Beispiele

$B = [\begin{array}{c} 9 & 8 & 7 \\ 3 & 4 & 5 \\ 2 & 1 & 0 \end{array}]$

Schritt 1

Stelle die Formel auf, um die charakteristische Gleichung $p (λ)$ zu ermitteln.

$p (λ) = Determinante (A - λ I_{3})$

Schritt 2

Die Identitätsmatrix oder Einheitsmatrix der Größe $3$ ist die $3 \times 3$ Quadratmatrix mit Einsen auf der Hauptdiagonalen und Nullen überall anders.

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}]$

Schritt 3

Setze die bekannten Werte in $p (λ) = Determinante (A - λ I_{3})$ ein.

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Schritt 3.1

Ersetze $A$ durch $[\begin{array}{c} 9 & 8 & 7 \\ 3 & 4 & 5 \\ 2 & 1 & 0 \end{array}]$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 9 & 8 & 7 \\ 3 & 4 & 5 \\ 2 & 1 & 0 \end{array}] - λ I_{3})$

Schritt 3.2

Ersetze $I_{3}$ durch $[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}]$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 9 & 8 & 7 \\ 3 & 4 & 5 \\ 2 & 1 & 0 \end{array}] - λ [\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}])$

Schritt 4

Vereinfache.

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Schritt 4.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.1.1

Multipliziere $- λ$ mit jedem Element der Matrix.

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 9 & 8 & 7 \\ 3 & 4 & 5 \\ 2 & 1 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 4.1.2

Vereinfache jedes Element der Matrix.

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Schritt 4.1.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 9 & 8 & 7 \\ 3 & 4 & 5 \\ 2 & 1 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 4.1.2.2

Multipliziere $- λ \cdot 0$ .

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Schritt 4.1.2.2.1

Mutltipliziere $0$ mit $- 1$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 9 & 8 & 7 \\ 3 & 4 & 5 \\ 2 & 1 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 4.1.2.2.2

Mutltipliziere $0$ mit $λ$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 9 & 8 & 7 \\ 3 & 4 & 5 \\ 2 & 1 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 4.1.2.3

Multipliziere $- λ \cdot 0$ .

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Schritt 4.1.2.3.1

Mutltipliziere $0$ mit $- 1$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 9 & 8 & 7 \\ 3 & 4 & 5 \\ 2 & 1 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 4.1.2.3.2

Mutltipliziere $0$ mit $λ$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 9 & 8 & 7 \\ 3 & 4 & 5 \\ 2 & 1 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 4.1.2.4

Multipliziere $- λ \cdot 0$ .

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Schritt 4.1.2.4.1

Mutltipliziere $0$ mit $- 1$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 9 & 8 & 7 \\ 3 & 4 & 5 \\ 2 & 1 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 4.1.2.4.2

Mutltipliziere $0$ mit $λ$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 9 & 8 & 7 \\ 3 & 4 & 5 \\ 2 & 1 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 4.1.2.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 9 & 8 & 7 \\ 3 & 4 & 5 \\ 2 & 1 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 4.1.2.6

Multipliziere $- λ \cdot 0$ .

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Schritt 4.1.2.6.1

Mutltipliziere $0$ mit $- 1$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 9 & 8 & 7 \\ 3 & 4 & 5 \\ 2 & 1 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 4.1.2.6.2

Mutltipliziere $0$ mit $λ$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 9 & 8 & 7 \\ 3 & 4 & 5 \\ 2 & 1 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 4.1.2.7

Multipliziere $- λ \cdot 0$ .

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Schritt 4.1.2.7.1

Mutltipliziere $0$ mit $- 1$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 9 & 8 & 7 \\ 3 & 4 & 5 \\ 2 & 1 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 4.1.2.7.2

Mutltipliziere $0$ mit $λ$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 9 & 8 & 7 \\ 3 & 4 & 5 \\ 2 & 1 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 4.1.2.8

Multipliziere $- λ \cdot 0$ .

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Schritt 4.1.2.8.1

Mutltipliziere $0$ mit $- 1$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 9 & 8 & 7 \\ 3 & 4 & 5 \\ 2 & 1 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 λ & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 4.1.2.8.2

Mutltipliziere $0$ mit $λ$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 9 & 8 & 7 \\ 3 & 4 & 5 \\ 2 & 1 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 4.1.2.9

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 9 & 8 & 7 \\ 3 & 4 & 5 \\ 2 & 1 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & - λ \end{array}])$

Schritt 4.2

Addiere die entsprechenden Elemente.

$p (λ) = Determinante [\begin{array}{c} 9 - λ & 8 + 0 & 7 + 0 \\ 3 + 0 & 4 - λ & 5 + 0 \\ 2 + 0 & 1 + 0 & 0 - λ \end{array}]$

Schritt 4.3

Vereinfache jedes Element.

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Schritt 4.3.1

Addiere $8$ und $0$ .

$p (λ) = Determinante [\begin{array}{c} 9 - λ & 8 & 7 + 0 \\ 3 + 0 & 4 - λ & 5 + 0 \\ 2 + 0 & 1 + 0 & 0 - λ \end{array}]$

Schritt 4.3.2

Addiere $7$ und $0$ .

$p (λ) = Determinante [\begin{array}{c} 9 - λ & 8 & 7 \\ 3 + 0 & 4 - λ & 5 + 0 \\ 2 + 0 & 1 + 0 & 0 - λ \end{array}]$

Schritt 4.3.3

Addiere $3$ und $0$ .

$p (λ) = Determinante [\begin{array}{c} 9 - λ & 8 & 7 \\ 3 & 4 - λ & 5 + 0 \\ 2 + 0 & 1 + 0 & 0 - λ \end{array}]$

Schritt 4.3.4

Addiere $5$ und $0$ .

$p (λ) = Determinante [\begin{array}{c} 9 - λ & 8 & 7 \\ 3 & 4 - λ & 5 \\ 2 + 0 & 1 + 0 & 0 - λ \end{array}]$

Schritt 4.3.5

Addiere $2$ und $0$ .

$p (λ) = Determinante [\begin{array}{c} 9 - λ & 8 & 7 \\ 3 & 4 - λ & 5 \\ 2 & 1 + 0 & 0 - λ \end{array}]$

Schritt 4.3.6

Addiere $1$ und $0$ .

$p (λ) = Determinante [\begin{array}{c} 9 - λ & 8 & 7 \\ 3 & 4 - λ & 5 \\ 2 & 1 & 0 - λ \end{array}]$

Schritt 4.3.7

Subtrahiere $λ$ von $0$ .

$p (λ) = Determinante [\begin{array}{c} 9 - λ & 8 & 7 \\ 3 & 4 - λ & 5 \\ 2 & 1 & - λ \end{array}]$

Schritt 5

Bestimme die Determinante.

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Schritt 5.1

Wähle die Zeile oder Spalte mit den meisten $0$ Elementen. Wenn keine $0$ Elemente vorhanden sind, wähle irgendeine Zeile oder Spalte. Multipliziere jedes Element in Spalte $1$ mit seinem Kofaktor und füge hinzu.

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Schritt 5.1.1

Betrachte das entsprechende Vorzeichendiagramm.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Schritt 5.1.2

Der Kofaktor ist die Unterdeterminante mit verändertem Vorzeichen, wenn die Indexe einer $-$ -Position im Vorzeichendiagramm entsprechen.

Schritt 5.1.3

Die Unterdeterminante für $a_{11}$ ist die Determinante, wenn Zeile $1$ und Spalte $1$ eliminiert werden.

$| \begin{array}{c} 4 - λ & 5 \\ 1 & - λ \end{array} |$

Schritt 5.1.4

Multipliziere Element $a_{11}$ mit seinen Kofaktoren.

$(9 - λ) | \begin{array}{c} 4 - λ & 5 \\ 1 & - λ \end{array} |$

Schritt 5.1.5

Die Unterdeterminante für $a_{12}$ ist die Determinante, wenn Zeile $1$ und Spalte $2$ eliminiert werden.

$| \begin{array}{c} 3 & 5 \\ 2 & - λ \end{array} |$

Schritt 5.1.6

Multipliziere Element $a_{12}$ mit seinen Kofaktoren.

$- 8 | \begin{array}{c} 3 & 5 \\ 2 & - λ \end{array} |$

Schritt 5.1.7

Die Unterdeterminante für $a_{13}$ ist die Determinante, wenn Zeile $1$ und Spalte $3$ eliminiert werden.

$| \begin{array}{c} 3 & 4 - λ \\ 2 & 1 \end{array} |$

Schritt 5.1.8

Multipliziere Element $a_{13}$ mit seinen Kofaktoren.

$7 | \begin{array}{c} 3 & 4 - λ \\ 2 & 1 \end{array} |$

Schritt 5.1.9

Addiere die beiden Ausdrücke.

$p (λ) = (9 - λ) | \begin{array}{c} 4 - λ & 5 \\ 1 & - λ \end{array} | - 8 | \begin{array}{c} 3 & 5 \\ 2 & - λ \end{array} | + 7 | \begin{array}{c} 3 & 4 - λ \\ 2 & 1 \end{array} |$

Schritt 5.2

Berechne $| \begin{array}{c} 4 - λ & 5 \\ 1 & - λ \end{array} |$ .

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Schritt 5.2.1

Die Determinante einer $2 \times 2$ -Matrix kann mithilfe der Formel $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ bestimmt werden.

$p (λ) = (9 - λ) ((4 - λ) (- λ) - 1 \cdot 5) - 8 | \begin{array}{c} 3 & 5 \\ 2 & - λ \end{array} | + 7 | \begin{array}{c} 3 & 4 - λ \\ 2 & 1 \end{array} |$

Schritt 5.2.2

Vereinfache die Determinante.

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Schritt 5.2.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.2.2.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$p (λ) = (9 - λ) (4 (- λ) - λ (- λ) - 1 \cdot 5) - 8 | \begin{array}{c} 3 & 5 \\ 2 & - λ \end{array} | + 7 | \begin{array}{c} 3 & 4 - λ \\ 2 & 1 \end{array} |$

Schritt 5.2.2.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$p (λ) = (9 - λ) (- 4 λ - λ (- λ) - 1 \cdot 5) - 8 | \begin{array}{c} 3 & 5 \\ 2 & - λ \end{array} | + 7 | \begin{array}{c} 3 & 4 - λ \\ 2 & 1 \end{array} |$

Schritt 5.2.2.1.3

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$p (λ) = (9 - λ) (- 4 λ - 1 \cdot - 1 λ \cdot λ - 1 \cdot 5) - 8 | \begin{array}{c} 3 & 5 \\ 2 & - λ \end{array} | + 7 | \begin{array}{c} 3 & 4 - λ \\ 2 & 1 \end{array} |$

Schritt 5.2.2.1.4

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.2.2.1.4.1

Multipliziere $λ$ mit $λ$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 5.2.2.1.4.1.1

Bewege $λ$ .

$p (λ) = (9 - λ) (- 4 λ - 1 \cdot - 1 (λ \cdot λ) - 1 \cdot 5) - 8 | \begin{array}{c} 3 & 5 \\ 2 & - λ \end{array} | + 7 | \begin{array}{c} 3 & 4 - λ \\ 2 & 1 \end{array} |$

Schritt 5.2.2.1.4.1.2

Mutltipliziere $λ$ mit $λ$ .

$p (λ) = (9 - λ) (- 4 λ - 1 \cdot - 1 λ^{2} - 1 \cdot 5) - 8 | \begin{array}{c} 3 & 5 \\ 2 & - λ \end{array} | + 7 | \begin{array}{c} 3 & 4 - λ \\ 2 & 1 \end{array} |$

Schritt 5.2.2.1.4.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$p (λ) = (9 - λ) (- 4 λ + 1 λ^{2} - 1 \cdot 5) - 8 | \begin{array}{c} 3 & 5 \\ 2 & - λ \end{array} | + 7 | \begin{array}{c} 3 & 4 - λ \\ 2 & 1 \end{array} |$

Schritt 5.2.2.1.4.3

Mutltipliziere $λ^{2}$ mit $1$ .

$p (λ) = (9 - λ) (- 4 λ + λ^{2} - 1 \cdot 5) - 8 | \begin{array}{c} 3 & 5 \\ 2 & - λ \end{array} | + 7 | \begin{array}{c} 3 & 4 - λ \\ 2 & 1 \end{array} |$

Schritt 5.2.2.1.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $5$ .

$p (λ) = (9 - λ) (- 4 λ + λ^{2} - 5) - 8 | \begin{array}{c} 3 & 5 \\ 2 & - λ \end{array} | + 7 | \begin{array}{c} 3 & 4 - λ \\ 2 & 1 \end{array} |$

Schritt 5.2.2.2

Stelle $- 4 λ$ und $λ^{2}$ um.

$p (λ) = (9 - λ) (λ^{2} - 4 λ - 5) - 8 | \begin{array}{c} 3 & 5 \\ 2 & - λ \end{array} | + 7 | \begin{array}{c} 3 & 4 - λ \\ 2 & 1 \end{array} |$

Schritt 5.3

Berechne $| \begin{array}{c} 3 & 5 \\ 2 & - λ \end{array} |$ .

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Schritt 5.3.1

Die Determinante einer $2 \times 2$ -Matrix kann mithilfe der Formel $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ bestimmt werden.

$p (λ) = (9 - λ) (λ^{2} - 4 λ - 5) - 8 (3 (- λ) - 2 \cdot 5) + 7 | \begin{array}{c} 3 & 4 - λ \\ 2 & 1 \end{array} |$

Schritt 5.3.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.3.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$p (λ) = (9 - λ) (λ^{2} - 4 λ - 5) - 8 (- 3 λ - 2 \cdot 5) + 7 | \begin{array}{c} 3 & 4 - λ \\ 2 & 1 \end{array} |$

Schritt 5.3.2.2

Mutltipliziere $- 2$ mit $5$ .

$p (λ) = (9 - λ) (λ^{2} - 4 λ - 5) - 8 (- 3 λ - 10) + 7 | \begin{array}{c} 3 & 4 - λ \\ 2 & 1 \end{array} |$

Schritt 5.4

Berechne $| \begin{array}{c} 3 & 4 - λ \\ 2 & 1 \end{array} |$ .

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Schritt 5.4.1

Die Determinante einer $2 \times 2$ -Matrix kann mithilfe der Formel $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ bestimmt werden.

$p (λ) = (9 - λ) (λ^{2} - 4 λ - 5) - 8 (- 3 λ - 10) + 7 (3 \cdot 1 - 2 (4 - λ))$

Schritt 5.4.2

Vereinfache die Determinante.

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Schritt 5.4.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.4.2.1.1

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$p (λ) = (9 - λ) (λ^{2} - 4 λ - 5) - 8 (- 3 λ - 10) + 7 (3 - 2 (4 - λ))$

Schritt 5.4.2.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$p (λ) = (9 - λ) (λ^{2} - 4 λ - 5) - 8 (- 3 λ - 10) + 7 (3 - 2 \cdot 4 - 2 (- λ))$

Schritt 5.4.2.1.3

Mutltipliziere $- 2$ mit $4$ .

$p (λ) = (9 - λ) (λ^{2} - 4 λ - 5) - 8 (- 3 λ - 10) + 7 (3 - 8 - 2 (- λ))$

Schritt 5.4.2.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 2$ .

$p (λ) = (9 - λ) (λ^{2} - 4 λ - 5) - 8 (- 3 λ - 10) + 7 (3 - 8 + 2 λ)$

Schritt 5.4.2.2

Subtrahiere $8$ von $3$ .

$p (λ) = (9 - λ) (λ^{2} - 4 λ - 5) - 8 (- 3 λ - 10) + 7 (- 5 + 2 λ)$

Schritt 5.4.2.3

Stelle $- 5$ und $2 λ$ um.

$p (λ) = (9 - λ) (λ^{2} - 4 λ - 5) - 8 (- 3 λ - 10) + 7 (2 λ - 5)$

Schritt 5.5

Vereinfache die Determinante.

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Schritt 5.5.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.5.1.1

Multipliziere $(9 - λ) (λ^{2} - 4 λ - 5)$ aus durch Multiplizieren jedes Terms des ersten Ausdrucks mit jedem Term des zweiten Ausdrucks.

$p (λ) = 9 λ^{2} + 9 (- 4 λ) + 9 \cdot - 5 - λ \cdot λ^{2} - λ (- 4 λ) - λ \cdot - 5 - 8 (- 3 λ - 10) + 7 (2 λ - 5)$

Schritt 5.5.1.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.5.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $9$ .

$p (λ) = 9 λ^{2} - 36 λ + 9 \cdot - 5 - λ \cdot λ^{2} - λ (- 4 λ) - λ \cdot - 5 - 8 (- 3 λ - 10) + 7 (2 λ - 5)$

Schritt 5.5.1.2.2

Mutltipliziere $9$ mit $- 5$ .

$p (λ) = 9 λ^{2} - 36 λ - 45 - λ \cdot λ^{2} - λ (- 4 λ) - λ \cdot - 5 - 8 (- 3 λ - 10) + 7 (2 λ - 5)$

Schritt 5.5.1.2.3

Multipliziere $λ$ mit $λ^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 5.5.1.2.3.1

Bewege $λ^{2}$ .

$p (λ) = 9 λ^{2} - 36 λ - 45 - (λ^{2} λ) - λ (- 4 λ) - λ \cdot - 5 - 8 (- 3 λ - 10) + 7 (2 λ - 5)$

Schritt 5.5.1.2.3.2

Mutltipliziere $λ^{2}$ mit $λ$ .

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Schritt 5.5.1.2.3.2.1

Potenziere $λ$ mit $1$ .

$p (λ) = 9 λ^{2} - 36 λ - 45 - (λ^{2} λ^{1}) - λ (- 4 λ) - λ \cdot - 5 - 8 (- 3 λ - 10) + 7 (2 λ - 5)$

Schritt 5.5.1.2.3.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$p (λ) = 9 λ^{2} - 36 λ - 45 - λ^{2 + 1} - λ (- 4 λ) - λ \cdot - 5 - 8 (- 3 λ - 10) + 7 (2 λ - 5)$

Schritt 5.5.1.2.3.3

Addiere $2$ und $1$ .

$p (λ) = 9 λ^{2} - 36 λ - 45 - λ^{3} - λ (- 4 λ) - λ \cdot - 5 - 8 (- 3 λ - 10) + 7 (2 λ - 5)$

Schritt 5.5.1.2.4

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$p (λ) = 9 λ^{2} - 36 λ - 45 - λ^{3} - 1 \cdot - 4 λ \cdot λ - λ \cdot - 5 - 8 (- 3 λ - 10) + 7 (2 λ - 5)$

Schritt 5.5.1.2.5

Multipliziere $λ$ mit $λ$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 5.5.1.2.5.1

Bewege $λ$ .

$p (λ) = 9 λ^{2} - 36 λ - 45 - λ^{3} - 1 \cdot - 4 (λ \cdot λ) - λ \cdot - 5 - 8 (- 3 λ - 10) + 7 (2 λ - 5)$

Schritt 5.5.1.2.5.2

Mutltipliziere $λ$ mit $λ$ .

$p (λ) = 9 λ^{2} - 36 λ - 45 - λ^{3} - 1 \cdot - 4 λ^{2} - λ \cdot - 5 - 8 (- 3 λ - 10) + 7 (2 λ - 5)$

Schritt 5.5.1.2.6

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 4$ .

$p (λ) = 9 λ^{2} - 36 λ - 45 - λ^{3} + 4 λ^{2} - λ \cdot - 5 - 8 (- 3 λ - 10) + 7 (2 λ - 5)$

Schritt 5.5.1.2.7

Mutltipliziere $- 5$ mit $- 1$ .

$p (λ) = 9 λ^{2} - 36 λ - 45 - λ^{3} + 4 λ^{2} + 5 λ - 8 (- 3 λ - 10) + 7 (2 λ - 5)$

Schritt 5.5.1.3

Addiere $9 λ^{2}$ und $4 λ^{2}$ .

$p (λ) = 13 λ^{2} - 36 λ - 45 - λ^{3} + 5 λ - 8 (- 3 λ - 10) + 7 (2 λ - 5)$

Schritt 5.5.1.4

Addiere $- 36 λ$ und $5 λ$ .

$p (λ) = 13 λ^{2} - 31 λ - 45 - λ^{3} - 8 (- 3 λ - 10) + 7 (2 λ - 5)$

Schritt 5.5.1.5

Wende das Distributivgesetz an.

$p (λ) = 13 λ^{2} - 31 λ - 45 - λ^{3} - 8 (- 3 λ) - 8 \cdot - 10 + 7 (2 λ - 5)$

Schritt 5.5.1.6

Mutltipliziere $- 3$ mit $- 8$ .

$p (λ) = 13 λ^{2} - 31 λ - 45 - λ^{3} + 24 λ - 8 \cdot - 10 + 7 (2 λ - 5)$

Schritt 5.5.1.7

Mutltipliziere $- 8$ mit $- 10$ .

$p (λ) = 13 λ^{2} - 31 λ - 45 - λ^{3} + 24 λ + 80 + 7 (2 λ - 5)$

Schritt 5.5.1.8

Wende das Distributivgesetz an.

$p (λ) = 13 λ^{2} - 31 λ - 45 - λ^{3} + 24 λ + 80 + 7 (2 λ) + 7 \cdot - 5$

Schritt 5.5.1.9

Mutltipliziere $2$ mit $7$ .

$p (λ) = 13 λ^{2} - 31 λ - 45 - λ^{3} + 24 λ + 80 + 14 λ + 7 \cdot - 5$

Schritt 5.5.1.10

Mutltipliziere $7$ mit $- 5$ .

$p (λ) = 13 λ^{2} - 31 λ - 45 - λ^{3} + 24 λ + 80 + 14 λ - 35$

Schritt 5.5.2

Addiere $- 31 λ$ und $24 λ$ .

$p (λ) = 13 λ^{2} - 7 λ - 45 - λ^{3} + 80 + 14 λ - 35$

Schritt 5.5.3

Addiere $- 7 λ$ und $14 λ$ .

$p (λ) = 13 λ^{2} + 7 λ - 45 - λ^{3} + 80 - 35$

Schritt 5.5.4

Addiere $- 45$ und $80$ .

$p (λ) = 13 λ^{2} + 7 λ - λ^{3} + 35 - 35$

Schritt 5.5.5

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $13 λ^{2} + 7 λ - λ^{3} + 35 - 35$ .

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Schritt 5.5.5.1

Subtrahiere $35$ von $35$ .

$p (λ) = 13 λ^{2} + 7 λ - λ^{3} + 0$

Schritt 5.5.5.2

Addiere $13 λ^{2} + 7 λ - λ^{3}$ und $0$ .

$p (λ) = 13 λ^{2} + 7 λ - λ^{3}$

Schritt 5.5.6

Bewege $7 λ$ .

$p (λ) = 13 λ^{2} - λ^{3} + 7 λ$

Schritt 5.5.7

Stelle $13 λ^{2}$ und $- λ^{3}$ um.

$p (λ) = - λ^{3} + 13 λ^{2} + 7 λ$

Gib DEINE Aufgabe ein