Finite Mathematik Beispiele

$x > 0$ , $n = 3$ , $p = 0.9$

Schritt 1

Subtrahiere $0.9$ von $1$ .

$0.1$

Schritt 2

Wenn der Wert der Anzahl der Erfolge $x$ als ein Intervall gegeben ist, dann ist die Wahrscheinlichkeit von $x$ die Summe der Wahrscheinlichkeiten aller möglichen $x$ -Werte zwischen $0$ und $n$ . In diesem Fall $p (x > 0) = P (x = 1) + P (x = 2) + P (x = 3)$ .

$p (x > 0) = P (x = 1) + P (x = 2) + P (x = 3)$

Schritt 3

Ermittle die Wahrscheinlichkeit von $P (1)$ .

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Schritt 3.1

Wende die Formel für die Wahrscheinlichkeit einer Binomialverteilung an, um die Aufgabe zu lösen.

$p (x) = {}_{3}C_{1} \cdot p^{x} \cdot q^{n - x}$

Schritt 3.2

Ermittele den Wert von ${}_{3}C_{1}$ .

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Schritt 3.2.1

Berechne die Anzahl der möglichen ungeordneten Kombinationen für den Fall, dass $r$ Elemente von $n$ vorhandenen Elementen ausgewählt werden.

${}_{3}C_{1} = {}_{n}C_{r} = \frac{n!}{(r)! (n - r)!}$

Schritt 3.2.2

Setze die bekannten Werte ein.

$\frac{(3)!}{(1)! (3 - 1)!}$

Schritt 3.2.3

Vereinfache.

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Schritt 3.2.3.1

Subtrahiere $1$ von $3$ .

$\frac{(3)!}{(1)! (2)!}$

Schritt 3.2.3.2

Schreibe $(3)!$ als $3 \cdot 2!$ um.

$\frac{3 \cdot 2!}{(1)! (2)!}$

Schritt 3.2.3.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2!$ .

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Schritt 3.2.3.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 \cdot 2!}{(1)! (2)!}$

Schritt 3.2.3.3.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{3}{(1)!}$

Schritt 3.2.3.4

Multipliziere $(1)!$ nach $1$ aus.

$\frac{3}{1}$

Schritt 3.2.3.5

Dividiere $3$ durch $1$ .

$3$

Schritt 3.3

Setze die bekannten Werte in die Gleichung ein.

$3 \cdot (0.9) \cdot {(1 - 0.9)}^{3 - 1}$

Schritt 3.4

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 3.4.1

Berechne den Exponenten.

$3 \cdot 0.9 \cdot {(1 - 0.9)}^{3 - 1}$

Schritt 3.4.2

Mutltipliziere $3$ mit $0.9$ .

$2.7 \cdot {(1 - 0.9)}^{3 - 1}$

Schritt 3.4.3

Subtrahiere $0.9$ von $1$ .

$2.7 \cdot {0.1}^{3 - 1}$

Schritt 3.4.4

Subtrahiere $1$ von $3$ .

$2.7 \cdot {0.1}^{2}$

Schritt 3.4.5

Potenziere $0.1$ mit $2$ .

$2.7 \cdot 0.01$

Schritt 3.4.6

Mutltipliziere $2.7$ mit $0.01$ .

$0.027$

Schritt 4

Ermittle die Wahrscheinlichkeit von $P (2)$ .

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Schritt 4.1

Wende die Formel für die Wahrscheinlichkeit einer Binomialverteilung an, um die Aufgabe zu lösen.

$p (x) = {}_{3}C_{2} \cdot p^{x} \cdot q^{n - x}$

Schritt 4.2

Ermittele den Wert von ${}_{3}C_{2}$ .

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Schritt 4.2.1

Berechne die Anzahl der möglichen ungeordneten Kombinationen für den Fall, dass $r$ Elemente von $n$ vorhandenen Elementen ausgewählt werden.

${}_{3}C_{2} = {}_{n}C_{r} = \frac{n!}{(r)! (n - r)!}$

Schritt 4.2.2

Setze die bekannten Werte ein.

$\frac{(3)!}{(2)! (3 - 2)!}$

Schritt 4.2.3

Vereinfache.

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Schritt 4.2.3.1

Subtrahiere $2$ von $3$ .

$\frac{(3)!}{(2)! (1)!}$

Schritt 4.2.3.2

Schreibe $(3)!$ als $3 \cdot 2!$ um.

$\frac{3 \cdot 2!}{(2)! (1)!}$

Schritt 4.2.3.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2!$ .

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Schritt 4.2.3.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 \cdot 2!}{(2)! (1)!}$

Schritt 4.2.3.3.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{3}{(1)!}$

Schritt 4.2.3.4

Multipliziere $(1)!$ nach $1$ aus.

$\frac{3}{1}$

Schritt 4.2.3.5

Dividiere $3$ durch $1$ .

$3$

Schritt 4.3

Setze die bekannten Werte in die Gleichung ein.

$3 \cdot {(0.9)}^{2} \cdot {(1 - 0.9)}^{3 - 2}$

Schritt 4.4

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 4.4.1

Potenziere $0.9$ mit $2$ .

$3 \cdot 0.81 \cdot {(1 - 0.9)}^{3 - 2}$

Schritt 4.4.2

Mutltipliziere $3$ mit $0.81$ .

$2.43 \cdot {(1 - 0.9)}^{3 - 2}$

Schritt 4.4.3

Subtrahiere $0.9$ von $1$ .

$2.43 \cdot {0.1}^{3 - 2}$

Schritt 4.4.4

Subtrahiere $2$ von $3$ .

$2.43 \cdot {0.1}^{1}$

Schritt 4.4.5

Berechne den Exponenten.

$2.43 \cdot 0.1$

Schritt 4.4.6

Mutltipliziere $2.43$ mit $0.1$ .

$0.243$

Schritt 5

Ermittle die Wahrscheinlichkeit von $P (3)$ .

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Schritt 5.1

Wende die Formel für die Wahrscheinlichkeit einer Binomialverteilung an, um die Aufgabe zu lösen.

$p (x) = {}_{3}C_{3} \cdot p^{x} \cdot q^{n - x}$

Schritt 5.2

Ermittele den Wert von ${}_{3}C_{3}$ .

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Schritt 5.2.1

Berechne die Anzahl der möglichen ungeordneten Kombinationen für den Fall, dass $r$ Elemente von $n$ vorhandenen Elementen ausgewählt werden.

${}_{3}C_{3} = {}_{n}C_{r} = \frac{n!}{(r)! (n - r)!}$

Schritt 5.2.2

Setze die bekannten Werte ein.

$\frac{(3)!}{(3)! (3 - 3)!}$

Schritt 5.2.3

Vereinfache.

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Schritt 5.2.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $(3)!$ .

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Schritt 5.2.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{(3)!}{(3)! (3 - 3)!}$

Schritt 5.2.3.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{(3 - 3)!}$

Schritt 5.2.3.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 5.2.3.2.1

Subtrahiere $3$ von $3$ .

$\frac{1}{(0)!}$

Schritt 5.2.3.2.2

Multipliziere $(0)!$ nach $1$ aus.

$\frac{1}{1}$

Schritt 5.2.3.3

Dividiere $1$ durch $1$ .

$1$

Schritt 5.3

Setze die bekannten Werte in die Gleichung ein.

$1 \cdot {(0.9)}^{3} \cdot {(1 - 0.9)}^{3 - 3}$

Schritt 5.4

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 5.4.1

Mutltipliziere ${(0.9)}^{3}$ mit $1$ .

${(0.9)}^{3} \cdot {(1 - 0.9)}^{3 - 3}$

Schritt 5.4.2

Potenziere $0.9$ mit $3$ .

$0.729 \cdot {(1 - 0.9)}^{3 - 3}$

Schritt 5.4.3

Subtrahiere $0.9$ von $1$ .

$0.729 \cdot {0.1}^{3 - 3}$

Schritt 5.4.4

Subtrahiere $3$ von $3$ .

$0.729 \cdot {0.1}^{0}$

Schritt 5.4.5

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$0.729 \cdot 1$

Schritt 5.4.6

Mutltipliziere $0.729$ mit $1$ .

$0.729$

Schritt 6

Die Wahrscheinlichkeit $P (x > 0)$ ist die Summe aller Wahrscheinlichkeiten aller möglichen $x$ -Werte zwischen $0$ und $n$ . $P (x > 0) = P (x = 1) + P (x = 2) + P (x = 3) = 0.027 + 0.243 + 0.729 = 0.999$ .

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Schritt 6.1

Addiere $0.027$ und $0.243$ .

$p (x > 0) = 0.27 + 0.729$

Schritt 6.2

Addiere $0.27$ und $0.729$ .

$p (x > 0) = 0.999$

Gib DEINE Aufgabe ein