Beispiele

$f (x) = 7 - 3 x + 2 x^{2}$

Schritt 1

Schreibe $f (x) = 7 - 3 x + 2 x^{2}$ als Gleichung.

$y = 7 - 3 x + 2 x^{2}$

Schritt 2

Da $x$ auf der rechten Seite der Gleichung ist, vertausche die Seiten, sodass es auf der linken Seite ist.

$7 - 3 x + 2 x^{2} = y$

Schritt 3

Subtrahiere $7$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- 3 x + 2 x^{2} = y - 7$

Schritt 4

Wende die quadratische Ergänzung an.

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Schritt 4.1

Stelle $- 3 x$ und $2 x^{2}$ um.

$2 x^{2} - 3 x = y - 7$

Schritt 4.2

Wende die Form $a x^{2} + b x + c$ an, um die Werte für $a$ , $b$ und $c$ zu ermitteln.

$a = 2$

$b = - 3$

$c = 0 = y - 7$

Schritt 4.3

Betrachte die Scheitelform einer Parabel.

$a {(x + d)}^{2} + e = y - 7$

Schritt 4.4

Ermittle den Wert von $d$ mithilfe der Formel $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Schritt 4.4.1

Setze die Werte von $a$ und $b$ in die Formel $d = \frac{b}{2 a}$ ein.

$d = \frac{- 3}{2 \cdot 2}$

Schritt 4.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.4.2.1

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$d = \frac{- 3}{4}$

Schritt 4.4.2.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$d = - \frac{3}{4}$

Schritt 4.5

Ermittle den Wert von $e$ mithilfe der Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Schritt 4.5.1

Setze die Werte von $c$ , $b$ , und $a$ in die Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ ein.

$e = 0 - \frac{{(- 3)}^{2}}{4 \cdot 2}$

Schritt 4.5.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.5.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.5.2.1.1

Potenziere $- 3$ mit $2$ .

$e = 0 - \frac{9}{4 \cdot 2}$

Schritt 4.5.2.1.2

Mutltipliziere $4$ mit $2$ .

$e = 0 - \frac{9}{8}$

Schritt 4.5.2.2

Subtrahiere $\frac{9}{8}$ von $0$ .

$e = - \frac{9}{8}$

Schritt 4.6

Setze die Werte von $a$ , $d$ und $e$ in die Scheitelform $2 {(x - \frac{3}{4})}^{2} - \frac{9}{8}$ ein.

$2 {(x - \frac{3}{4})}^{2} - \frac{9}{8} = y - 7$

Schritt 5

Bringe alle Terme, die nicht $x$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 5.1

Addiere $\frac{9}{8}$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$2 {(x - \frac{3}{4})}^{2} = y - 7 + \frac{9}{8}$

Schritt 5.2

Um $- 7$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{8}{8}$ .

$2 {(x - \frac{3}{4})}^{2} = y - 7 \cdot \frac{8}{8} + \frac{9}{8}$

Schritt 5.3

Kombiniere $- 7$ und $\frac{8}{8}$ .

$2 {(x - \frac{3}{4})}^{2} = y + \frac{- 7 \cdot 8}{8} + \frac{9}{8}$

Schritt 5.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$2 {(x - \frac{3}{4})}^{2} = y + \frac{- 7 \cdot 8 + 9}{8}$

Schritt 5.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.5.1

Mutltipliziere $- 7$ mit $8$ .

$2 {(x - \frac{3}{4})}^{2} = y + \frac{- 56 + 9}{8}$

Schritt 5.5.2

Addiere $- 56$ und $9$ .

$2 {(x - \frac{3}{4})}^{2} = y + \frac{- 47}{8}$

Schritt 5.6

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$2 {(x - \frac{3}{4})}^{2} = y - \frac{47}{8}$

Schritt 6

Teile jeden Ausdruck in $2 {(x - \frac{3}{4})}^{2} = y - \frac{47}{8}$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 6.1

Teile jeden Ausdruck in $2 {(x - \frac{3}{4})}^{2} = y - \frac{47}{8}$ durch $2$ .

$\frac{2 {(x - \frac{3}{4})}^{2}}{2} = \frac{y}{2} + \frac{- \frac{47}{8}}{2}$

Schritt 6.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 6.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 {(x - \frac{3}{4})}^{2}}{2} = \frac{y}{2} + \frac{- \frac{47}{8}}{2}$

Schritt 6.2.1.2

Dividiere ${(x - \frac{3}{4})}^{2}$ durch $1$ .

${(x - \frac{3}{4})}^{2} = \frac{y}{2} + \frac{- \frac{47}{8}}{2}$

Schritt 6.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.3.1.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

${(x - \frac{3}{4})}^{2} = \frac{y}{2} - \frac{47}{8} \cdot \frac{1}{2}$

Schritt 6.3.1.2

Multipliziere $- \frac{47}{8} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Schritt 6.3.1.2.1

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $\frac{47}{8}$ .

${(x - \frac{3}{4})}^{2} = \frac{y}{2} - \frac{47}{2 \cdot 8}$

Schritt 6.3.1.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $8$ .

${(x - \frac{3}{4})}^{2} = \frac{y}{2} - \frac{47}{16}$

Schritt 7

Faktorisiere.

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Schritt 7.1

Um $\frac{y}{2}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{8}{8}$ .

${(x - \frac{3}{4})}^{2} = \frac{y}{2} \cdot \frac{8}{8} - \frac{47}{16}$

Schritt 7.2

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $16$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 7.2.1

Mutltipliziere $\frac{y}{2}$ mit $\frac{8}{8}$ .

${(x - \frac{3}{4})}^{2} = \frac{y \cdot 8}{2 \cdot 8} - \frac{47}{16}$

Schritt 7.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $8$ .

${(x - \frac{3}{4})}^{2} = \frac{y \cdot 8}{16} - \frac{47}{16}$

Schritt 7.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

${(x - \frac{3}{4})}^{2} = \frac{y \cdot 8 - 47}{16}$

Schritt 7.4

Bringe $8$ auf die linke Seite von $y$ .

${(x - \frac{3}{4})}^{2} = \frac{8 y - 47}{16}$

Schritt 7.5

Stelle die Terme um.

${(x - \frac{3}{4})}^{2} = \frac{1}{16} (8 y - 47)$

Gib DEINE Aufgabe ein