Analysis Beispiele

$\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{1 + n^{2}}$

Schritt 1

Bestimme, ob das Integral der Reihe konvergent ist, um festzustellen, ob die Reihen konvergent sind.

$\int_{1}^{\infty} \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

Schritt 2

Schreibe das Integral als Grenzwert, wenn sich $t$ an $\infty$ annähert.

$lim_{t \to \infty} \int_{1}^{t} \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

Schritt 3

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$lim_{t \to \infty} \int_{1}^{t} \frac{1}{1^{2} + x^{2}} d x$

Schritt 4

Das Integral von $\frac{1}{1^{2} + x^{2}}$ nach $x$ ist $\arctan (x)]_{1}^{t}$ .

$lim_{t \to \infty} \arctan (x)]_{1}^{t}$

Schritt 5

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 5.1

Berechne $\arctan (x)$ bei $t$ und $1$ .

$lim_{t \to \infty} (\arctan (t)) - \arctan (1)$

Schritt 5.2

Entferne die Klammern.

$lim_{t \to \infty} \arctan (t) - \arctan (1)$

Schritt 6

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 6.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $t$ sich an $\infty$ annähert.

$lim_{t \to \infty} \arctan (t) - lim_{t \to \infty} \arctan (1)$

Schritt 6.2

Der Grenzwert, wenn $t$ sich $\infty$ nähert, ist $\frac{π}{2}$ .

$\frac{π}{2} - lim_{t \to \infty} \arctan (1)$

Schritt 6.3

Berechne den Grenzwert von $\arctan (1)$ , welcher konstant ist, wenn $t$ sich $\infty$ annähert.

$\frac{π}{2} - \arctan (1)$

Schritt 6.4

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 6.4.1

Der genau Wert von $\arctan (1)$ ist $\frac{π}{4}$ .

$\frac{π}{2} - \frac{π}{4}$

Schritt 6.4.2

Um $\frac{π}{2}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{π}{2} \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{4}$

Schritt 6.4.3

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $4$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 6.4.3.1

Mutltipliziere $\frac{π}{2}$ mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{π \cdot 2}{2 \cdot 2} - \frac{π}{4}$

Schritt 6.4.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{π \cdot 2}{4} - \frac{π}{4}$

Schritt 6.4.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{π \cdot 2 - π}{4}$

Schritt 6.4.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.4.5.1

Bringe $2$ auf die linke Seite von $π$ .

$\frac{2 \cdot π - π}{4}$

Schritt 6.4.5.2

Subtrahiere $π$ von $2 π$ .

$\frac{π}{4}$

Schritt 7

Da das Integral konvergent ist, ist die Reihe konvergent.

Gib DEINE Aufgabe ein