Algèbre Exemples

Déterminer l’intersection de la droite perpendiculaire au plan 1 passant par l’origine et le plan 2
,
Étape 1
Pour déterminer l’intersection de la droite passant par un point perpendiculaire au plan et au plan  :
1. Déterminez les vecteurs normaux du plan et du plan lorsque les vecteurs normaux sont et . Vérifiez si le produit scalaire est 0.
2. Créez un ensemble d’équations paramétriques de sorte que , et .
3. Remplacez ces équations par l’équation pour le plan de sorte que et résolvez pour .
4. Utilisez la valeur de pour résoudre les équations paramétriques , et pour afin de déterminer l’intersection .
Étape 2
Déterminez les vecteurs normaux pour chaque plan et déterminez s’ils sont perpendiculaires en calculant le produit scalaire.
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Étape 2.1
est . Déterminez le vecteur normal à partir de l’équation de plan de la forme .
Étape 2.2
est . Déterminez le vecteur normal à partir de l’équation de plan de la forme .
Étape 2.3
Calculez le produit scalaire de et en additionnant les produits des valeurs , et correspondantes dans les vecteurs normaux.
Étape 2.4
Simplifiez le produit scalaire.
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Étape 2.4.1
Supprimez les parenthèses.
Étape 2.4.2
Simplifiez chaque terme.
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Étape 2.4.2.1
Multipliez par .
Étape 2.4.2.2
Multipliez par .
Étape 2.4.2.3
Multipliez par .
Étape 2.4.3
Simplifiez en ajoutant des nombres.
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Étape 2.4.3.1
Additionnez et .
Étape 2.4.3.2
Additionnez et .
Étape 3
Ensuite, créez un ensemble d’équations paramétriques , et en utilisant l’origine pour le point et les valeurs du vecteur normal pour les valeurs de , et . Cet ensemble d’équations paramétriques représente la droite passant par l’origine qui est perpendiculaire à .
Étape 4
Remplacez l’expression pour , et dans l’équation pour .
Étape 5
Résolvez l’équation pour .
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Étape 5.1
Simplifiez .
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Étape 5.1.1
Associez les termes opposés dans .
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Étape 5.1.1.1
Additionnez et .
Étape 5.1.1.2
Soustrayez de .
Étape 5.1.2
Simplifiez chaque terme.
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Étape 5.1.2.1
Multipliez par .
Étape 5.1.2.2
Réécrivez comme .
Étape 5.1.2.3
Multipliez .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 5.1.2.3.1
Multipliez par .
Étape 5.1.2.3.2
Multipliez par .
Étape 5.1.3
Additionnez et .
Étape 5.2
Divisez chaque terme dans par et simplifiez.
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Étape 5.2.1
Divisez chaque terme dans par .
Étape 5.2.2
Simplifiez le côté gauche.
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Étape 5.2.2.1
Annulez le facteur commun de .
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Étape 5.2.2.1.1
Annulez le facteur commun.
Étape 5.2.2.1.2
Divisez par .
Étape 5.2.3
Simplifiez le côté droit.
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Étape 5.2.3.1
Divisez par .
Étape 6
Résolvez les équations paramétriques pour , et en utilisant la valeur de .
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Étape 6.1
Résolvez l’équation pour .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 6.1.1
Supprimez les parenthèses.
Étape 6.1.2
Simplifiez .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 6.1.2.1
Multipliez par .
Étape 6.1.2.2
Soustrayez de .
Étape 6.2
Résolvez l’équation pour .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 6.2.1
Supprimez les parenthèses.
Étape 6.2.2
Simplifiez .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 6.2.2.1
Multipliez par .
Étape 6.2.2.2
Additionnez et .
Étape 6.3
Résolvez l’équation pour .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 6.3.1
Supprimez les parenthèses.
Étape 6.3.2
Simplifiez .
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Étape 6.3.2.1
Multipliez par .
Étape 6.3.2.2
Additionnez et .
Étape 6.4
Les équations paramétriques résolues pour , et .
Étape 7
En utilisant les valeurs calculées pour , et , le point d’intersection est .
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