Analysis Beispiele

Schritt 1
Dividiere durch .
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Schritt 1.1
Stelle die zu dividierenden Polynome auf. Wenn es nicht für jeden Exponenten einen Term gibt, setze einen ein mit dem Wert .
+-++
Schritt 1.2
Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend durch den Term höchster Ordnung im Divisor .
+-++
Schritt 1.3
Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.
+-++
++-
Schritt 1.4
Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in
+-++
--+
Schritt 1.5
Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.
+-++
--+
+
Schritt 1.6
Die endgültige Lösung ist der Quotient plus dem Rest geteilt durch den Divisor.
Schritt 2
Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.
Schritt 3
Wende die Konstantenregel an.
Schritt 4
Da konstant bezüglich ist, ziehe aus dem Integral.
Schritt 5
Schreibe den Bruch mithilfe der Teilbruchzerlegung.
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Schritt 5.1
Zerlege den Bruch und multipliziere mit dem gemeinsamen Nenner durch.
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Schritt 5.1.1
Faktorisiere den Bruch.
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Schritt 5.1.1.1
Schreibe als um.
Schritt 5.1.1.2
Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, , mit und .
Schritt 5.1.2
Bilde für jeden Faktor im Nenner einen neuen Bruch mit dem Faktor als Nenner und einem unbekannten Wert als Zähler. Da der Faktor im Nenner linear ist, setze eine einzelne Variable für den Zähler ein .
Schritt 5.1.3
Bilde für jeden Faktor im Nenner einen neuen Bruch mit dem Faktor als Nenner und einem unbekannten Wert als Zähler. Da der Faktor im Nenner linear ist, setze eine einzelne Variable für den Zähler ein .
Schritt 5.1.4
Multipliziere jeden Bruch in der Gleichung mit dem Nenner des ursprünglichen Ausdrucks. In diesem Fall ist der Nenner gleich .
Schritt 5.1.5
Kürze den gemeinsamen Faktor von .
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Schritt 5.1.5.1
Kürze den gemeinsamen Faktor.
Schritt 5.1.5.2
Forme den Ausdruck um.
Schritt 5.1.6
Kürze den gemeinsamen Faktor von .
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Schritt 5.1.6.1
Kürze den gemeinsamen Faktor.
Schritt 5.1.6.2
Forme den Ausdruck um.
Schritt 5.1.7
Vereinfache jeden Term.
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Schritt 5.1.7.1
Kürze den gemeinsamen Faktor von .
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Schritt 5.1.7.1.1
Kürze den gemeinsamen Faktor.
Schritt 5.1.7.1.2
Dividiere durch .
Schritt 5.1.7.2
Wende das Distributivgesetz an.
Schritt 5.1.7.3
Bringe auf die linke Seite von .
Schritt 5.1.7.4
Schreibe als um.
Schritt 5.1.7.5
Kürze den gemeinsamen Faktor von .
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Schritt 5.1.7.5.1
Kürze den gemeinsamen Faktor.
Schritt 5.1.7.5.2
Dividiere durch .
Schritt 5.1.7.6
Wende das Distributivgesetz an.
Schritt 5.1.7.7
Mutltipliziere mit .
Schritt 5.1.8
Bewege .
Schritt 5.2
Schreibe Gleichungen für die Teilbruchvariablen und benutze sie, um ein Gleichungssystem aufzustellen.
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Schritt 5.2.1
Erzeuge eine Gleichung für die Variablen der Partialbrüche durch Gleichsetzen der Koeffizienten von jeder Seite der Gleichung. Damit die Gleichung gilt, müssen äquivalente Koeffizienten auf jeder Seite der Gleichung gleich sein.
Schritt 5.2.2
Erzeuge eine Gleichung für die Variablen der Partialbrüche durch Gleichsetzen der Koeffizienten der Terme, die nicht enthalten. Damit die Gleichung gilt, müssen die äquivalenten Koeffizienten auf jeder Seite der Gleichung gleich sein.
Schritt 5.2.3
Stelle das Gleichungssystem auf, um die Koeffizienten der Partialbrüche zu ermitteln.
Schritt 5.3
Löse das Gleichungssystem.
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Schritt 5.3.1
Löse in nach auf.
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Schritt 5.3.1.1
Schreibe die Gleichung als um.
Schritt 5.3.1.2
Subtrahiere von beiden Seiten der Gleichung.
Schritt 5.3.2
Ersetze alle Vorkommen von durch in jeder Gleichung.
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Schritt 5.3.2.1
Ersetze alle in durch .
Schritt 5.3.2.2
Vereinfache die rechte Seite.
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Schritt 5.3.2.2.1
Vereinfache .
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Schritt 5.3.2.2.1.1
Multipliziere .
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Schritt 5.3.2.2.1.1.1
Mutltipliziere mit .
Schritt 5.3.2.2.1.1.2
Mutltipliziere mit .
Schritt 5.3.2.2.1.2
Addiere und .
Schritt 5.3.3
Löse in nach auf.
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Schritt 5.3.3.1
Schreibe die Gleichung als um.
Schritt 5.3.3.2
Teile jeden Ausdruck in durch und vereinfache.
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Schritt 5.3.3.2.1
Teile jeden Ausdruck in durch .
Schritt 5.3.3.2.2
Vereinfache die linke Seite.
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Schritt 5.3.3.2.2.1
Kürze den gemeinsamen Faktor von .
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Schritt 5.3.3.2.2.1.1
Kürze den gemeinsamen Faktor.
Schritt 5.3.3.2.2.1.2
Dividiere durch .
Schritt 5.3.4
Ersetze alle Vorkommen von durch in jeder Gleichung.
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Schritt 5.3.4.1
Ersetze alle in durch .
Schritt 5.3.4.2
Vereinfache die rechte Seite.
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Schritt 5.3.4.2.1
Multipliziere mit .
Schritt 5.3.5
Liste alle Lösungen auf.
Schritt 5.4
Ersetze jeden der Teilbruchkoeffizienten in durch die Werte, die für und ermittelt wurden.
Schritt 5.5
Vereinfache.
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Schritt 5.5.1
Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.
Schritt 5.5.2
Mutltipliziere mit .
Schritt 5.5.3
Bringe auf die linke Seite von .
Schritt 5.5.4
Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.
Schritt 5.5.5
Mutltipliziere mit .
Schritt 6
Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.
Schritt 7
Da konstant bezüglich ist, ziehe aus dem Integral.
Schritt 8
Da konstant bezüglich ist, ziehe aus dem Integral.
Schritt 9
Sei . Dann ist . Forme um unter Vewendung von und .
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Schritt 9.1
Es sei . Ermittle .
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Schritt 9.1.1
Differenziere .
Schritt 9.1.2
Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von nach .
Schritt 9.1.3
Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass gleich ist mit .
Schritt 9.1.4
Da konstant bezüglich ist, ist die Ableitung von bezüglich gleich .
Schritt 9.1.5
Addiere und .
Schritt 9.2
Schreibe die Aufgabe mithlfe von und neu.
Schritt 10
Das Integral von nach ist .
Schritt 11
Da konstant bezüglich ist, ziehe aus dem Integral.
Schritt 12
Sei . Dann ist . Forme um unter Vewendung von und .
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Schritt 12.1
Es sei . Ermittle .
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Schritt 12.1.1
Differenziere .
Schritt 12.1.2
Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von nach .
Schritt 12.1.3
Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass gleich ist mit .
Schritt 12.1.4
Da konstant bezüglich ist, ist die Ableitung von bezüglich gleich .
Schritt 12.1.5
Addiere und .
Schritt 12.2
Schreibe die Aufgabe mithlfe von und neu.
Schritt 13
Das Integral von nach ist .
Schritt 14
Vereinfache.
Schritt 15
Setze für jede eingesetzte Integrationsvariable neu ein.
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Schritt 15.1
Ersetze alle durch .
Schritt 15.2
Ersetze alle durch .
Schritt 16
Vereinfache.
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Schritt 16.1
Vereinfache jeden Term.
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Schritt 16.1.1
Kombiniere und .
Schritt 16.1.2
Kombiniere und .
Schritt 16.2
Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.
Schritt 16.3
Kürze den gemeinsamen Faktor von .
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Schritt 16.3.1
Kürze den gemeinsamen Faktor.
Schritt 16.3.2
Forme den Ausdruck um.
Gib DEINE Aufgabe ein
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