Finite Mathematik Beispiele Gleichungen und Ungleichungen

Lösen mithilfe quadratischer Ergänzung

$x^{2} + 12 x + 32 = 0$

Schritt 1

Subtrahiere $32$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} + 12 x = - 32$

Schritt 2

Um auf der linken Seite ein Quadrat-Trinom zu bilden, ermittele einen Wert der gleich dem Quadrat der Hälfte von $b$ ist.

${(\frac{b}{2})}^{2} = {(6)}^{2}$

Schritt 3

Addiere den Ausdruck zu jeder Seite der Gleichung.

$x^{2} + 12 x + {(6)}^{2} = - 32 + {(6)}^{2}$

Schritt 4

Vereinfache die Gleichung.

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Schritt 4.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.1.1

Potenziere $6$ mit $2$ .

$x^{2} + 12 x + 36 = - 32 + {(6)}^{2}$

Schritt 4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.2.1

Vereinfache $- 32 + {(6)}^{2}$ .

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Schritt 4.2.1.1

Potenziere $6$ mit $2$ .

$x^{2} + 12 x + 36 = - 32 + 36$

Schritt 4.2.1.2

Addiere $- 32$ und $36$ .

$x^{2} + 12 x + 36 = 4$

Schritt 5

Faktorisiere das perfekte Trinom-Quadrat zu ${(x + 6)}^{2}$ .

${(x + 6)}^{2} = 4$

Schritt 6

Löse die Gleichung nach $x$ auf.

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Schritt 6.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x + 6 = \pm \sqrt{4}$

Schritt 6.2

Vereinfache $\pm \sqrt{4}$ .

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Schritt 6.2.1

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$x + 6 = \pm \sqrt{2^{2}}$

Schritt 6.2.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$x + 6 = \pm 2$

Schritt 6.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 6.3.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x + 6 = 2$

Schritt 6.3.2

Bringe alle Terme, die nicht $x$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 6.3.2.1

Subtrahiere $6$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = 2 - 6$

Schritt 6.3.2.2

Subtrahiere $6$ von $2$ .

$x = - 4$

Schritt 6.3.3

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x + 6 = - 2$

Schritt 6.3.4

Bringe alle Terme, die nicht $x$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 6.3.4.1

Subtrahiere $6$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 2 - 6$

Schritt 6.3.4.2

Subtrahiere $6$ von $- 2$ .

$x = - 8$

Schritt 6.3.5

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = - 4, - 8$

Gib DEINE Aufgabe ein