Beispiele

$| 3 x | - x^{2} = 1$

Schritt 1

Addiere $x^{2}$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$| 3 x | = 1 + x^{2}$

Schritt 2

Entferne den Term mit dem absoluten Wert. Dies erzeugt ein $\pm$ auf der rechten Seite der Gleichung, da $| x | = \pm x$ .

$3 x = \pm (1 + x^{2})$

Schritt 3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 3.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$3 x = 1 + x^{2}$

Schritt 3.2

Subtrahiere $x^{2}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$3 x - x^{2} = 1$

Schritt 3.3

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$3 x - x^{2} - 1 = 0$

Schritt 3.4

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 3.5

Setze die Werte $a = - 1$ , $b = 3$ und $c = - 1$ in die Quadratformel ein und löse nach $x$ auf.

$\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot (- 1 \cdot - 1)}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 3.6

Vereinfache.

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Schritt 3.6.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.6.1.1

Potenziere $3$ mit $2$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot - 1 \cdot - 1}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 3.6.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot - 1 \cdot - 1$ .

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Schritt 3.6.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 1$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 + 4 \cdot - 1}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 3.6.1.2.2

Mutltipliziere $4$ mit $- 1$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 3.6.1.3

Subtrahiere $4$ von $9$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{5}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 3.6.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{5}}{- 2}$

Schritt 3.6.3

Vereinfache $\frac{- 3 \pm \sqrt{5}}{- 2}$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{5}}{2}$

Schritt 3.7

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $+$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 3.7.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.7.1.1

Potenziere $3$ mit $2$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot - 1 \cdot - 1}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 3.7.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot - 1 \cdot - 1$ .

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Schritt 3.7.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 1$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 + 4 \cdot - 1}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 3.7.1.2.2

Mutltipliziere $4$ mit $- 1$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 3.7.1.3

Subtrahiere $4$ von $9$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{5}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 3.7.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{5}}{- 2}$

Schritt 3.7.3

Vereinfache $\frac{- 3 \pm \sqrt{5}}{- 2}$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{5}}{2}$

Schritt 3.7.4

Ändere das $\pm$ zu $+$ .

$x = \frac{3 + \sqrt{5}}{2}$

Schritt 3.8

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $-$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 3.8.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.8.1.1

Potenziere $3$ mit $2$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot - 1 \cdot - 1}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 3.8.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot - 1 \cdot - 1$ .

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Schritt 3.8.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 1$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 + 4 \cdot - 1}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 3.8.1.2.2

Mutltipliziere $4$ mit $- 1$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 3.8.1.3

Subtrahiere $4$ von $9$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{5}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 3.8.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{5}}{- 2}$

Schritt 3.8.3

Vereinfache $\frac{- 3 \pm \sqrt{5}}{- 2}$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{5}}{2}$

Schritt 3.8.4

Ändere das $\pm$ zu $-$ .

$x = \frac{3 - \sqrt{5}}{2}$

Schritt 3.9

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$x = \frac{3 + \sqrt{5}}{2}, \frac{3 - \sqrt{5}}{2}$

Schritt 3.10

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$3 x = - (1 + x^{2})$

Schritt 3.11

Vereinfache $- (1 + x^{2})$ .

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Schritt 3.11.1

Wende das Distributivgesetz an.

$3 x = - 1 \cdot 1 - x^{2}$

Schritt 3.11.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$3 x = - 1 - x^{2}$

Schritt 3.12

Addiere $x^{2}$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$3 x + x^{2} = - 1$

Schritt 3.13

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$3 x + x^{2} + 1 = 0$

Schritt 3.14

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 3.15

Setze die Werte $a = 1$ , $b = 3$ und $c = 1$ in die Quadratformel ein und löse nach $x$ auf.

$\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 1)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.16

Vereinfache.

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Schritt 3.16.1

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.16.1.1

Potenziere $3$ mit $2$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.16.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot 1$ .

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Schritt 3.16.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.16.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.16.1.3

Subtrahiere $4$ von $9$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{5}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.16.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{5}}{2}$

Schritt 3.17

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $+$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 3.17.1

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.17.1.1

Potenziere $3$ mit $2$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.17.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot 1$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.17.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.17.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.17.1.3

Subtrahiere $4$ von $9$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{5}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.17.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{5}}{2}$

Schritt 3.17.3

Ändere das $\pm$ zu $+$ .

$x = \frac{- 3 + \sqrt{5}}{2}$

Schritt 3.17.4

Schreibe $- 3$ als $- 1 (3)$ um.

$x = \frac{- 1 \cdot 3 + \sqrt{5}}{2}$

Schritt 3.17.5

Faktorisiere $- 1$ aus $\sqrt{5}$ heraus.

$x = \frac{- 1 \cdot 3 - 1 (- \sqrt{5})}{2}$

Schritt 3.17.6

Faktorisiere $- 1$ aus $- 1 (3) - 1 (- \sqrt{5})$ heraus.

$x = \frac{- 1 (3 - \sqrt{5})}{2}$

Schritt 3.17.7

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = - \frac{3 - \sqrt{5}}{2}$

Schritt 3.18

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $-$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.18.1

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.18.1.1

Potenziere $3$ mit $2$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.18.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot 1$ .

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Schritt 3.18.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.18.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.18.1.3

Subtrahiere $4$ von $9$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{5}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.18.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{5}}{2}$

Schritt 3.18.3

Ändere das $\pm$ zu $-$ .

$x = \frac{- 3 - \sqrt{5}}{2}$

Schritt 3.18.4

Schreibe $- 3$ als $- 1 (3)$ um.

$x = \frac{- 1 \cdot 3 - \sqrt{5}}{2}$

Schritt 3.18.5

Faktorisiere $- 1$ aus $- \sqrt{5}$ heraus.

$x = \frac{- 1 \cdot 3 - (\sqrt{5})}{2}$

Schritt 3.18.6

Faktorisiere $- 1$ aus $- 1 (3) - (\sqrt{5})$ heraus.

$x = \frac{- 1 (3 + \sqrt{5})}{2}$

Schritt 3.18.7

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = - \frac{3 + \sqrt{5}}{2}$

Schritt 3.19

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$x = - \frac{3 - \sqrt{5}}{2}, - \frac{3 + \sqrt{5}}{2}$

Schritt 3.20

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = \frac{3 + \sqrt{5}}{2}, \frac{3 - \sqrt{5}}{2}, - \frac{3 - \sqrt{5}}{2}, - \frac{3 + \sqrt{5}}{2}$

Schritt 4

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$x = \frac{3 + \sqrt{5}}{2}, \frac{3 - \sqrt{5}}{2}, - \frac{3 - \sqrt{5}}{2}, - \frac{3 + \sqrt{5}}{2}$

Dezimalform:

$x = 2.61803398 \dots, 0.38196601 \dots, - 0.38196601 \dots, - 2.61803398 \dots$

Gib DEINE Aufgabe ein