Algèbre Exemples

${(z + 3)}^{3} = 2 i$

Étape 1

Remplacez $z + 3$ par $u$ .

$u^{3} = 2 i$

Étape 2

C’est la forme trigonométrique d’un nombre complexe où $| z |$ est le module et $θ$ est l’angle créé sur le plan complexe.

$z = a + b i = | z | (\cos (θ) + i \sin (θ))$

Étape 3

Le module d’un nombre complexe est la distance par rapport à l’origine du plan complexe.

$| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ où $z = a + b i$

Étape 4

Remplacez les valeurs réelles de $a = 0$ et $b = 2$ .

$| z | = \sqrt{2^{2}}$

Étape 5

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$| z | = 2$

Étape 6

L’angle du point sur le plan complexe est la tangente inverse de la partie complexe sur la partie réelle.

$θ = \arctan (\frac{2}{0})$

Étape 7

Comme l’argument est indéfini et $b$ est positif, l’angle du point sur le plan complexe est $\frac{π}{2}$ .

$θ = \frac{π}{2}$

Étape 8

Remplacez les valeurs de $θ = \frac{π}{2}$ et $| z | = 2$ .

$2 (\cos (\frac{π}{2}) + i \sin (\frac{π}{2}))$

Étape 9

Remplacez le côté droit de l’équation par la forme trigonométrique.

$u^{3} = 2 (\cos (\frac{π}{2}) + i \sin (\frac{π}{2}))$

Étape 10

Utilisez le théorème de De Moivre pour déterminer une équation pour $u$ .

$r^{3} (c o s (3 θ) + i s i n (3 θ)) = 2 i = 2 (\cos (\frac{π}{2}) + i \sin (\frac{π}{2}))$

Étape 11

Associez le module de la forme trigonométrique à $r^{3}$ pour déterminer la valeur de $r$ .

$r^{3} = 2$

Étape 12

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$r = \sqrt[3]{2}$

Étape 13

Déterminez la valeur approximative de $r$ .

$r = 1.25992104$

Étape 14

Déterminer les valeurs possibles de $θ$ .

$c o s (3 θ) = c o s (\frac{π}{2} + 2 π n)$ et $s i n (3 θ) = s i n (\frac{π}{2} + 2 π n)$

Étape 15

Déterminer toutes les valeurs possibles de $θ$ mène à l’équation $3 θ = \frac{π}{2} + 2 π n$ .

$3 θ = \frac{π}{2} + 2 π n$

Étape 16

Déterminez la valeur de $θ$ pour $r = 0$ .

$3 θ = \frac{π}{2} + 2 π (0)$

Étape 17

Résolvez l’équation pour $θ$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 17.1

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 17.1.1

Multipliez $2 π (0)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 17.1.1.1

Multipliez $0$ par $2$ .

$3 θ = \frac{π}{2} + 0 π$

Étape 17.1.1.2

Multipliez $0$ par $π$ .

$3 θ = \frac{π}{2} + 0$

Étape 17.1.2

Additionnez $\frac{π}{2}$ et $0$ .

$3 θ = \frac{π}{2}$

Étape 17.2

Divisez chaque terme dans $3 θ = \frac{π}{2}$ par $3$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 17.2.1

Divisez chaque terme dans $3 θ = \frac{π}{2}$ par $3$ .

$\frac{3 θ}{3} = \frac{\frac{π}{2}}{3}$

Étape 17.2.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 17.2.2.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 17.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 θ}{3} = \frac{\frac{π}{2}}{3}$

Étape 17.2.2.1.2

Divisez $θ$ par $1$ .

$θ = \frac{\frac{π}{2}}{3}$

Étape 17.2.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 17.2.3.1

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$θ = \frac{π}{2} \cdot \frac{1}{3}$

Étape 17.2.3.2

Multipliez $\frac{π}{2} \cdot \frac{1}{3}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 17.2.3.2.1

Multipliez $\frac{π}{2}$ par $\frac{1}{3}$ .

$θ = \frac{π}{2 \cdot 3}$

Étape 17.2.3.2.2

Multipliez $2$ par $3$ .

$θ = \frac{π}{6}$

Étape 18

Utilisez les valeurs de $θ$ et $r$ pour déterminer une solution à l’équation $u^{3} = 2 i$ .

$u_{0} = 1.25992104 (\cos (\frac{π}{6}) + i \sin (\frac{π}{6}))$

Étape 19

Convertissez la solution en forme rectangulaire.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 19.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 19.1.1

La valeur exacte de $\cos (\frac{π}{6})$ est $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$u_{0} = 1.25992104 (\frac{\sqrt{3}}{2} + i \sin (\frac{π}{6}))$

Étape 19.1.2

La valeur exacte de $\sin (\frac{π}{6})$ est $\frac{1}{2}$ .

$u_{0} = 1.25992104 (\frac{\sqrt{3}}{2} + i (\frac{1}{2}))$

Étape 19.1.3

Associez $i$ et $\frac{1}{2}$ .

$u_{0} = 1.25992104 (\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{i}{2})$

Étape 19.2

Appliquez la propriété distributive.

$u_{0} = 1.25992104 (\frac{\sqrt{3}}{2}) + 1.25992104 (\frac{i}{2})$

Étape 19.3

Multipliez $1.25992104 \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 19.3.1

Associez $1.25992104$ et $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$u_{0} = \frac{1.25992104 \sqrt{3}}{2} + 1.25992104 (\frac{i}{2})$

Étape 19.3.2

Multipliez $1.25992104$ par $\sqrt{3}$ .

$u_{0} = \frac{2.18224727}{2} + 1.25992104 (\frac{i}{2})$

Étape 19.4

Associez $1.25992104$ et $\frac{i}{2}$ .

$u_{0} = \frac{2.18224727}{2} + \frac{1.25992104 i}{2}$

Étape 19.5

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 19.5.1

Divisez $2.18224727$ par $2$ .

$u_{0} = 1.09112363 + \frac{1.25992104 i}{2}$

Étape 19.5.2

Factorisez $1.25992104$ à partir de $1.25992104 i$ .

$u_{0} = 1.09112363 + \frac{1.25992104 (i)}{2}$

Étape 19.5.3

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$u_{0} = 1.09112363 + \frac{1.25992104 (i)}{2 (1)}$

Étape 19.5.4

Séparez les fractions.

$u_{0} = 1.09112363 + \frac{1.25992104}{2} \cdot \frac{i}{1}$

Étape 19.5.5

Divisez $1.25992104$ par $2$ .

$u_{0} = 1.09112363 + 0.62996052 (\frac{i}{1})$

Étape 19.5.6

Divisez $i$ par $1$ .

$u_{0} = 1.09112363 + 0.62996052 i$

Étape 20

Remplacez $u$ par $z + 3$ pour calculer la valeur de $z$ après le décalage vers la gauche.

$z_{0} = - 3 + 1.09112363 + 0.62996052 i$

Étape 21

Déterminez la valeur de $θ$ pour $r = 1$ .

$3 θ = \frac{π}{2} + 2 π (1)$

Étape 22

Résolvez l’équation pour $θ$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 22.1

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 22.1.1

Multipliez $2$ par $1$ .

$3 θ = \frac{π}{2} + 2 π$

Étape 22.1.2

Pour écrire $2 π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$3 θ = \frac{π}{2} + 2 π \cdot \frac{2}{2}$

Étape 22.1.3

Associez $2 π$ et $\frac{2}{2}$ .

$3 θ = \frac{π}{2} + \frac{2 π \cdot 2}{2}$

Étape 22.1.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$3 θ = \frac{π + 2 π \cdot 2}{2}$

Étape 22.1.5

Multipliez $2$ par $2$ .

$3 θ = \frac{π + 4 π}{2}$

Étape 22.1.6

Additionnez $π$ et $4 π$ .

$3 θ = \frac{5 π}{2}$

Étape 22.2

Divisez chaque terme dans $3 θ = \frac{5 π}{2}$ par $3$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 22.2.1

Divisez chaque terme dans $3 θ = \frac{5 π}{2}$ par $3$ .

$\frac{3 θ}{3} = \frac{\frac{5 π}{2}}{3}$

Étape 22.2.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 22.2.2.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 22.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 θ}{3} = \frac{\frac{5 π}{2}}{3}$

Étape 22.2.2.1.2

Divisez $θ$ par $1$ .

$θ = \frac{\frac{5 π}{2}}{3}$

Étape 22.2.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 22.2.3.1

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$θ = \frac{5 π}{2} \cdot \frac{1}{3}$

Étape 22.2.3.2

Multipliez $\frac{5 π}{2} \cdot \frac{1}{3}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 22.2.3.2.1

Multipliez $\frac{5 π}{2}$ par $\frac{1}{3}$ .

$θ = \frac{5 π}{2 \cdot 3}$

Étape 22.2.3.2.2

Multipliez $2$ par $3$ .

$θ = \frac{5 π}{6}$

Étape 23

Utilisez les valeurs de $θ$ et $r$ pour déterminer une solution à l’équation $u^{3} = 2 i$ .

$u_{1} = 1.25992104 (\cos (\frac{5 π}{6}) + i \sin (\frac{5 π}{6}))$

Étape 24

Convertissez la solution en forme rectangulaire.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 24.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 24.1.1

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant. Rendez l’expression négative car le cosinus est négatif dans le deuxième quadrant.

$u_{1} = 1.25992104 (- \cos (\frac{π}{6}) + i \sin (\frac{5 π}{6}))$

Étape 24.1.2

La valeur exacte de $\cos (\frac{π}{6})$ est $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$u_{1} = 1.25992104 (- \frac{\sqrt{3}}{2} + i \sin (\frac{5 π}{6}))$

Étape 24.1.3

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant.

$u_{1} = 1.25992104 (- \frac{\sqrt{3}}{2} + i \sin (\frac{π}{6}))$

Étape 24.1.4

La valeur exacte de $\sin (\frac{π}{6})$ est $\frac{1}{2}$ .

$u_{1} = 1.25992104 (- \frac{\sqrt{3}}{2} + i (\frac{1}{2}))$

Étape 24.1.5

Associez $i$ et $\frac{1}{2}$ .

$u_{1} = 1.25992104 (- \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{i}{2})$

Étape 24.2

Appliquez la propriété distributive.

$u_{1} = 1.25992104 (- \frac{\sqrt{3}}{2}) + 1.25992104 (\frac{i}{2})$

Étape 24.3

Multipliez $1.25992104 (- \frac{\sqrt{3}}{2})$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 24.3.1

Multipliez $- 1$ par $1.25992104$ .

$u_{1} = - 1.25992104 \frac{\sqrt{3}}{2} + 1.25992104 (\frac{i}{2})$

Étape 24.3.2

Associez $- 1.25992104$ et $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$u_{1} = \frac{- 1.25992104 \sqrt{3}}{2} + 1.25992104 (\frac{i}{2})$

Étape 24.3.3

Multipliez $- 1.25992104$ par $\sqrt{3}$ .

$u_{1} = \frac{- 2.18224727}{2} + 1.25992104 (\frac{i}{2})$

Étape 24.4

Associez $1.25992104$ et $\frac{i}{2}$ .

$u_{1} = \frac{- 2.18224727}{2} + \frac{1.25992104 i}{2}$

Étape 24.5

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 24.5.1

Divisez $- 2.18224727$ par $2$ .

$u_{1} = - 1.09112363 + \frac{1.25992104 i}{2}$

Étape 24.5.2

Factorisez $1.25992104$ à partir de $1.25992104 i$ .

$u_{1} = - 1.09112363 + \frac{1.25992104 (i)}{2}$

Étape 24.5.3

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$u_{1} = - 1.09112363 + \frac{1.25992104 (i)}{2 (1)}$

Étape 24.5.4

Séparez les fractions.

$u_{1} = - 1.09112363 + \frac{1.25992104}{2} \cdot \frac{i}{1}$

Étape 24.5.5

Divisez $1.25992104$ par $2$ .

$u_{1} = - 1.09112363 + 0.62996052 (\frac{i}{1})$

Étape 24.5.6

Divisez $i$ par $1$ .

$u_{1} = - 1.09112363 + 0.62996052 i$

Étape 25

Remplacez $u$ par $z + 3$ pour calculer la valeur de $z$ après le décalage vers la gauche.

$z_{1} = - 3 - 1.09112363 + 0.62996052 i$

Étape 26

Déterminez la valeur de $θ$ pour $r = 2$ .

$3 θ = \frac{π}{2} + 2 π (2)$

Étape 27

Résolvez l’équation pour $θ$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 27.1

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 27.1.1

Multipliez $2$ par $2$ .

$3 θ = \frac{π}{2} + 4 π$

Étape 27.1.2

Pour écrire $4 π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$3 θ = \frac{π}{2} + 4 π \cdot \frac{2}{2}$

Étape 27.1.3

Associez $4 π$ et $\frac{2}{2}$ .

$3 θ = \frac{π}{2} + \frac{4 π \cdot 2}{2}$

Étape 27.1.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$3 θ = \frac{π + 4 π \cdot 2}{2}$

Étape 27.1.5

Multipliez $2$ par $4$ .

$3 θ = \frac{π + 8 π}{2}$

Étape 27.1.6

Additionnez $π$ et $8 π$ .

$3 θ = \frac{9 π}{2}$

Étape 27.2

Divisez chaque terme dans $3 θ = \frac{9 π}{2}$ par $3$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 27.2.1

Divisez chaque terme dans $3 θ = \frac{9 π}{2}$ par $3$ .

$\frac{3 θ}{3} = \frac{\frac{9 π}{2}}{3}$

Étape 27.2.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 27.2.2.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 27.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 θ}{3} = \frac{\frac{9 π}{2}}{3}$

Étape 27.2.2.1.2

Divisez $θ$ par $1$ .

$θ = \frac{\frac{9 π}{2}}{3}$

Étape 27.2.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 27.2.3.1

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$θ = \frac{9 π}{2} \cdot \frac{1}{3}$

Étape 27.2.3.2

Annulez le facteur commun de $3$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 27.2.3.2.1

Factorisez $3$ à partir de $9 π$ .

$θ = \frac{3 (3 π)}{2} \cdot \frac{1}{3}$

Étape 27.2.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$θ = \frac{3 (3 π)}{2} \cdot \frac{1}{3}$

Étape 27.2.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$θ = \frac{3 π}{2}$

Étape 28

Utilisez les valeurs de $θ$ et $r$ pour déterminer une solution à l’équation $u^{3} = 2 i$ .

$u_{2} = 1.25992104 (\cos (\frac{3 π}{2}) + i \sin (\frac{3 π}{2}))$

Étape 29

Convertissez la solution en forme rectangulaire.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 29.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 29.1.1

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant.

$u_{2} = 1.25992104 (\cos (\frac{π}{2}) + i \sin (\frac{3 π}{2}))$

Étape 29.1.2

La valeur exacte de $\cos (\frac{π}{2})$ est $0$ .

$u_{2} = 1.25992104 (0 + i \sin (\frac{3 π}{2}))$

Étape 29.1.3

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant. Rendez l’expression négative car le sinus est négatif dans le quatrième quadrant.

$u_{2} = 1.25992104 (0 + i (- \sin (\frac{π}{2})))$

Étape 29.1.4

La valeur exacte de $\sin (\frac{π}{2})$ est $1$ .

$u_{2} = 1.25992104 (0 + i (- 1 \cdot 1))$

Étape 29.1.5

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$u_{2} = 1.25992104 (0 + i \cdot - 1)$

Étape 29.1.6

Déplacez $- 1$ à gauche de $i$ .

$u_{2} = 1.25992104 (0 - 1 \cdot i)$

Étape 29.1.7

Réécrivez $- 1 i$ comme $- i$ .

$u_{2} = 1.25992104 (0 - i)$

Étape 29.2

Simplifiez l’expression.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 29.2.1

Soustrayez $i$ de $0$ .

$u_{2} = 1.25992104 (- i)$

Étape 29.2.2

Multipliez $- 1$ par $1.25992104$ .

$u_{2} = - 1.25992104 i$

Étape 30

Remplacez $u$ par $z + 3$ pour calculer la valeur de $z$ après le décalage vers la gauche.

$z_{2} = - 3 - 1.25992104 i$

Étape 31

Ce sont les solutions complexes à $u^{3} = 2 i$ .

$z_{0} = - 1.90887636 + 0.62996052 i$

$z_{1} = - 4.09112363 + 0.62996052 i$

$z_{2} = - 3 - 1.25992104 i$

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