Beispiele

Eine Orthonormalbasis mit Hilfe des Gram-Schmidt-Verfahrens ermitteln
Schritt 1
Vergebe einen Namen für jeden Vektor.
Schritt 2
Der erste orthogonale Vektor ist der erste Vektor in der gegebenen Menge von Vektoren.
Schritt 3
Verwende die Formel, um die anderen orthogonalen Vektoren zu ermitteln.
Schritt 4
Ermittle den orthogonalen Vektor .
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Schritt 4.1
Verwende die Formel, um zu ermitteln.
Schritt 4.2
Ersetze durch .
Schritt 4.3
Ermittle .
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Schritt 4.3.1
Berechne das Skalarprodukt.
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Schritt 4.3.1.1
Das Skalarprodukt zweier Vektoren ist die Summe der Produkte ihrer Komponenten.
Schritt 4.3.1.2
Vereinfache.
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Schritt 4.3.1.2.1
Vereinfache jeden Term.
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Schritt 4.3.1.2.1.1
Mutltipliziere mit .
Schritt 4.3.1.2.1.2
Mutltipliziere mit .
Schritt 4.3.1.2.1.3
Mutltipliziere mit .
Schritt 4.3.1.2.2
Addiere und .
Schritt 4.3.1.2.3
Addiere und .
Schritt 4.3.2
Ermittle die Norm von .
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Schritt 4.3.2.1
Die Norm ist die Quadratwurzel aus der Summe der Quadrate aller Elemente im Vektor.
Schritt 4.3.2.2
Vereinfache.
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Schritt 4.3.2.2.1
Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.
Schritt 4.3.2.2.2
Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.
Schritt 4.3.2.2.3
Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.
Schritt 4.3.2.2.4
Addiere und .
Schritt 4.3.2.2.5
Addiere und .
Schritt 4.3.3
Ermittle die Projektion von auf mit Hilfe der Projektionsformel.
Schritt 4.3.4
Ersetze durch .
Schritt 4.3.5
Ersetze durch .
Schritt 4.3.6
Ersetze durch .
Schritt 4.3.7
Vereinfache die rechte Seite.
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Schritt 4.3.7.1
Schreibe als um.
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Schritt 4.3.7.1.1
Benutze , um als neu zu schreiben.
Schritt 4.3.7.1.2
Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, .
Schritt 4.3.7.1.3
Kombiniere und .
Schritt 4.3.7.1.4
Kürze den gemeinsamen Faktor von .
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Schritt 4.3.7.1.4.1
Kürze den gemeinsamen Faktor.
Schritt 4.3.7.1.4.2
Forme den Ausdruck um.
Schritt 4.3.7.1.5
Berechne den Exponenten.
Schritt 4.3.7.2
Multipliziere mit jedem Element der Matrix.
Schritt 4.3.7.3
Vereinfache jedes Element der Matrix.
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Schritt 4.3.7.3.1
Mutltipliziere mit .
Schritt 4.3.7.3.2
Mutltipliziere mit .
Schritt 4.3.7.3.3
Mutltipliziere mit .
Schritt 4.4
Setze die Projektion ein.
Schritt 4.5
Vereinfache.
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Schritt 4.5.1
Kombiniere jede Komponente der Vektoren.
Schritt 4.5.2
Subtrahiere von .
Schritt 4.5.3
Schreibe als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.
Schritt 4.5.4
Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.
Schritt 4.5.5
Subtrahiere von .
Schritt 4.5.6
Schreibe als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.
Schritt 4.5.7
Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.
Schritt 4.5.8
Subtrahiere von .
Schritt 5
Ermittle die Orthonormalbasis, indem du jeden orthogonalen Vektor durch seine Norm dividierst.
Schritt 6
Ermittle den Einheitsvektor , wobei .
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Schritt 6.1
Um einen Einheitsvektor in der gleichen Richtung wie ein Vektor zu ermitteln, dividiert man durch die Norm von .
Schritt 6.2
Die Norm ist die Quadratwurzel aus der Summe der Quadrate aller Elemente im Vektor.
Schritt 6.3
Vereinfache.
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Schritt 6.3.1
Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.
Schritt 6.3.2
Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.
Schritt 6.3.3
Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.
Schritt 6.3.4
Addiere und .
Schritt 6.3.5
Addiere und .
Schritt 6.4
Teile den Vektor durch seine Norm.
Schritt 6.5
Teile jedes Element des Vektors durch .
Schritt 7
Ermittle den Einheitsvektor , wobei .
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Schritt 7.1
Um einen Einheitsvektor in der gleichen Richtung wie ein Vektor zu ermitteln, dividiert man durch die Norm von .
Schritt 7.2
Die Norm ist die Quadratwurzel aus der Summe der Quadrate aller Elemente im Vektor.
Schritt 7.3
Vereinfache.
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Schritt 7.3.1
Wende die Exponentenregel an, um den Exponenten zu verteilen.
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Schritt 7.3.1.1
Wende die Produktregel auf an.
Schritt 7.3.1.2
Wende die Produktregel auf an.
Schritt 7.3.2
Potenziere mit .
Schritt 7.3.3
Mutltipliziere mit .
Schritt 7.3.4
Potenziere mit .
Schritt 7.3.5
Potenziere mit .
Schritt 7.3.6
Wende die Produktregel auf an.
Schritt 7.3.7
Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.
Schritt 7.3.8
Potenziere mit .
Schritt 7.3.9
Wende die Produktregel auf an.
Schritt 7.3.10
Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.
Schritt 7.3.11
Potenziere mit .
Schritt 7.3.12
Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.
Schritt 7.3.13
Addiere und .
Schritt 7.3.14
Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.
Schritt 7.3.15
Addiere und .
Schritt 7.3.16
Kürze den gemeinsamen Teiler von und .
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Schritt 7.3.16.1
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 7.3.16.2
Kürze die gemeinsamen Faktoren.
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Schritt 7.3.16.2.1
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 7.3.16.2.2
Kürze den gemeinsamen Faktor.
Schritt 7.3.16.2.3
Forme den Ausdruck um.
Schritt 7.3.17
Schreibe als um.
Schritt 7.4
Teile den Vektor durch seine Norm.
Schritt 7.5
Teile jedes Element des Vektors durch .
Schritt 7.6
Vereinfache.
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Schritt 7.6.1
Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.
Schritt 7.6.2
Mutltipliziere mit .
Schritt 7.6.3
Bringe auf die linke Seite von .
Schritt 7.6.4
Bringe auf die linke Seite von .
Schritt 7.6.5
Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.
Schritt 7.6.6
Mutltipliziere mit .
Schritt 7.6.7
Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.
Schritt 7.6.8
Mutltipliziere mit .
Schritt 8
Setze die bekannten Werte ein.
Gib DEINE Aufgabe ein
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