Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{1}^{2} 2 x^{2} + x d x$

Étape 1

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int_{1}^{2} 2 x^{2} d x + \int_{1}^{2} x d x$

Étape 2

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , placez $2$ en dehors de l’intégrale.

$2 \int_{1}^{2} x^{2} d x + \int_{1}^{2} x d x$

Étape 3

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$2 (\frac{1}{3} x^{3}]_{1}^{2}) + \int_{1}^{2} x d x$

Étape 4

Associez $\frac{1}{3}$ et $x^{3}$ .

$2 (\frac{x^{3}}{3}]_{1}^{2}) + \int_{1}^{2} x d x$

Étape 5

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$2 (\frac{x^{3}}{3}]_{1}^{2}) + \frac{1}{2} x^{2}]_{1}^{2}$

Étape 6

Remplacez et simplifiez.

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Étape 6.1

Évaluez $\frac{x^{3}}{3}$ sur $2$ et sur $1$ .

$2 ((\frac{2^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3}) + \frac{1}{2} x^{2}]_{1}^{2}$

Étape 6.2

Évaluez $\frac{1}{2} x^{2}$ sur $2$ et sur $1$ .

$2 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + \frac{1}{2} \cdot 2^{2} - \frac{1}{2} \cdot 1^{2}$

Étape 6.3

Simplifiez

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Étape 6.3.1

Élevez $2$ à la puissance $3$ .

$2 (\frac{8}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + \frac{1}{2} \cdot 2^{2} - \frac{1}{2} \cdot 1^{2}$

Étape 6.3.2

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$2 (\frac{8}{3} - \frac{1}{3}) + \frac{1}{2} \cdot 2^{2} - \frac{1}{2} \cdot 1^{2}$

Étape 6.3.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$2 \frac{8 - 1}{3} + \frac{1}{2} \cdot 2^{2} - \frac{1}{2} \cdot 1^{2}$

Étape 6.3.4

Soustrayez $1$ de $8$ .

$2 (\frac{7}{3}) + \frac{1}{2} \cdot 2^{2} - \frac{1}{2} \cdot 1^{2}$

Étape 6.3.5

Associez $2$ et $\frac{7}{3}$ .

$\frac{2 \cdot 7}{3} + \frac{1}{2} \cdot 2^{2} - \frac{1}{2} \cdot 1^{2}$

Étape 6.3.6

Multipliez $2$ par $7$ .

$\frac{14}{3} + \frac{1}{2} \cdot 2^{2} - \frac{1}{2} \cdot 1^{2}$

Étape 6.3.7

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$\frac{14}{3} + \frac{1}{2} \cdot 4 - \frac{1}{2} \cdot 1^{2}$

Étape 6.3.8

Associez $\frac{1}{2}$ et $4$ .

$\frac{14}{3} + \frac{4}{2} - \frac{1}{2} \cdot 1^{2}$

Étape 6.3.9

Annulez le facteur commun à $4$ et $2$ .

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Étape 6.3.9.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$\frac{14}{3} + \frac{2 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2} \cdot 1^{2}$

Étape 6.3.9.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 6.3.9.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$\frac{14}{3} + \frac{2 \cdot 2}{2 (1)} - \frac{1}{2} \cdot 1^{2}$

Étape 6.3.9.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{14}{3} + \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1} - \frac{1}{2} \cdot 1^{2}$

Étape 6.3.9.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{14}{3} + \frac{2}{1} - \frac{1}{2} \cdot 1^{2}$

Étape 6.3.9.2.4

Divisez $2$ par $1$ .

$\frac{14}{3} + 2 - \frac{1}{2} \cdot 1^{2}$

Étape 6.3.10

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\frac{14}{3} + 2 - \frac{1}{2} \cdot 1$

Étape 6.3.11

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{14}{3} + 2 - \frac{1}{2}$

Étape 6.3.12

Pour écrire $2$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{14}{3} + 2 \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2}$

Étape 6.3.13

Associez $2$ et $\frac{2}{2}$ .

$\frac{14}{3} + \frac{2 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2}$

Étape 6.3.14

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{14}{3} + \frac{2 \cdot 2 - 1}{2}$

Étape 6.3.15

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.3.15.1

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{14}{3} + \frac{4 - 1}{2}$

Étape 6.3.15.2

Soustrayez $1$ de $4$ .

$\frac{14}{3} + \frac{3}{2}$

Étape 6.3.16

Pour écrire $\frac{14}{3}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{14}{3} \cdot \frac{2}{2} + \frac{3}{2}$

Étape 6.3.17

Pour écrire $\frac{3}{2}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$\frac{14}{3} \cdot \frac{2}{2} + \frac{3}{2} \cdot \frac{3}{3}$

Étape 6.3.18

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $6$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 6.3.18.1

Multipliez $\frac{14}{3}$ par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{14 \cdot 2}{3 \cdot 2} + \frac{3}{2} \cdot \frac{3}{3}$

Étape 6.3.18.2

Multipliez $3$ par $2$ .

$\frac{14 \cdot 2}{6} + \frac{3}{2} \cdot \frac{3}{3}$

Étape 6.3.18.3

Multipliez $\frac{3}{2}$ par $\frac{3}{3}$ .

$\frac{14 \cdot 2}{6} + \frac{3 \cdot 3}{2 \cdot 3}$

Étape 6.3.18.4

Multipliez $2$ par $3$ .

$\frac{14 \cdot 2}{6} + \frac{3 \cdot 3}{6}$

Étape 6.3.19

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{14 \cdot 2 + 3 \cdot 3}{6}$

Étape 6.3.20

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.3.20.1

Multipliez $14$ par $2$ .

$\frac{28 + 3 \cdot 3}{6}$

Étape 6.3.20.2

Multipliez $3$ par $3$ .

$\frac{28 + 9}{6}$

Étape 6.3.20.3

Additionnez $28$ et $9$ .

$\frac{37}{6}$

Étape 7

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\frac{37}{6}$

Forme décimale :

$6.1\overline{6}$

Forme de nombre mixte :

$6 \frac{1}{6}$

Étape 8

Saisissez VOTRE problème