 & - 14.96690066 \cdot 0 & - 14.96690066 \cdot 1 \end{array}]$

Étape 3.2.1.2.6

Multipliez $- 14.96690066$ par $0$ .

$[\begin{array}{c} 2 & 4 & 6 \\ 8 & 10 & 12 \\ 1 & 2 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 14.96690066 & 0 & 0 \\ 0 & - 14.96690066 & 0 \\ - 14.96690066 \cdot 0 & - 14.96690066 \cdot 0 & - 14.96690066 \cdot 1 \end{array}]$

Étape 3.2.1.2.7

Multipliez $- 14.96690066$ par $0$ .

$[\begin{array}{c} 2 & 4 & 6 \\ 8 & 10 & 12 \\ 1 & 2 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 14.96690066 & 0 & 0 \\ 0 & - 14.96690066 & 0 \\ 0 & - 14.96690066 \cdot 0 & - 14.96690066 \cdot 1 \end{array}]$

Étape 3.2.1.2.8

Multipliez $- 14.96690066$ par $0$ .

$[\begin{array}{c} 2 & 4 & 6 \\ 8 & 10 & 12 \\ 1 & 2 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 14.96690066 & 0 & 0 \\ 0 & - 14.96690066 & 0 \\ 0 & 0 & - 14.96690066 \cdot 1 \end{array}]$

Étape 3.2.1.2.9

Multipliez $- 14.96690066$ par $1$ .

$[\begin{array}{c} 2 & 4 & 6 \\ 8 & 10 & 12 \\ 1 & 2 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 14.96690066 & 0 & 0 \\ 0 & - 14.96690066 & 0 \\ 0 & 0 & - 14.96690066 \end{array}]$

Étape 3.2.2

Additionnez les éléments correspondants.

$[\begin{array}{c} 2 - 14.96690066 & 4 + 0 & 6 + 0 \\ 8 + 0 & 10 - 14.96690066 & 12 + 0 \\ 1 + 0 & 2 + 0 & 0 - 14.96690066 \end{array}]$

Étape 3.2.3

Simplify each element.

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Étape 3.2.3.1

Soustrayez $14.96690066$ de $2$ .

$[\begin{array}{c} - 12.96690066 & 4 + 0 & 6 + 0 \\ 8 + 0 & 10 - 14.96690066 & 12 + 0 \\ 1 + 0 & 2 + 0 & 0 - 14.96690066 \end{array}]$

Étape 3.2.3.2

Additionnez $4$ et $0$ .

$[\begin{array}{c} - 12.96690066 & 4 & 6 + 0 \\ 8 + 0 & 10 - 14.96690066 & 12 + 0 \\ 1 + 0 & 2 + 0 & 0 - 14.96690066 \end{array}]$

Étape 3.2.3.3

Additionnez $6$ et $0$ .

$[\begin{array}{c} - 12.96690066 & 4 & 6 \\ 8 + 0 & 10 - 14.96690066 & 12 + 0 \\ 1 + 0 & 2 + 0 & 0 - 14.96690066 \end{array}]$

Étape 3.2.3.4

Additionnez $8$ et $0$ .

$[\begin{array}{c} - 12.96690066 & 4 & 6 \\ 8 & 10 - 14.96690066 & 12 + 0 \\ 1 + 0 & 2 + 0 & 0 - 14.96690066 \end{array}]$

Étape 3.2.3.5

Soustrayez $14.96690066$ de $10$ .

$[\begin{array}{c} - 12.96690066 & 4 & 6 \\ 8 & - 4.96690066 & 12 + 0 \\ 1 + 0 & 2 + 0 & 0 - 14.96690066 \end{array}]$

Étape 3.2.3.6

Additionnez $12$ et $0$ .

$[\begin{array}{c} - 12.96690066 & 4 & 6 \\ 8 & - 4.96690066 & 12 \\ 1 + 0 & 2 + 0 & 0 - 14.96690066 \end{array}]$

Étape 3.2.3.7

Additionnez $1$ et $0$ .

$[\begin{array}{c} - 12.96690066 & 4 & 6 \\ 8 & - 4.96690066 & 12 \\ 1 & 2 + 0 & 0 - 14.96690066 \end{array}]$

Étape 3.2.3.8

Additionnez $2$ et $0$ .

$[\begin{array}{c} - 12.96690066 & 4 & 6 \\ 8 & - 4.96690066 & 12 \\ 1 & 2 & 0 - 14.96690066 \end{array}]$

Étape 3.2.3.9

Soustrayez $14.96690066$ de $0$ .

$[\begin{array}{c} - 12.96690066 & 4 & 6 \\ 8 & - 4.96690066 & 12 \\ 1 & 2 & - 14.96690066 \end{array}]$

Étape 3.3

Find the null space when $λ = 14.96690066$ .

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Étape 3.3.1

Write as an augmented matrix for $A x = 0$ .

$[\begin{array}{c} - 12.96690066 & 4 & 6 & 0 \\ 8 & - 4.96690066 & 12 & 0 \\ 1 & 2 & - 14.96690066 & 0 \end{array}]$

Étape 3.3.2

Déterminez la forme d’échelon en ligne réduite.

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Étape 3.3.2.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $\frac{1}{- 12.96690066}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

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Étape 3.3.2.1.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $\frac{1}{- 12.96690066}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{- 12.96690066}{- 12.96690066} & \frac{4}{- 12.96690066} & \frac{6}{- 12.96690066} & \frac{0}{- 12.96690066} \\ 8 & - 4.96690066 & 12 & 0 \\ 1 & 2 & - 14.96690066 & 0 \end{array}]$

Étape 3.3.2.1.2

Simplifiez $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 0.30847772 & - 0.46271658 & 0 \\ 8 & - 4.96690066 & 12 & 0 \\ 1 & 2 & - 14.96690066 & 0 \end{array}]$

Étape 3.3.2.2

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - 8 R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

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Étape 3.3.2.2.1

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - 8 R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 0.30847772 & - 0.46271658 & 0 \\ 8 - 8 \cdot 1 & - 4.96690066 - 8 \cdot - 0.30847772 & 12 - 8 \cdot - 0.46271658 & 0 - 8 \cdot 0 \\ 1 & 2 & - 14.96690066 & 0 \end{array}]$

Étape 3.3.2.2.2

Simplifiez $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 0.30847772 & - 0.46271658 & 0 \\ 0 & - 2.49907888 & 15.70173268 & 0 \\ 1 & 2 & - 14.96690066 & 0 \end{array}]$

Étape 3.3.2.3

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - R_{1}$ to make the entry at $3, 1$ a $0$ .

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Étape 3.3.2.3.1

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - R_{1}$ to make the entry at $3, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 0.30847772 & - 0.46271658 & 0 \\ 0 & - 2.49907888 & 15.70173268 & 0 \\ 1 - 1 & 2 + 0.30847772 & - 14.96690066 + 0.46271658 & 0 - 0 \end{array}]$

Étape 3.3.2.3.2

Simplifiez $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 0.30847772 & - 0.46271658 & 0 \\ 0 & - 2.49907888 & 15.70173268 & 0 \\ 0 & 2.30847772 & - 14.50418408 & 0 \end{array}]$

Étape 3.3.2.4

Multiply each element of $R_{2}$ by $\frac{1}{- 2.49907888}$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

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Étape 3.3.2.4.1

Multiply each element of $R_{2}$ by $\frac{1}{- 2.49907888}$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 0.30847772 & - 0.46271658 & 0 \\ \frac{0}{- 2.49907888} & \frac{- 2.49907888}{- 2.49907888} & \frac{15.70173268}{- 2.49907888} & \frac{0}{- 2.49907888} \\ 0 & 2.30847772 & - 14.50418408 & 0 \end{array}]$

Étape 3.3.2.4.2

Simplifiez $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 0.30847772 & - 0.46271658 & 0 \\ 0 & 1 & - 6.28300803 & 0 \\ 0 & 2.30847772 & - 14.50418408 & 0 \end{array}]$

Étape 3.3.2.5

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - 2.30847772 R_{2}$ to make the entry at $3, 2$ a $0$ .

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Étape 3.3.2.5.1

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - 2.30847772 R_{2}$ to make the entry at $3, 2$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 0.30847772 & - 0.46271658 & 0 \\ 0 & 1 & - 6.28300803 & 0 \\ 0 - 2.30847772 \cdot 0 & 2.30847772 - 2.30847772 \cdot 1 & - 14.50418408 - 2.30847772 \cdot - 6.28300803 & 0 - 2.30847772 \cdot 0 \end{array}]$

Étape 3.3.2.5.2

Simplifiez $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 0.30847772 & - 0.46271658 & 0 \\ 0 & 1 & - 6.28300803 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Étape 3.3.2.6

Multiply each element of $R_{3}$ by $\frac{1}{2.7504016 \cdot 10^{- 12}}$ to make the entry at $3, 3$ a $1$ .

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Étape 3.3.2.6.1

Multiply each element of $R_{3}$ by $\frac{1}{2.7504016 \cdot 10^{- 12}}$ to make the entry at $3, 3$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 0.30847772 & - 0.46271658 & 0 \\ 0 & 1 & - 6.28300803 & 0 \\ \frac{0}{2.7504016 \cdot 10^{- 12}} & \frac{0}{2.7504016 \cdot 10^{- 12}} & \frac{0}{2.7504016 \cdot 10^{- 12}} & \frac{0}{2.7504016 \cdot 10^{- 12}} \end{array}]$

Étape 3.3.2.6.2

Simplifiez $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 0.30847772 & - 0.46271658 & 0 \\ 0 & 1 & - 6.28300803 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}]$

Étape 3.3.2.7

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} + 6.28300803 R_{3}$ to make the entry at $2, 3$ a $0$ .

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Étape 3.3.2.7.1

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} + 6.28300803 R_{3}$ to make the entry at $2, 3$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 0.30847772 & - 0.46271658 & 0 \\ 0 + 6.28300803 \cdot 0 & 1 + 6.28300803 \cdot 0 & - 6.28300803 + 6.28300803 \cdot 1 & 0 + 6.28300803 \cdot 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}]$

Étape 3.3.2.7.2

Simplifiez $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 0.30847772 & - 0.46271658 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}]$

Étape 3.3.2.8

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} + 0.46271658 R_{3}$ to make the entry at $1, 3$ a $0$ .

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Étape 3.3.2.8.1

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} + 0.46271658 R_{3}$ to make the entry at $1, 3$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 + 0.46271658 \cdot 0 & - 0.30847772 + 0.46271658 \cdot 0 & - 0.46271658 + 0.46271658 \cdot 1 & 0 + 0.46271658 \cdot 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}]$

Étape 3.3.2.8.2

Simplifiez $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 0.30847772 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}]$

Étape 3.3.2.9

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} + 0.30847772 R_{2}$ to make the entry at $1, 2$ a $0$ .

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Étape 3.3.2.9.1

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} + 0.30847772 R_{2}$ to make the entry at $1, 2$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 + 0.30847772 \cdot 0 & - 0.30847772 + 0.30847772 \cdot 1 & 0 + 0.30847772 \cdot 0 & 0 + 0.30847772 \cdot 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}]$

Étape 3.3.2.9.2

Simplifiez $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}]$

Étape 3.3.3

Use the result matrix to declare the final solution to the system of equations.

$x = 0$

$y = 0$

$z = 0$

Étape 3.3.4

Write a solution vector by solving in terms of the free variables in each row.

$[\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = [\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 0 \end{array}]$

Étape 3.3.5

Write as a solution set.

${[\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 0 \end{array}]}$

Étape 4

The eigenspace of $A$ is the list of the vector space for each eigenvalue.

${[\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 0 \end{array}]}$

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