Elementarmathematik Beispiele

$(1, 2)$ , $(2, 9)$

Schritt 1

Verwende die Formel für das Skalarprodukt, um den Winkel zwischen zwei Vektoren zu ermitteln.

$θ = \arccos (\frac{a⃗ \cdot b⃗}{| a⃗ | | b⃗ |})$

Schritt 2

Berechne das Skalarprodukt.

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Schritt 2.1

Das Skalarprodukt zweier Vektoren ist die Summe der Produkte ihrer Komponenten.

$a⃗ \cdot b⃗ = 1 \cdot 2 + 2 \cdot 9$

Schritt 2.2

Vereinfache.

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Schritt 2.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.2.1.1

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$a⃗ \cdot b⃗ = 2 + 2 \cdot 9$

Schritt 2.2.1.2

Mutltipliziere $2$ mit $9$ .

$a⃗ \cdot b⃗ = 2 + 18$

Schritt 2.2.2

Addiere $2$ und $18$ .

$a⃗ \cdot b⃗ = 20$

Schritt 3

Bestimme den Betrag von $a⃗$ .

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Schritt 3.1

Die Norm ist die Quadratwurzel aus der Summe der Quadrate aller Elemente im Vektor.

$| a⃗ | = \sqrt{1^{2} + 2^{2}}$

Schritt 3.2

Vereinfache.

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Schritt 3.2.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$| a⃗ | = \sqrt{1 + 2^{2}}$

Schritt 3.2.2

Potenziere $2$ mit $2$ .

$| a⃗ | = \sqrt{1 + 4}$

Schritt 3.2.3

Addiere $1$ und $4$ .

$| a⃗ | = \sqrt{5}$

Schritt 4

Bestimme den Betrag von $b⃗$ .

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Schritt 4.1

Die Norm ist die Quadratwurzel aus der Summe der Quadrate aller Elemente im Vektor.

$| b⃗ | = \sqrt{2^{2} + 9^{2}}$

Schritt 4.2

Vereinfache.

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Schritt 4.2.1

Potenziere $2$ mit $2$ .

$| b⃗ | = \sqrt{4 + 9^{2}}$

Schritt 4.2.2

Potenziere $9$ mit $2$ .

$| b⃗ | = \sqrt{4 + 81}$

Schritt 4.2.3

Addiere $4$ und $81$ .

$| b⃗ | = \sqrt{85}$

Schritt 5

Setze die Werte in die Formel ein.

$θ = \arccos (\frac{20}{\sqrt{5} \sqrt{85}})$

Schritt 6

Vereinfache.

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Schritt 6.1

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 6.1.1

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$θ = \arccos (\frac{20}{\sqrt{5 \cdot 85}})$

Schritt 6.1.2

Mutltipliziere $5$ mit $85$ .

$θ = \arccos (\frac{20}{\sqrt{425}})$

Schritt 6.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 6.2.1

Schreibe $425$ als $5^{2} \cdot 17$ um.

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Schritt 6.2.1.1

Faktorisiere $25$ aus $425$ heraus.

$θ = \arccos (\frac{20}{\sqrt{25 (17)}})$

Schritt 6.2.1.2

Schreibe $25$ als $5^{2}$ um.

$θ = \arccos (\frac{20}{\sqrt{5^{2} \cdot 17}})$

Schritt 6.2.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$θ = \arccos (\frac{20}{5 \sqrt{17}})$

Schritt 6.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $20$ und $5$ .

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Schritt 6.3.1

Faktorisiere $5$ aus $20$ heraus.

$θ = \arccos (\frac{5 \cdot 4}{5 \sqrt{17}})$

Schritt 6.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 6.3.2.1

Faktorisiere $5$ aus $5 \sqrt{17}$ heraus.

$θ = \arccos (\frac{5 \cdot 4}{5 (\sqrt{17})})$

Schritt 6.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$θ = \arccos (\frac{5 \cdot 4}{5 \sqrt{17}})$

Schritt 6.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$θ = \arccos (\frac{4}{\sqrt{17}})$

Schritt 6.4

Mutltipliziere $\frac{4}{\sqrt{17}}$ mit $\frac{\sqrt{17}}{\sqrt{17}}$ .

$θ = \arccos (\frac{4}{\sqrt{17}} \cdot \frac{\sqrt{17}}{\sqrt{17}})$

Schritt 6.5

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 6.5.1

Mutltipliziere $\frac{4}{\sqrt{17}}$ mit $\frac{\sqrt{17}}{\sqrt{17}}$ .

$θ = \arccos (\frac{4 \sqrt{17}}{\sqrt{17} \sqrt{17}})$

Schritt 6.5.2

Potenziere $\sqrt{17}$ mit $1$ .

$θ = \arccos (\frac{4 \sqrt{17}}{{\sqrt{17}}^{1} \sqrt{17}})$

Schritt 6.5.3

Potenziere $\sqrt{17}$ mit $1$ .

$θ = \arccos (\frac{4 \sqrt{17}}{{\sqrt{17}}^{1} {\sqrt{17}}^{1}})$

Schritt 6.5.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$θ = \arccos (\frac{4 \sqrt{17}}{{\sqrt{17}}^{1 + 1}})$

Schritt 6.5.5

Addiere $1$ und $1$ .

$θ = \arccos (\frac{4 \sqrt{17}}{{\sqrt{17}}^{2}})$

Schritt 6.5.6

Schreibe ${\sqrt{17}}^{2}$ als $17$ um.

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Schritt 6.5.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{17}$ als $17^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$θ = \arccos (\frac{4 \sqrt{17}}{{(17^{\frac{1}{2}})}^{2}})$

Schritt 6.5.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$θ = \arccos (\frac{4 \sqrt{17}}{17^{\frac{1}{2} \cdot 2}})$

Schritt 6.5.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$θ = \arccos (\frac{4 \sqrt{17}}{17^{\frac{2}{2}}})$

Schritt 6.5.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 6.5.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$θ = \arccos (\frac{4 \sqrt{17}}{17^{\frac{2}{2}}})$

Schritt 6.5.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$θ = \arccos (\frac{4 \sqrt{17}}{17^{1}})$

Schritt 6.5.6.5

Berechne den Exponenten.

$θ = \arccos (\frac{4 \sqrt{17}}{17})$

Schritt 6.6

Berechne $\arccos (\frac{4 \sqrt{17}}{17})$ .

$θ = 14.03624346$

Gib DEINE Aufgabe ein