Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = x^{6} - 3 x^{4}$ , $[0, 2]$

Étape 1

Déterminez la dérivée de $f (x) = x^{6} - 3 x^{4}$ .

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Étape 1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1

Différenciez.

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Étape 1.1.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{6} - 3 x^{4}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{6}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{4}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{6}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{4}]$

Étape 1.1.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 6$ .

$6 x^{5} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{4}]$

Étape 1.1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 3 x^{4}]$ .

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Étape 1.1.2.1

Comme $- 3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 3 x^{4}$ par rapport à $x$ est $- 3 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$6 x^{5} - 3 \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Étape 1.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$6 x^{5} - 3 (4 x^{3})$

Étape 1.1.2.3

Multipliez $4$ par $- 3$ .

$f' (x) = 6 x^{5} - 12 x^{3}$

Étape 1.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $6 x^{5} - 12 x^{3}$ .

$6 x^{5} - 12 x^{3}$

Étape 2

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Notation d’intervalle :

$(- \infty, \infty)$

Notation de constructeur d’ensemble :

${x | x \in ℝ}$

Étape 3

$f' (x)$ est continu sur $[0, 2]$ .

$f' (x)$ est continu

Étape 4

La valeur moyenne de la fonction $f'$ sur l’intervalle $[a, b]$ est définie comme $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ .

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

Étape 5

Remplacez les valeurs réelles dans la formule pour la valeur moyenne d’une fonction.

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (\int_{0}^{2} 6 x^{5} - 12 x^{3} d x)$

Étape 6

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (\int_{0}^{2} 6 x^{5} d x + \int_{0}^{2} - 12 x^{3} d x)$

Étape 7

Comme $6$ est constant par rapport à $x$ , placez $6$ en dehors de l’intégrale.

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (6 \int_{0}^{2} x^{5} d x + \int_{0}^{2} - 12 x^{3} d x)$

Étape 8

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{5}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{6} x^{6}$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (6 (\frac{1}{6} x^{6}]_{0}^{2}) + \int_{0}^{2} - 12 x^{3} d x)$

Étape 9

Associez $\frac{1}{6}$ et $x^{6}$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (6 (\frac{x^{6}}{6}]_{0}^{2}) + \int_{0}^{2} - 12 x^{3} d x)$

Étape 10

Comme $- 12$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 12$ en dehors de l’intégrale.

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (6 (\frac{x^{6}}{6}]_{0}^{2}) - 12 \int_{0}^{2} x^{3} d x)$

Étape 11

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{3}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (6 (\frac{x^{6}}{6}]_{0}^{2}) - 12 (\frac{1}{4} x^{4}]_{0}^{2}))$

Étape 12

Simplifiez la réponse.

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Étape 12.1

Associez $\frac{1}{4}$ et $x^{4}$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (6 (\frac{x^{6}}{6}]_{0}^{2}) - 12 (\frac{x^{4}}{4}]_{0}^{2}))$

Étape 12.2

Remplacez et simplifiez.

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Étape 12.2.1

Évaluez $\frac{x^{6}}{6}$ sur $2$ et sur $0$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (6 ((\frac{2^{6}}{6}) - \frac{0^{6}}{6}) - 12 (\frac{x^{4}}{4}]_{0}^{2}))$

Étape 12.2.2

Évaluez $\frac{x^{4}}{4}$ sur $2$ et sur $0$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (6 (\frac{2^{6}}{6} - \frac{0^{6}}{6}) - 12 (\frac{2^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4}))$

Étape 12.2.3

Simplifiez

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Étape 12.2.3.1

Élevez $2$ à la puissance $6$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (6 (\frac{64}{6} - \frac{0^{6}}{6}) - 12 (\frac{2^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4}))$

Étape 12.2.3.2

Annulez le facteur commun à $64$ et $6$ .

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Étape 12.2.3.2.1

Factorisez $2$ à partir de $64$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (6 (\frac{2 (32)}{6} - \frac{0^{6}}{6}) - 12 (\frac{2^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4}))$

Étape 12.2.3.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 12.2.3.2.2.1

Factorisez $2$ à partir de $6$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (6 (\frac{2 \cdot 32}{2 \cdot 3} - \frac{0^{6}}{6}) - 12 (\frac{2^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4}))$

Étape 12.2.3.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (6 (\frac{2 \cdot 32}{2 \cdot 3} - \frac{0^{6}}{6}) - 12 (\frac{2^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4}))$

Étape 12.2.3.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (6 (\frac{32}{3} - \frac{0^{6}}{6}) - 12 (\frac{2^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4}))$

Étape 12.2.3.3

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (6 (\frac{32}{3} - \frac{0}{6}) - 12 (\frac{2^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4}))$

Étape 12.2.3.4

Annulez le facteur commun à $0$ et $6$ .

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Étape 12.2.3.4.1

Factorisez $6$ à partir de $0$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (6 (\frac{32}{3} - \frac{6 (0)}{6}) - 12 (\frac{2^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4}))$

Étape 12.2.3.4.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 12.2.3.4.2.1

Factorisez $6$ à partir de $6$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (6 (\frac{32}{3} - \frac{6 \cdot 0}{6 \cdot 1}) - 12 (\frac{2^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4}))$

Étape 12.2.3.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (6 (\frac{32}{3} - \frac{6 \cdot 0}{6 \cdot 1}) - 12 (\frac{2^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4}))$

Étape 12.2.3.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (6 (\frac{32}{3} - \frac{0}{1}) - 12 (\frac{2^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4}))$

Étape 12.2.3.4.2.4

Divisez $0$ par $1$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (6 (\frac{32}{3} - 0) - 12 (\frac{2^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4}))$

Étape 12.2.3.5

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (6 (\frac{32}{3} + 0) - 12 (\frac{2^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4}))$

Étape 12.2.3.6

Additionnez $\frac{32}{3}$ et $0$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (6 (\frac{32}{3}) - 12 (\frac{2^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4}))$

Étape 12.2.3.7

Associez $6$ et $\frac{32}{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (\frac{6 \cdot 32}{3} - 12 (\frac{2^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4}))$

Étape 12.2.3.8

Multipliez $6$ par $32$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (\frac{192}{3} - 12 (\frac{2^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4}))$

Étape 12.2.3.9

Annulez le facteur commun à $192$ et $3$ .

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Étape 12.2.3.9.1

Factorisez $3$ à partir de $192$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (\frac{3 \cdot 64}{3} - 12 (\frac{2^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4}))$

Étape 12.2.3.9.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 12.2.3.9.2.1

Factorisez $3$ à partir de $3$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (\frac{3 \cdot 64}{3 (1)} - 12 (\frac{2^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4}))$

Étape 12.2.3.9.2.2

Annulez le facteur commun.

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (\frac{3 \cdot 64}{3 \cdot 1} - 12 (\frac{2^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4}))$

Étape 12.2.3.9.2.3

Réécrivez l’expression.

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (\frac{64}{1} - 12 (\frac{2^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4}))$

Étape 12.2.3.9.2.4

Divisez $64$ par $1$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (64 - 12 (\frac{2^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4}))$

Étape 12.2.3.10

Élevez $2$ à la puissance $4$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (64 - 12 (\frac{16}{4} - \frac{0^{4}}{4}))$

Étape 12.2.3.11

Annulez le facteur commun à $16$ et $4$ .

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Étape 12.2.3.11.1

Factorisez $4$ à partir de $16$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (64 - 12 (\frac{4 \cdot 4}{4} - \frac{0^{4}}{4}))$

Étape 12.2.3.11.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 12.2.3.11.2.1

Factorisez $4$ à partir de $4$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (64 - 12 (\frac{4 \cdot 4}{4 (1)} - \frac{0^{4}}{4}))$

Étape 12.2.3.11.2.2

Annulez le facteur commun.

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (64 - 12 (\frac{4 \cdot 4}{4 \cdot 1} - \frac{0^{4}}{4}))$

Étape 12.2.3.11.2.3

Réécrivez l’expression.

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (64 - 12 (\frac{4}{1} - \frac{0^{4}}{4}))$

Étape 12.2.3.11.2.4

Divisez $4$ par $1$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (64 - 12 (4 - \frac{0^{4}}{4}))$

Étape 12.2.3.12

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (64 - 12 (4 - \frac{0}{4}))$

Étape 12.2.3.13

Annulez le facteur commun à $0$ et $4$ .

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Étape 12.2.3.13.1

Factorisez $4$ à partir de $0$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (64 - 12 (4 - \frac{4 (0)}{4}))$

Étape 12.2.3.13.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 12.2.3.13.2.1

Factorisez $4$ à partir de $4$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (64 - 12 (4 - \frac{4 \cdot 0}{4 \cdot 1}))$

Étape 12.2.3.13.2.2

Annulez le facteur commun.

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (64 - 12 (4 - \frac{4 \cdot 0}{4 \cdot 1}))$

Étape 12.2.3.13.2.3

Réécrivez l’expression.

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (64 - 12 (4 - \frac{0}{1}))$

Étape 12.2.3.13.2.4

Divisez $0$ par $1$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (64 - 12 (4 - 0))$

Étape 12.2.3.14

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (64 - 12 (4 + 0))$

Étape 12.2.3.15

Additionnez $4$ et $0$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (64 - 12 \cdot 4)$

Étape 12.2.3.16

Multipliez $- 12$ par $4$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (64 - 48)$

Étape 12.2.3.17

Soustrayez $48$ de $64$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (16)$

Étape 13

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 13.1

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$A (x) = \frac{1}{2 + 0} \cdot 16$

Étape 13.2

Additionnez $2$ et $0$ .

$A (x) = \frac{1}{2} \cdot 16$

Étape 14

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 14.1

Factorisez $2$ à partir de $16$ .

$A (x) = \frac{1}{2} \cdot (2 (8))$

Étape 14.2

Annulez le facteur commun.

$A (x) = \frac{1}{2} \cdot (2 \cdot 8)$

Étape 14.3

Réécrivez l’expression.

$A (x) = 8$

Étape 15

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