Analysis Beispiele

$\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n}$

Schritt 1

Bestimme, ob das Integral der Reihe konvergent ist, um festzustellen, ob die Reihen konvergent sind.

$\int_{1}^{\infty} \frac{1}{x} d x$

Schritt 2

Schreibe das Integral als Grenzwert, wenn sich $t$ an $\infty$ annähert.

$lim_{t \to \infty} \int_{1}^{t} \frac{1}{x} d x$

Schritt 3

Das Integral von $\frac{1}{x}$ nach $x$ ist $\ln (| x |)$ .

$lim_{t \to \infty} \ln (| x |)]_{1}^{t}$

Schritt 4

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 4.1

Berechne $\ln (| x |)$ bei $t$ und $1$ .

$lim_{t \to \infty} (\ln (| t |)) - \ln (| 1 |)$

Schritt 4.2

Entferne die Klammern.

$lim_{t \to \infty} \ln (| t |) - \ln (| 1 |)$

Schritt 4.3

Nutze die Quotienteneigenschaft von Logarithmen, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$lim_{t \to \infty} \ln (\frac{| t |}{| 1 |})$

Schritt 5

Da der Logarithmus gegen unendlich geht, geht der Wert gegen $\infty$ .

$\infty$

Schritt 6

Da das Integral divergent ist, ist die Reihe divergent.

Gib DEINE Aufgabe ein