Algebra Beispiele

$\frac{1}{2}$ , $- \frac{1}{4}$ , $\frac{1}{8}$ , $- \frac{1}{16}$

Schritt 1

Dies ist eine geometrische Folge, da es zwischen aufeinanderfolgenden Termen ein gemeinsames Verhältnis gibt. In diesem Fall ergibt die Multiplikation des vorhergehenden Terms in der Folge mit $- \frac{1}{2}$ den nächsten Term. Mit anderen Worten: $a_{n} = a_{1} r^{n - 1}$ .

Geometrische Folge: $r = - \frac{1}{2}$

Schritt 2

Dies ist die Form einer geometrischen Folge.

$a_{n} = a_{1} r^{n - 1}$

Schritt 3

Setze die Werte von $a_{1} = \frac{1}{2}$ und $r = - \frac{1}{2}$ ein.

$a_{n} = \frac{1}{2} {(- \frac{1}{2})}^{n - 1}$

Schritt 4

Wende die Exponentenregel ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ an, um den Exponenten zu verteilen.

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Schritt 4.1

Wende die Produktregel auf $- \frac{1}{2}$ an.

$a_{n} = \frac{1}{2} ({(- 1)}^{n - 1} {(\frac{1}{2})}^{n - 1})$

Schritt 4.2

Wende die Produktregel auf $\frac{1}{2}$ an.

$a_{n} = \frac{1}{2} ({(- 1)}^{n - 1} \frac{1^{n - 1}}{2^{n - 1}})$

Schritt 5

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$a_{n} = \frac{1}{2} ({(- 1)}^{n - 1} \frac{1}{2^{n - 1}})$

Schritt 6

Kombiniere ${(- 1)}^{n - 1}$ und $\frac{1}{2^{n - 1}}$ .

$a_{n} = \frac{1}{2} \cdot \frac{{(- 1)}^{n - 1}}{2^{n - 1}}$

Schritt 7

Kombinieren.

$a_{n} = \frac{1 {(- 1)}^{n - 1}}{2 \cdot 2^{n - 1}}$

Schritt 8

Multipliziere $2$ mit $2^{n - 1}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 8.1

Mutltipliziere $2$ mit $2^{n - 1}$ .

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Schritt 8.1.1

Potenziere $2$ mit $1$ .

$a_{n} = \frac{1 {(- 1)}^{n - 1}}{2^{1} \cdot 2^{n - 1}}$

Schritt 8.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$a_{n} = \frac{1 {(- 1)}^{n - 1}}{2^{1 + n - 1}}$

Schritt 8.2

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $1 + n - 1$ .

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Schritt 8.2.1

Subtrahiere $1$ von $1$ .

$a_{n} = \frac{1 {(- 1)}^{n - 1}}{2^{n + 0}}$

Schritt 8.2.2

Addiere $n$ und $0$ .

$a_{n} = \frac{1 {(- 1)}^{n - 1}}{2^{n}}$

Schritt 9

Mutltipliziere ${(- 1)}^{n - 1}$ mit $1$ .

$a_{n} = \frac{{(- 1)}^{n - 1}}{2^{n}}$

Schritt 10

Dies ist die Formel zur Berechnung der Summe der ersten $n$ Terme der geometrischen Folge. Ermittle die Werte von $r$ und $a_{1}$ , um sie auszuwerten.

$S_{n} = \frac{a_{1} (r^{n} - 1)}{r - 1}$

Schritt 11

Ersetze die Variablen durch die bekannten Werte, um $S_{4}$ zu ermitteln.

$S_{4} = \frac{1}{2} \cdot \frac{{(- \frac{1}{2})}^{4} - 1}{- \frac{1}{2} - 1}$

Schritt 12

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 12.1

Wende die Exponentenregel ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ an, um den Exponenten zu verteilen.

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Schritt 12.1.1

Wende die Produktregel auf $- \frac{1}{2}$ an.

$S_{4} = \frac{1}{2} \cdot \frac{{(- 1)}^{4} {(\frac{1}{2})}^{4} - 1}{- \frac{1}{2} - 1}$

Schritt 12.1.2

Wende die Produktregel auf $\frac{1}{2}$ an.

$S_{4} = \frac{1}{2} \cdot \frac{{(- 1)}^{4} (\frac{1^{4}}{2^{4}}) - 1}{- \frac{1}{2} - 1}$

Schritt 12.2

Potenziere $- 1$ mit $4$ .

$S_{4} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1 (\frac{1^{4}}{2^{4}}) - 1}{- \frac{1}{2} - 1}$

Schritt 12.3

Mutltipliziere $\frac{1^{4}}{2^{4}}$ mit $1$ .

$S_{4} = \frac{1}{2} \cdot \frac{\frac{1^{4}}{2^{4}} - 1}{- \frac{1}{2} - 1}$

Schritt 12.4

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$S_{4} = \frac{1}{2} \cdot \frac{\frac{1}{2^{4}} - 1}{- \frac{1}{2} - 1}$

Schritt 12.5

Potenziere $2$ mit $4$ .

$S_{4} = \frac{1}{2} \cdot \frac{\frac{1}{16} - 1}{- \frac{1}{2} - 1}$

Schritt 12.6

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{16}{16}$ .

$S_{4} = \frac{1}{2} \cdot \frac{\frac{1}{16} - 1 \cdot \frac{16}{16}}{- \frac{1}{2} - 1}$

Schritt 12.7

Kombiniere $- 1$ und $\frac{16}{16}$ .

$S_{4} = \frac{1}{2} \cdot \frac{\frac{1}{16} + \frac{- 1 \cdot 16}{16}}{- \frac{1}{2} - 1}$

Schritt 12.8

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$S_{4} = \frac{1}{2} \cdot \frac{\frac{1 - 1 \cdot 16}{16}}{- \frac{1}{2} - 1}$

Schritt 12.9

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 12.9.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $16$ .

$S_{4} = \frac{1}{2} \cdot \frac{\frac{1 - 16}{16}}{- \frac{1}{2} - 1}$

Schritt 12.9.2

Subtrahiere $16$ von $1$ .

$S_{4} = \frac{1}{2} \cdot \frac{\frac{- 15}{16}}{- \frac{1}{2} - 1}$

Schritt 12.10

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$S_{4} = \frac{1}{2} \cdot \frac{- \frac{15}{16}}{- \frac{1}{2} - 1}$

Schritt 13

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 13.1

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$S_{4} = \frac{1}{2} \cdot \frac{- \frac{15}{16}}{- \frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}$

Schritt 13.2

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$S_{4} = \frac{1}{2} \cdot \frac{- \frac{15}{16}}{- \frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}$

Schritt 13.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$S_{4} = \frac{1}{2} \cdot \frac{- \frac{15}{16}}{\frac{- 1 - 1 \cdot 2}{2}}$

Schritt 13.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 13.4.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$S_{4} = \frac{1}{2} \cdot \frac{- \frac{15}{16}}{\frac{- 1 - 2}{2}}$

Schritt 13.4.2

Subtrahiere $2$ von $- 1$ .

$S_{4} = \frac{1}{2} \cdot \frac{- \frac{15}{16}}{\frac{- 3}{2}}$

Schritt 13.5

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$S_{4} = \frac{1}{2} \cdot \frac{- \frac{15}{16}}{- \frac{3}{2}}$

Schritt 14

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$S_{4} = \frac{1}{2} \cdot \frac{\frac{15}{16}}{\frac{3}{2}}$

Schritt 15

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$S_{4} = \frac{1}{2} \cdot (\frac{15}{16} \cdot \frac{2}{3})$

Schritt 16

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 16.1

Faktorisiere $3$ aus $15$ heraus.

$S_{4} = \frac{1}{2} \cdot (\frac{3 (5)}{16} \cdot \frac{2}{3})$

Schritt 16.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$S_{4} = \frac{1}{2} \cdot (\frac{3 \cdot 5}{16} \cdot \frac{2}{3})$

Schritt 16.3

Forme den Ausdruck um.

$S_{4} = \frac{1}{2} \cdot (\frac{5}{16} \cdot 2)$

Schritt 17

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 17.1

Faktorisiere $2$ aus $16$ heraus.

$S_{4} = \frac{1}{2} \cdot (\frac{5}{2 (8)} \cdot 2)$

Schritt 17.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$S_{4} = \frac{1}{2} \cdot (\frac{5}{2 \cdot 8} \cdot 2)$

Schritt 17.3

Forme den Ausdruck um.

$S_{4} = \frac{1}{2} \cdot \frac{5}{8}$

Schritt 18

Multipliziere $\frac{1}{2} \cdot \frac{5}{8}$ .

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Schritt 18.1

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $\frac{5}{8}$ .

$S_{4} = \frac{5}{2 \cdot 8}$

Schritt 18.2

Mutltipliziere $2$ mit $8$ .

$S_{4} = \frac{5}{16}$