Beispiele

Die Hyperbel ermitteln: Mittelpunkt (5,1), Brennpunkt (-5,1), Scheitelpunkt (4,1)
, ,
Schritt 1
Es gibt zwei allgemeine Gleichungen für eine Hyperbel.
Horizontale Hyperbelgleichung
Vertikale Hyperbelgleichung
Schritt 2
ist der Abstand zwischen dem Scheitelpunkt und dem Mittelpunkt .
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Schritt 2.1
Wende die Abstandsformel an, um den Abstand zwischen den zwei Punkten zu bestimmen.
Schritt 2.2
Setze die tatsächlichen Werte der Punkte in die Abstandsformel ein.
Schritt 2.3
Vereinfache.
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Schritt 2.3.1
Subtrahiere von .
Schritt 2.3.2
Potenziere mit .
Schritt 2.3.3
Subtrahiere von .
Schritt 2.3.4
zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt .
Schritt 2.3.5
Addiere und .
Schritt 2.3.6
Jede Wurzel von ist .
Schritt 3
ist der Abstand zwischen dem Brennpunkt und dem Mittelpunkt .
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Schritt 3.1
Wende die Abstandsformel an, um den Abstand zwischen den zwei Punkten zu bestimmen.
Schritt 3.2
Setze die tatsächlichen Werte der Punkte in die Abstandsformel ein.
Schritt 3.3
Vereinfache.
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Schritt 3.3.1
Subtrahiere von .
Schritt 3.3.2
Potenziere mit .
Schritt 3.3.3
Subtrahiere von .
Schritt 3.3.4
zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt .
Schritt 3.3.5
Addiere und .
Schritt 3.3.6
Schreibe als um.
Schritt 3.3.7
Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.
Schritt 4
Wir benutzen die Gleichung . Setze für und für ein.
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Schritt 4.1
Schreibe die Gleichung als um.
Schritt 4.2
Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.
Schritt 4.3
Potenziere mit .
Schritt 4.4
Bringe alle Terme, die nicht enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.
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Schritt 4.4.1
Subtrahiere von beiden Seiten der Gleichung.
Schritt 4.4.2
Subtrahiere von .
Schritt 4.5
Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.
Schritt 4.6
Vereinfache .
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Schritt 4.6.1
Schreibe als um.
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Schritt 4.6.1.1
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 4.6.1.2
Schreibe als um.
Schritt 4.6.2
Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.
Schritt 4.7
Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.
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Schritt 4.7.1
Verwende zunächst den positiven Wert des , um die erste Lösung zu finden.
Schritt 4.7.2
Als Nächstes verwende den negativen Wert von , um die zweite Lösung zu finden.
Schritt 4.7.3
Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.
Schritt 5
ist ein Abstand, d. h., es sollte eine positive Zahl sein.
Schritt 6
Die Steigung der Geraden zwischen dem Brennpunkt und dem Mittelpunkt bestimmt, ob die Hyperbel vertikal oder horizontal ist. Wenn die Steigung gleich ist, ist der Graph horizontal. Ist die Steigung nicht definiert, ist der Graph vertikal.
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Schritt 6.1
Die Steigung ist gleich der Änderung von dividiert durch die Änderung von .
Schritt 6.2
Die Änderung von ist gleich der Differenz zwischen den x-Koordinaten und die Änderung von ist gleich der Differenz zwischen den y-Koordinaten.
Schritt 6.3
Setze die Werte von und in die Gleichung ein, um die Steigung zu ermitteln.
Schritt 6.4
Vereinfache.
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Schritt 6.4.1
Vereinfache den Zähler.
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Schritt 6.4.1.1
Mutltipliziere mit .
Schritt 6.4.1.2
Subtrahiere von .
Schritt 6.4.2
Vereinfache den Nenner.
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Schritt 6.4.2.1
Mutltipliziere mit .
Schritt 6.4.2.2
Addiere und .
Schritt 6.4.3
Dividiere durch .
Schritt 6.5
Die allgemeine Gleichung für eine horizontale Hyperbel ist .
Schritt 7
Setze die Werte , , und in ein, um die Gleichung der Hyperbel zu erhalten.
Schritt 8
Vereinfache, um die endgültige Gleichung der Hyperbel zu bestimmen.
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Schritt 8.1
Mutltipliziere mit .
Schritt 8.2
Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.
Schritt 8.3
Dividiere durch .
Schritt 8.4
Mutltipliziere mit .
Schritt 8.5
Vereinfache den Nenner.
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Schritt 8.5.1
Wende die Produktregel auf an.
Schritt 8.5.2
Potenziere mit .
Schritt 8.5.3
Schreibe als um.
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Schritt 8.5.3.1
Benutze , um als neu zu schreiben.
Schritt 8.5.3.2
Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, .
Schritt 8.5.3.3
Kombiniere und .
Schritt 8.5.3.4
Kürze den gemeinsamen Faktor von .
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Schritt 8.5.3.4.1
Kürze den gemeinsamen Faktor.
Schritt 8.5.3.4.2
Forme den Ausdruck um.
Schritt 8.5.3.5
Berechne den Exponenten.
Schritt 8.6
Mutltipliziere mit .
Schritt 9
Gib DEINE Aufgabe ein
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