Beispiele

Die Ellipse ermitteln: Mittelpunkt (1,2), Brennpunkt (4,2), Scheitelpunkt (5,2)
, ,
Schritt 1
Es gibt zwei allgemeine Gleichungen für eine Ellipse.
Horizontale Ellipsengleichung
Vertikale Ellipsengleichung
Schritt 2
ist der Abstand zwischen dem Scheitelpunkt und dem Mittelpunkt .
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Schritt 2.1
Wende die Abstandsformel an, um den Abstand zwischen den zwei Punkten zu bestimmen.
Schritt 2.2
Setze die tatsächlichen Werte der Punkte in die Abstandsformel ein.
Schritt 2.3
Vereinfache.
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Schritt 2.3.1
Subtrahiere von .
Schritt 2.3.2
Potenziere mit .
Schritt 2.3.3
Subtrahiere von .
Schritt 2.3.4
zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt .
Schritt 2.3.5
Addiere und .
Schritt 2.3.6
Schreibe als um.
Schritt 2.3.7
Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.
Schritt 3
ist der Abstand zwischen dem Brennpunkt und dem Mittelpunkt .
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Schritt 3.1
Wende die Abstandsformel an, um den Abstand zwischen den zwei Punkten zu bestimmen.
Schritt 3.2
Setze die tatsächlichen Werte der Punkte in die Abstandsformel ein.
Schritt 3.3
Vereinfache.
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Schritt 3.3.1
Subtrahiere von .
Schritt 3.3.2
Potenziere mit .
Schritt 3.3.3
Subtrahiere von .
Schritt 3.3.4
zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt .
Schritt 3.3.5
Addiere und .
Schritt 3.3.6
Schreibe als um.
Schritt 3.3.7
Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.
Schritt 4
Wir benutzen die Gleichung . Setze für und für ein.
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Schritt 4.1
Schreibe die Gleichung als um.
Schritt 4.2
Potenziere mit .
Schritt 4.3
Potenziere mit .
Schritt 4.4
Bringe alle Terme, die nicht enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.
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Schritt 4.4.1
Subtrahiere von beiden Seiten der Gleichung.
Schritt 4.4.2
Subtrahiere von .
Schritt 4.5
Teile jeden Ausdruck in durch und vereinfache.
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Schritt 4.5.1
Teile jeden Ausdruck in durch .
Schritt 4.5.2
Vereinfache die linke Seite.
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Schritt 4.5.2.1
Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.
Schritt 4.5.2.2
Dividiere durch .
Schritt 4.5.3
Vereinfache die rechte Seite.
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Schritt 4.5.3.1
Dividiere durch .
Schritt 4.6
Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.
Schritt 4.7
Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.
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Schritt 4.7.1
Verwende zunächst den positiven Wert des , um die erste Lösung zu finden.
Schritt 4.7.2
Als Nächstes verwende den negativen Wert von , um die zweite Lösung zu finden.
Schritt 4.7.3
Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.
Schritt 5
ist ein Abstand, d. h., es sollte eine positive Zahl sein.
Schritt 6
Die Steigung der Geraden zwischen dem Brennpunkt und dem Mittelpunkt bestimmt, ob die Ellipse vertikal oder horizontal ist. Wenn die Steigung gleich ist, ist der Graph horizontal. Ist die Steigung nicht definiert, ist der Graph vertikal.
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Schritt 6.1
Die Steigung ist gleich der Änderung von dividiert durch die Änderung von .
Schritt 6.2
Die Änderung von ist gleich der Differenz zwischen den x-Koordinaten und die Änderung von ist gleich der Differenz zwischen den y-Koordinaten.
Schritt 6.3
Setze die Werte von und in die Gleichung ein, um die Steigung zu ermitteln.
Schritt 6.4
Vereinfache.
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Schritt 6.4.1
Vereinfache den Zähler.
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Schritt 6.4.1.1
Mutltipliziere mit .
Schritt 6.4.1.2
Subtrahiere von .
Schritt 6.4.2
Vereinfache den Nenner.
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Schritt 6.4.2.1
Mutltipliziere mit .
Schritt 6.4.2.2
Subtrahiere von .
Schritt 6.4.3
Dividiere durch .
Schritt 6.5
Die allgemeine Gleichung für eine horizontale Ellipse ist .
Schritt 7
Setze die Werte , , und in ein, um die Ellipsengleichung zu erhalten.
Schritt 8
Vereinfache, um die endgültige Gleichung der Ellipse zu bestimmen.
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Schritt 8.1
Mutltipliziere mit .
Schritt 8.2
Potenziere mit .
Schritt 8.3
Mutltipliziere mit .
Schritt 8.4
Schreibe als um.
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Schritt 8.4.1
Benutze , um als neu zu schreiben.
Schritt 8.4.2
Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, .
Schritt 8.4.3
Kombiniere und .
Schritt 8.4.4
Kürze den gemeinsamen Faktor von .
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Schritt 8.4.4.1
Kürze den gemeinsamen Faktor.
Schritt 8.4.4.2
Forme den Ausdruck um.
Schritt 8.4.5
Berechne den Exponenten.
Schritt 9
Gib DEINE Aufgabe ein
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