Beispiele

$x - y = 4$ , $4 x - y = - 5$

Schritt 1

Um den Schnittpunkt der Geraden durch einen Punkt $(p, q, r)$ senkrecht zur Ebene $P_{1}$ $a x + b y + c z = d$ und Ebene $P_{2}$ $e x + f y + g z = h$ zu finden:

1. Finde die Normalvektoren von Ebene $P_{1}$ und Ebene $P_{2}$ , wobei die Normalvektoren $n_{1} = ⟨ a, b, c ⟩$ und $n_{2} = ⟨ e, f, g ⟩$ sind. Prüfe, ob das Skalarprodukt 0 ist.

2. Stelle einen Satz parametrischer Gleichungen auf, sodass $x = p + a t$ , $y = q + b t$ und $z = r + c t$ .

3. Setze diese Gleichungen in die Gleichung für die Ebene $P_{2}$ ein, sodass $e (p + a t) + f (q + b t) + g (r + c t) = h$ und löse nach $t$ auf.

4. Löse die parametrischen Gleichungen $x = p + a t$ , $y = q + b t$ und $z = r + c t$ unter Verwendung des Wertes von $t$ nach $t$ auf, um den Schnittpunkt $(x, y, z)$ zu finden.

Schritt 2

Ermittle die Normalenvektoren für jede Ebene und stelle fest, ob sie senkrecht zueinander sind durch Berechnung des Skalarprodukts.

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Schritt 2.1

$P_{1}$ ist $x - y = 4$ . Finde den Normalvektor $n_{1} = ⟨ a, b, c ⟩$ der Ebenengleichung der Form $a x + b y + c z = d$ .

$n_{1} = ⟨ 1, - 1, 0 ⟩$

Schritt 2.2

$P_{2}$ ist $4 x - y = - 5$ . Finde den Normalvektor $n_{2} = ⟨ e, f, g ⟩$ der Ebenengleichung der Form $e x + f y + g z = h$ .

$n_{2} = ⟨ 4, - 1, 0 ⟩$

Schritt 2.3

Berechne das Skalarprodukt von $n_{1}$ und $n_{2}$ , durch Summieren der Produkte der entsprechenden $x$ , $y$ und $z$ Werte in den Normalvektoren.

$1 \cdot 4 - 1 \cdot - 1 + 0 \cdot 0$

Schritt 2.4

Vereinfache das Skalarprodukt.

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Schritt 2.4.1

Entferne die Klammern.

$1 \cdot 4 - 1 \cdot - 1 + 0 \cdot 0$

Schritt 2.4.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.4.2.1

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$4 - 1 \cdot - 1 + 0 \cdot 0$

Schritt 2.4.2.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$4 + 1 + 0 \cdot 0$

Schritt 2.4.2.3

Mutltipliziere $0$ mit $0$ .

$4 + 1 + 0$

Schritt 2.4.3

Vereinfache durch Addieren von Zahlen.

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Schritt 2.4.3.1

Addiere $4$ und $1$ .

$5 + 0$

Schritt 2.4.3.2

Addiere $5$ und $0$ .

$5$

Schritt 3

Als Nächstes erzeuge einen Satz parametrischer Gleichungen $x = p + a t$ , $y = q + b t$ und $z = r + c t$ unter Verwendung des Ursprungs $(0, 0, 0)$ für den Punkt $(p, q, r)$ und der Werte des Normalenvektors $5$ für die Werte von $a$ , $b$ und $c$ . Dieser Satz Parameterdarstellungen stellt die Gerade durch den Ursprung dar, die senkrecht auf $P_{1}$ $x - y = 4$ steht.

$x = 0 + 1 \cdot t$

$y = 0 + - 1 \cdot t$

$z = 0 + 0 \cdot t$

Schritt 4

Setze den Ausdruck für $x$ , $y$ und $z$ in die Gleichung für $P_{2}$ , $4 x - y = - 5$ , ein.

$4 (0 + 1 \cdot t) - (0 - 1 \cdot t) = - 5$

Schritt 5

Löse die Gleichung nach $t$ auf.

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Schritt 5.1

Vereinfache $4 (0 + 1 \cdot t) - (0 - 1 \cdot t)$ .

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Schritt 5.1.1

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $4 (0 + 1 \cdot t) - (0 - 1 \cdot t)$ .

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Schritt 5.1.1.1

Addiere $0$ und $1 \cdot t$ .

$4 (1 \cdot t) - (0 - 1 \cdot t) = - 5$

Schritt 5.1.1.2

Subtrahiere $1 \cdot t$ von $0$ .

$4 (1 \cdot t) - (- 1 \cdot t) = - 5$

Schritt 5.1.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.1.2.1

Mutltipliziere $t$ mit $1$ .

$4 t - (- 1 \cdot t) = - 5$

Schritt 5.1.2.2

Schreibe $- 1 t$ als $- t$ um.

$4 t - - t = - 5$

Schritt 5.1.2.3

Multipliziere $- - t$ .

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Schritt 5.1.2.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$4 t + 1 t = - 5$

Schritt 5.1.2.3.2

Mutltipliziere $t$ mit $1$ .

$4 t + t = - 5$

Schritt 5.1.3

Addiere $4 t$ und $t$ .

$5 t = - 5$

Schritt 5.2

Teile jeden Ausdruck in $5 t = - 5$ durch $5$ und vereinfache.

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Schritt 5.2.1

Teile jeden Ausdruck in $5 t = - 5$ durch $5$ .

$\frac{5 t}{5} = \frac{- 5}{5}$

Schritt 5.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

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Schritt 5.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{5 t}{5} = \frac{- 5}{5}$

Schritt 5.2.2.1.2

Dividiere $t$ durch $1$ .

$t = \frac{- 5}{5}$

Schritt 5.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.2.3.1

Dividiere $- 5$ durch $5$ .

$t = - 1$

Schritt 6

Löse die parametrischen Gleichungen nach $x$ , $y$ und $z$ auf durch Verwendung des Wertes von $t$ .

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Schritt 6.1

Löse die Gleichung nach $x$ auf.

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Schritt 6.1.1

Entferne die Klammern.

$x = 0 + 1 \cdot (- 1)$

Schritt 6.1.2

Vereinfache $0 + 1 \cdot (- 1)$ .

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Schritt 6.1.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$x = 0 - 1$

Schritt 6.1.2.2

Subtrahiere $1$ von $0$ .

$x = - 1$

Schritt 6.2

Löse die Gleichung nach $y$ auf.

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Schritt 6.2.1

Entferne die Klammern.

$y = 0 - 1 \cdot - 1$

Schritt 6.2.2

Vereinfache $0 - 1 \cdot - 1$ .

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Schritt 6.2.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$y = 0 + 1$

Schritt 6.2.2.2

Addiere $0$ und $1$ .

$y = 1$

Schritt 6.3

Löse die Gleichung nach $z$ auf.

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Schritt 6.3.1

Entferne die Klammern.

$z = 0 + 0 \cdot (- 1)$

Schritt 6.3.2

Vereinfache $0 + 0 \cdot (- 1)$ .

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Schritt 6.3.2.1

Mutltipliziere $0$ mit $- 1$ .

$z = 0 + 0$

Schritt 6.3.2.2

Addiere $0$ und $0$ .

$z = 0$

Schritt 6.4

Die gelösten parametrischen Gleichungen für $x$ , $y$ und $z$ .

$x = - 1$

$y = 1$

$z = 0$

$x = - 1$

$y = 1$

$z = 0$

Schritt 7

Die für $x$ , $y$ und $z$ berechneten Wertte anwenden, der Schnittpunkt ist $(- 1, 1, 0)$ .

$(- 1, 1, 0)$

Gib DEINE Aufgabe ein