Analysis Beispiele

$\int \frac{x^{3} + x}{x^{3} - 1} d x$

Schritt 1

Dividiere $x^{3} + x$ durch $x^{3} - 1$ .

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Schritt 1.1

Stelle die zu dividierenden Polynome auf. Wenn es nicht für jeden Exponenten einen Term gibt, setze einen ein mit dem Wert $0$ .

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x$

$0$

Schritt 1.2

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $x^{3}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x^{3}$ .

$1$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x$

$0$

Schritt 1.3

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

$1$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x$

$0$

$x^{3}$

$0$

$1$

Schritt 1.4

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $x^{3} + 0 + 0 - 1$

								$1$
$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$0 x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$x$	+	$0$
							-	$x^{3}$	-	$0$	-	$0$	+	$1$

Schritt 1.5

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

								$1$
$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$0 x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$x$	+	$0$
							-	$x^{3}$	-	$0$	-	$0$	+	$1$
											+	$x$	+	$1$

Schritt 1.6

Die endgültige Lösung ist der Quotient plus dem Rest geteilt durch den Divisor.

$\int 1 + \frac{x + 1}{x^{3} - 1} d x$

Schritt 2

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int d x + \int \frac{x + 1}{x^{3} - 1} d x$

Schritt 3

Wende die Konstantenregel an.

$x + C + \int \frac{x + 1}{x^{3} - 1} d x$

Schritt 4

Schreibe den Bruch mithilfe der Teilbruchzerlegung.

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Schritt 4.1

Zerlege den Bruch und multipliziere mit dem gemeinsamen Nenner durch.

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Schritt 4.1.1

Faktorisiere den Bruch.

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Schritt 4.1.1.1

Schreibe $1$ als $1^{3}$ um.

$\frac{x + 1}{x^{3} - 1^{3}}$

Schritt 4.1.1.2

Da beide Terme perfekte Terme zur dritten Potenz sind, faktorisiere mithilfe der Formel für die Differenz kubischer Terme, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ , mit $a = x$ und $b = 1$ .

$\frac{x + 1}{(x - 1) (x^{2} + x \cdot 1 + 1^{2})}$

Schritt 4.1.1.3

Vereinfache.

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Schritt 4.1.1.3.1

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$\frac{x + 1}{(x - 1) (x^{2} + x + 1^{2})}$

Schritt 4.1.1.3.2

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\frac{x + 1}{(x - 1) (x^{2} + x + 1)}$

Schritt 4.1.2

Bilde für jeden Faktor im Nenner einen neuen Bruch mit dem Faktor als Nenner und einem unbekannten Wert als Zähler. Da der Faktor im Nenner linear ist, setze eine einzelne Variable für den Zähler ein $A$ .

$\frac{A}{x - 1}$

Schritt 4.1.3

Bilde für jeden Faktor im Nenner einen neuen Bruch mit dem Faktor als Nenner und einem unbekannten Wert als Zähler. Da der Faktor von zweiter Ordnung ist, sind $2$ Terme im Zähler erforderlich. Die Anzahl der erforderlichen Terme im Zähler ist immer gleich der Ordnung des Faktors im Nenner.

$\frac{A}{x - 1} + \frac{B x + C}{x^{2} + x + 1}$

Schritt 4.1.4

Multipliziere jeden Bruch in der Gleichung mit dem Nenner des ursprünglichen Ausdrucks. In diesem Fall ist der Nenner gleich $(x - 1) (x^{2} + x + 1)$ .

$\frac{(x + 1) (x - 1) (x^{2} + x + 1)}{(x - 1) (x^{2} + x + 1)} = \frac{(A) (x - 1) (x^{2} + x + 1)}{x - 1} + \frac{(B x + C) (x - 1) (x^{2} + x + 1)}{x^{2} + x + 1}$

Schritt 4.1.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x - 1$ .

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Schritt 4.1.5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{(x + 1) (x - 1) (x^{2} + x + 1)}{(x - 1) (x^{2} + x + 1)} = \frac{(A) (x - 1) (x^{2} + x + 1)}{x - 1} + \frac{(B x + C) (x - 1) (x^{2} + x + 1)}{x^{2} + x + 1}$

Schritt 4.1.5.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{(x + 1) (x^{2} + x + 1)}{x^{2} + x + 1} = \frac{(A) (x - 1) (x^{2} + x + 1)}{x - 1} + \frac{(B x + C) (x - 1) (x^{2} + x + 1)}{x^{2} + x + 1}$

Schritt 4.1.6

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{2} + x + 1$ .

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Schritt 4.1.6.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{(x + 1) (x^{2} + x + 1)}{x^{2} + x + 1} = \frac{(A) (x - 1) (x^{2} + x + 1)}{x - 1} + \frac{(B x + C) (x - 1) (x^{2} + x + 1)}{x^{2} + x + 1}$

Schritt 4.1.6.2

Dividiere $x + 1$ durch $1$ .

$x + 1 = \frac{(A) (x - 1) (x^{2} + x + 1)}{x - 1} + \frac{(B x + C) (x - 1) (x^{2} + x + 1)}{x^{2} + x + 1}$

Schritt 4.1.7

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.1.7.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x - 1$ .

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Schritt 4.1.7.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x + 1 = \frac{A (x - 1) (x^{2} + x + 1)}{x - 1} + \frac{(B x + C) (x - 1) (x^{2} + x + 1)}{x^{2} + x + 1}$

Schritt 4.1.7.1.2

Dividiere $(A) (x^{2} + x + 1)$ durch $1$ .

$x + 1 = (A) (x^{2} + x + 1) + \frac{(B x + C) (x - 1) (x^{2} + x + 1)}{x^{2} + x + 1}$

Schritt 4.1.7.2

Wende das Distributivgesetz an.

$x + 1 = A x^{2} + A x + A \cdot 1 + \frac{(B x + C) (x - 1) (x^{2} + x + 1)}{x^{2} + x + 1}$

Schritt 4.1.7.3

Mutltipliziere $A$ mit $1$ .

$x + 1 = A x^{2} + A x + A + \frac{(B x + C) (x - 1) (x^{2} + x + 1)}{x^{2} + x + 1}$

Schritt 4.1.7.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{2} + x + 1$ .

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Schritt 4.1.7.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x + 1 = A x^{2} + A x + A + \frac{(B x + C) (x - 1) (x^{2} + x + 1)}{x^{2} + x + 1}$

Schritt 4.1.7.4.2

Dividiere $(B x + C) (x - 1)$ durch $1$ .

$x + 1 = A x^{2} + A x + A + (B x + C) (x - 1)$

Schritt 4.1.7.5

Multipliziere $(B x + C) (x - 1)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 4.1.7.5.1

Wende das Distributivgesetz an.

$x + 1 = A x^{2} + A x + A + B x (x - 1) + C (x - 1)$

Schritt 4.1.7.5.2

Wende das Distributivgesetz an.

$x + 1 = A x^{2} + A x + A + B x \cdot x + B x \cdot - 1 + C (x - 1)$

Schritt 4.1.7.5.3

Wende das Distributivgesetz an.

$x + 1 = A x^{2} + A x + A + B x \cdot x + B x \cdot - 1 + C x + C \cdot - 1$

Schritt 4.1.7.6

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.1.7.6.1

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 4.1.7.6.1.1

Bewege $x$ .

$x + 1 = A x^{2} + A x + A + B (x \cdot x) + B x \cdot - 1 + C x + C \cdot - 1$

Schritt 4.1.7.6.1.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$x + 1 = A x^{2} + A x + A + B x^{2} + B x \cdot - 1 + C x + C \cdot - 1$

Schritt 4.1.7.6.2

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $B x$ .

$x + 1 = A x^{2} + A x + A + B x^{2} - 1 \cdot (B x) + C x + C \cdot - 1$

Schritt 4.1.7.6.3

Schreibe $- 1 (B x)$ als $- (B x)$ um.

$x + 1 = A x^{2} + A x + A + B x^{2} - (B x) + C x + C \cdot - 1$

Schritt 4.1.7.6.4

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $C$ .

$x + 1 = A x^{2} + A x + A + B x^{2} - B x + C x - 1 \cdot C$

Schritt 4.1.7.6.5

Schreibe $- 1 C$ als $- C$ um.

$x + 1 = A x^{2} + A x + A + B x^{2} - B x + C x - C$

Schritt 4.1.8

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 4.1.8.1

Stelle $B$ und $x^{2}$ um.

$x + 1 = A x^{2} + A x + A + B x^{2} - B x + C x - C$

Schritt 4.1.8.2

Bewege $B$ .

$x + 1 = A x^{2} + A x + A + B x^{2} - 1 x B + C x - C$

Schritt 4.1.8.3

Bewege $A$ .

$x + 1 = A x^{2} + A x + B x^{2} - 1 x B + C x + A - C$

Schritt 4.1.8.4

Bewege $A x$ .

$x + 1 = A x^{2} + B x^{2} + A x - 1 x B + C x + A - C$

Schritt 4.2

Schreibe Gleichungen für die Teilbruchvariablen und benutze sie, um ein Gleichungssystem aufzustellen.

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Schritt 4.2.1

Erzeuge eine Gleichung für die Variablen der Partialbrüche durch Gleichsetzen der Koeffizienten von $x^{2}$ jeder Seite der Gleichung. Damit die Gleichung gilt, müssen äquivalente Koeffizienten auf jeder Seite der Gleichung gleich sein.

$0 = A + B$

Schritt 4.2.2

Erzeuge eine Gleichung für die Variablen der Partialbrüche durch Gleichsetzen der Koeffizienten von $x$ jeder Seite der Gleichung. Damit die Gleichung gilt, müssen äquivalente Koeffizienten auf jeder Seite der Gleichung gleich sein.

$1 = A - 1 B + C$

Schritt 4.2.3

Erzeuge eine Gleichung für die Variablen der Partialbrüche durch Gleichsetzen der Koeffizienten der Terme, die $x$ nicht enthalten. Damit die Gleichung gilt, müssen die äquivalenten Koeffizienten auf jeder Seite der Gleichung gleich sein.

$1 = A - 1 C$

Schritt 4.2.4

Stelle das Gleichungssystem auf, um die Koeffizienten der Partialbrüche zu ermitteln.

$0 = A + B$

$1 = A - 1 B + C$

$1 = A - 1 C$

$0 = A + B$

$1 = A - 1 B + C$

$1 = A - 1 C$

Schritt 4.3

Löse das Gleichungssystem.

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Schritt 4.3.1

Löse in $0 = A + B$ nach $A$ auf.

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Schritt 4.3.1.1

Schreibe die Gleichung als $A + B = 0$ um.

$A + B = 0$

$1 = A - 1 B + C$

$1 = A - 1 C$

Schritt 4.3.1.2

Subtrahiere $B$ von beiden Seiten der Gleichung.

$A = - B$

$1 = A - 1 B + C$

$1 = A - 1 C$

$A = - B$

$1 = A - 1 B + C$

$1 = A - 1 C$

Schritt 4.3.2

Ersetze alle Vorkommen von $A$ durch $- B$ in jeder Gleichung.

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Schritt 4.3.2.1

Ersetze alle $A$ in $1 = A - 1 B + C$ durch $- B$ .

$1 = (- B) - 1 B + C$

$A = - B$

$1 = A - 1 C$

Schritt 4.3.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.3.2.2.1

Vereinfache $(- B) - 1 B + C$ .

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Schritt 4.3.2.2.1.1

Schreibe $- 1 B$ als $- B$ um.

$1 = - B - B + C$

$A = - B$

$1 = A - 1 C$

Schritt 4.3.2.2.1.2

Subtrahiere $B$ von $- B$ .

$1 = - 2 B + C$

$A = - B$

$1 = A - 1 C$

$1 = - 2 B + C$

$A = - B$

$1 = A - 1 C$

$1 = - 2 B + C$

$A = - B$

$1 = A - 1 C$

Schritt 4.3.2.3

Ersetze alle $A$ in $1 = A - 1 C$ durch $- B$ .

$1 = (- B) - 1 C$

$1 = - 2 B + C$

$A = - B$

Schritt 4.3.2.4

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.3.2.4.1

Schreibe $- 1 C$ als $- C$ um.

$1 = - B - C$

$1 = - 2 B + C$

$A = - B$

$1 = - B - C$

$1 = - 2 B + C$

$A = - B$

$1 = - B - C$

$1 = - 2 B + C$

$A = - B$

Schritt 4.3.3

Löse in $1 = - 2 B + C$ nach $C$ auf.

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Schritt 4.3.3.1

Schreibe die Gleichung als $- 2 B + C = 1$ um.

$- 2 B + C = 1$

$1 = - B - C$

$A = - B$

Schritt 4.3.3.2

Addiere $2 B$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$C = 1 + 2 B$

$1 = - B - C$

$A = - B$

$C = 1 + 2 B$

$1 = - B - C$

$A = - B$

Schritt 4.3.4

Ersetze alle Vorkommen von $C$ durch $1 + 2 B$ in jeder Gleichung.

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Schritt 4.3.4.1

Ersetze alle $C$ in $1 = - B - C$ durch $1 + 2 B$ .

$1 = - B - (1 + 2 B)$

$C = 1 + 2 B$

$A = - B$

Schritt 4.3.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.3.4.2.1

Vereinfache $- B - (1 + 2 B)$ .

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Schritt 4.3.4.2.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.3.4.2.1.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$1 = - B - 1 \cdot 1 - (2 B)$

$C = 1 + 2 B$

$A = - B$

Schritt 4.3.4.2.1.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$1 = - B - 1 - (2 B)$

$C = 1 + 2 B$

$A = - B$

Schritt 4.3.4.2.1.1.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$1 = - B - 1 - 2 B$

$C = 1 + 2 B$

$A = - B$

$1 = - B - 1 - 2 B$

$C = 1 + 2 B$

$A = - B$

Schritt 4.3.4.2.1.2

Subtrahiere $2 B$ von $- B$ .

$1 = - 3 B - 1$

$C = 1 + 2 B$

$A = - B$

$1 = - 3 B - 1$

$C = 1 + 2 B$

$A = - B$

$1 = - 3 B - 1$

$C = 1 + 2 B$

$A = - B$

$1 = - 3 B - 1$

$C = 1 + 2 B$

$A = - B$

Schritt 4.3.5

Löse in $1 = - 3 B - 1$ nach $B$ auf.

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Schritt 4.3.5.1

Schreibe die Gleichung als $- 3 B - 1 = 1$ um.

$- 3 B - 1 = 1$

$C = 1 + 2 B$

$A = - B$

Schritt 4.3.5.2

Bringe alle Terme, die nicht $B$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 4.3.5.2.1

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$- 3 B = 1 + 1$

$C = 1 + 2 B$

$A = - B$

Schritt 4.3.5.2.2

Addiere $1$ und $1$ .

$- 3 B = 2$

$C = 1 + 2 B$

$A = - B$

$- 3 B = 2$

$C = 1 + 2 B$

$A = - B$

Schritt 4.3.5.3

Teile jeden Ausdruck in $- 3 B = 2$ durch $- 3$ und vereinfache.

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Schritt 4.3.5.3.1

Teile jeden Ausdruck in $- 3 B = 2$ durch $- 3$ .

$\frac{- 3 B}{- 3} = \frac{2}{- 3}$

$C = 1 + 2 B$

$A = - B$

Schritt 4.3.5.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.3.5.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 3$ .

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Schritt 4.3.5.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 3 B}{- 3} = \frac{2}{- 3}$

$C = 1 + 2 B$

$A = - B$

Schritt 4.3.5.3.2.1.2

Dividiere $B$ durch $1$ .

$B = \frac{2}{- 3}$

$C = 1 + 2 B$

$A = - B$

$B = \frac{2}{- 3}$

$C = 1 + 2 B$

$A = - B$

$B = \frac{2}{- 3}$

$C = 1 + 2 B$

$A = - B$

Schritt 4.3.5.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.3.5.3.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$B = - \frac{2}{3}$

$C = 1 + 2 B$

$A = - B$

$B = - \frac{2}{3}$

$C = 1 + 2 B$

$A = - B$

$B = - \frac{2}{3}$

$C = 1 + 2 B$

$A = - B$

$B = - \frac{2}{3}$

$C = 1 + 2 B$

$A = - B$

Schritt 4.3.6

Ersetze alle Vorkommen von $B$ durch $- \frac{2}{3}$ in jeder Gleichung.

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Schritt 4.3.6.1

Ersetze alle $B$ in $C = 1 + 2 B$ durch $- \frac{2}{3}$ .

$C = 1 + 2 (- \frac{2}{3})$

$B = - \frac{2}{3}$

$A = - B$

Schritt 4.3.6.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.3.6.2.1

Vereinfache $1 + 2 (- \frac{2}{3})$ .

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Schritt 4.3.6.2.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.3.6.2.1.1.1

Multipliziere $2 (- \frac{2}{3})$ .

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Schritt 4.3.6.2.1.1.1.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$C = 1 - 2 (\frac{2}{3})$

$B = - \frac{2}{3}$

$A = - B$

Schritt 4.3.6.2.1.1.1.2

Kombiniere $- 2$ und $\frac{2}{3}$ .

$C = 1 + \frac{- 2 \cdot 2}{3}$

$B = - \frac{2}{3}$

$A = - B$

Schritt 4.3.6.2.1.1.1.3

Mutltipliziere $- 2$ mit $2$ .

$C = 1 + \frac{- 4}{3}$

$B = - \frac{2}{3}$

$A = - B$

$C = 1 + \frac{- 4}{3}$

$B = - \frac{2}{3}$

$A = - B$

Schritt 4.3.6.2.1.1.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$C = 1 - \frac{4}{3}$

$B = - \frac{2}{3}$

$A = - B$

$C = 1 - \frac{4}{3}$

$B = - \frac{2}{3}$

$A = - B$

Schritt 4.3.6.2.1.2

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 4.3.6.2.1.2.1

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$C = \frac{3}{3} - \frac{4}{3}$

$B = - \frac{2}{3}$

$A = - B$

Schritt 4.3.6.2.1.2.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$C = \frac{3 - 4}{3}$

$B = - \frac{2}{3}$

$A = - B$

Schritt 4.3.6.2.1.2.3

Subtrahiere $4$ von $3$ .

$C = \frac{- 1}{3}$

$B = - \frac{2}{3}$

$A = - B$

Schritt 4.3.6.2.1.2.4

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$C = - \frac{1}{3}$

$B = - \frac{2}{3}$

$A = - B$

$C = - \frac{1}{3}$

$B = - \frac{2}{3}$

$A = - B$

$C = - \frac{1}{3}$

$B = - \frac{2}{3}$

$A = - B$

$C = - \frac{1}{3}$

$B = - \frac{2}{3}$

$A = - B$

Schritt 4.3.6.3

Ersetze alle $B$ in $A = - B$ durch $- \frac{2}{3}$ .

$A = - (- \frac{2}{3})$

$C = - \frac{1}{3}$

$B = - \frac{2}{3}$

Schritt 4.3.6.4

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.3.6.4.1

Multipliziere $- (- \frac{2}{3})$ .

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Schritt 4.3.6.4.1.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$A = 1 (\frac{2}{3})$

$C = - \frac{1}{3}$

$B = - \frac{2}{3}$

Schritt 4.3.6.4.1.2

Mutltipliziere $\frac{2}{3}$ mit $1$ .

$A = \frac{2}{3}$

$C = - \frac{1}{3}$

$B = - \frac{2}{3}$

$A = \frac{2}{3}$

$C = - \frac{1}{3}$

$B = - \frac{2}{3}$

$A = \frac{2}{3}$

$C = - \frac{1}{3}$

$B = - \frac{2}{3}$

$A = \frac{2}{3}$

$C = - \frac{1}{3}$

$B = - \frac{2}{3}$

Schritt 4.3.7

Liste alle Lösungen auf.

$A = \frac{2}{3}, C = - \frac{1}{3}, B = - \frac{2}{3}$

Schritt 4.4

Ersetze jeden Teilbruchkoeffizienten in $\frac{A}{x - 1} + \frac{B x + C}{x^{2} + x + 1}$ durch die Werte, die für $A$ , $B$ und $C$ ermittelt wurden.

$\frac{\frac{2}{3}}{x - 1} + \frac{- \frac{2}{3 x} - \frac{1}{3}}{x^{2} + x + 1}$

Schritt 4.5

Vereinfache.

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Schritt 4.5.1

Multiply the numerator and denominator of the fraction by $3$ .

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Schritt 4.5.1.1

Mutltipliziere $\frac{- \frac{2}{3} \cdot x - \frac{1}{3}}{x^{2} + x + 1}$ mit $\frac{3}{3}$ .

$\frac{\frac{2}{3}}{x - 1} + \frac{3}{3} \cdot \frac{- \frac{2}{3} x - \frac{1}{3}}{x^{2} + x + 1}$

Schritt 4.5.1.2

Kombinieren.

$\frac{\frac{2}{3}}{x - 1} + \frac{3 (- \frac{2}{3} x - \frac{1}{3})}{3 (x^{2} + x + 1)}$

Schritt 4.5.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{\frac{2}{3}}{x - 1} + \frac{3 (- \frac{2}{3} x) + 3 (- \frac{1}{3})}{3 x^{2} + 3 x + 3 \cdot 1}$

Schritt 4.5.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 4.5.3.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{1}{3}$ in den Zähler.

$\frac{\frac{2}{3}}{x - 1} + \frac{3 (- \frac{2}{3} x) + 3 (\frac{- 1}{3})}{3 x^{2} + 3 x + 3 \cdot 1}$

Schritt 4.5.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\frac{2}{3}}{x - 1} + \frac{3 (- \frac{2}{3} x) + 3 (\frac{- 1}{3})}{3 x^{2} + 3 x + 3 \cdot 1}$

Schritt 4.5.3.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{\frac{2}{3}}{x - 1} + \frac{3 (- \frac{2}{3} x) - 1}{3 x^{2} + 3 x + 3 \cdot 1}$

Schritt 4.5.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.5.4.1

Kombiniere $x$ und $\frac{2}{3}$ .

$\frac{\frac{2}{3}}{x - 1} + \frac{3 (- \frac{x \cdot 2}{3}) - 1}{3 x^{2} + 3 x + 3 \cdot 1}$

Schritt 4.5.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 4.5.4.2.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{x \cdot 2}{3}$ in den Zähler.

$\frac{\frac{2}{3}}{x - 1} + \frac{3 (\frac{- x \cdot 2}{3}) - 1}{3 x^{2} + 3 x + 3 \cdot 1}$

Schritt 4.5.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\frac{2}{3}}{x - 1} + \frac{3 (\frac{- x \cdot 2}{3}) - 1}{3 x^{2} + 3 x + 3 \cdot 1}$

Schritt 4.5.4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{\frac{2}{3}}{x - 1} + \frac{- x \cdot 2 - 1}{3 x^{2} + 3 x + 3 \cdot 1}$

Schritt 4.5.4.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\frac{\frac{2}{3}}{x - 1} + \frac{- 2 x - 1}{3 x^{2} + 3 x + 3 \cdot 1}$

Schritt 4.5.5

Vereinfache durch Herausfaktorisieren.

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Schritt 4.5.5.1

Faktorisiere $3$ aus $3 x^{2} + 3 x + 3 \cdot 1$ heraus.

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Schritt 4.5.5.1.1

Faktorisiere $3$ aus $3 x^{2}$ heraus.

$\frac{\frac{2}{3}}{x - 1} + \frac{- 2 x - 1}{3 (x^{2}) + 3 x + 3 \cdot 1}$

Schritt 4.5.5.1.2

Faktorisiere $3$ aus $3 x$ heraus.

$\frac{\frac{2}{3}}{x - 1} + \frac{- 2 x - 1}{3 (x^{2}) + 3 (x) + 3 \cdot 1}$

Schritt 4.5.5.1.3

Faktorisiere $3$ aus $3 \cdot 1$ heraus.

$\frac{\frac{2}{3}}{x - 1} + \frac{- 2 x - 1}{3 (x^{2}) + 3 (x) + 3 (1)}$

Schritt 4.5.5.1.4

Faktorisiere $3$ aus $3 (x^{2}) + 3 (x)$ heraus.

$\frac{\frac{2}{3}}{x - 1} + \frac{- 2 x - 1}{3 (x^{2} + x) + 3 (1)}$

Schritt 4.5.5.1.5

Faktorisiere $3$ aus $3 (x^{2} + x) + 3 (1)$ heraus.

$\frac{\frac{2}{3}}{x - 1} + \frac{- 2 x - 1}{3 (x^{2} + x + 1)}$

Schritt 4.5.5.2

Faktorisiere $- 1$ aus $- 2 x$ heraus.

$\frac{\frac{2}{3}}{x - 1} + \frac{- (2 x) - 1}{3 (x^{2} + x + 1)}$

Schritt 4.5.5.3

Schreibe $- 1$ als $- 1 (1)$ um.

$\frac{\frac{2}{3}}{x - 1} + \frac{- (2 x) - 1 \cdot 1}{3 (x^{2} + x + 1)}$

Schritt 4.5.5.4

Faktorisiere $- 1$ aus $- (2 x) - 1 (1)$ heraus.

$\frac{\frac{2}{3}}{x - 1} + \frac{- (2 x + 1)}{3 (x^{2} + x + 1)}$

Schritt 4.5.5.5

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 4.5.5.5.1

Schreibe $- (2 x + 1)$ als $- 1 (2 x + 1)$ um.

$\frac{\frac{2}{3}}{x - 1} + \frac{- 1 (2 x + 1)}{3 (x^{2} + x + 1)}$

Schritt 4.5.5.5.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{\frac{2}{3}}{x - 1} - \frac{2 x + 1}{3 (x^{2} + x + 1)}$

Schritt 4.5.6

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{x - 1} - \frac{2 x + 1}{3 (x^{2} + x + 1)}$

Schritt 4.5.7

Mutltipliziere $\frac{2}{3}$ mit $\frac{1}{x - 1}$ .

$x + C + \int \frac{2}{3 (x - 1)} - \frac{2 x + 1}{3 (x^{2} + x + 1)} d x$

Schritt 5

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$x + C + \int \frac{2}{3 (x - 1)} d x + \int - \frac{2 x + 1}{3 (x^{2} + x + 1)} d x$

Schritt 6

Da $\frac{2}{3}$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $\frac{2}{3}$ aus dem Integral.

$x + C + \frac{2}{3} \int \frac{1}{x - 1} d x + \int - \frac{2 x + 1}{3 (x^{2} + x + 1)} d x$

Schritt 7

Sei $u_{1} = x - 1$ . Dann ist $d u_{1} = d x$ . Forme um unter Vewendung von $u_{1}$ und $d$ $u_{1}$ .

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Schritt 7.1

Es sei $u_{1} = x - 1$ . Ermittle $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Schritt 7.1.1

Differenziere $x - 1$ .

$\frac{d}{d x} [x - 1]$

Schritt 7.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x - 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 7.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 7.1.4

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$1 + 0$

Schritt 7.1.5

Addiere $1$ und $0$ .

$1$

Schritt 7.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u_{1}$ und $d u_{1}$ neu.

$x + C + \frac{2}{3} \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} + \int - \frac{2 x + 1}{3 (x^{2} + x + 1)} d x$

Schritt 8

Das Integral von $\frac{1}{u_{1}}$ nach $u_{1}$ ist $\ln (| u_{1} |)$ .

$x + C + \frac{2}{3} (\ln (| u_{1} |) + C) + \int - \frac{2 x + 1}{3 (x^{2} + x + 1)} d x$

Schritt 9

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$x + C + \frac{2}{3} (\ln (| u_{1} |) + C) - \int \frac{2 x + 1}{3 (x^{2} + x + 1)} d x$

Schritt 10

Da $\frac{1}{3}$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $\frac{1}{3}$ aus dem Integral.

$x + C + \frac{2}{3} (\ln (| u_{1} |) + C) - (\frac{1}{3} \int \frac{2 x + 1}{x^{2} + x + 1} d x)$

Schritt 11

Sei $u_{2} = x^{2} + x + 1$ . Dann ist $d u_{2} = (2 x + 1) d x$ , folglich $\frac{1}{2 x + 1} d u_{2} = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u_{2}$ und $d$ $u_{2}$ .

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Schritt 11.1

Es sei $u_{2} = x^{2} + x + 1$ . Ermittle $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Schritt 11.1.1

Differenziere $x^{2} + x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} + x + 1]$

Schritt 11.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} + x + 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 11.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 11.1.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$2 x + 1 + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 11.1.5

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$2 x + 1 + 0$

Schritt 11.1.6

Addiere $2 x + 1$ und $0$ .

$2 x + 1$

Schritt 11.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u_{2}$ und $d u_{2}$ neu.

$x + C + \frac{2}{3} (\ln (| u_{1} |) + C) - \frac{1}{3} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Schritt 12

Das Integral von $\frac{1}{u_{2}}$ nach $u_{2}$ ist $\ln (| u_{2} |)$ .

$x + C + \frac{2}{3} (\ln (| u_{1} |) + C) - \frac{1}{3} (\ln (| u_{2} |) + C)$

Schritt 13

Vereinfache.

$x + \frac{2}{3} \ln (| u_{1} |) - \frac{1}{3} \ln (| u_{2} |) + C$

Schritt 14

Setze für jede eingesetzte Integrationsvariable neu ein.

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Schritt 14.1

Ersetze alle $u_{1}$ durch $x - 1$ .

$x + \frac{2}{3} \ln (| x - 1 |) - \frac{1}{3} \ln (| u_{2} |) + C$

Schritt 14.2

Ersetze alle $u_{2}$ durch $x^{2} + x + 1$ .

$x + \frac{2}{3} \ln (| x - 1 |) - \frac{1}{3} \ln (| x^{2} + x + 1 |) + C$

Gib DEINE Aufgabe ein