Analysis Beispiele

$\sum_{0}^{\infty} \frac{2 n^{2} - n^{3}}{2 n^{3} + 5}$

Schritt 1

Die Reihe ist divergent, wenn der Grenzwert der Sequenz $n$ sich $\infty$ nähert, nicht existiert oder nicht gleich $0$ ist.

$lim_{n \to \infty} \frac{2 n^{2} - n^{3}}{2 n^{3} + 5}$

Schritt 2

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 2.1

Teile den Zähler und Nenner durch die höchste Potenz von $n$ im Nenner, was $n^{3}$ ist.

$lim_{n \to \infty} \frac{\frac{2 n^{2}}{n^{3}} - \frac{n^{3}}{n^{3}}}{\frac{2 n^{3}}{n^{3}} + \frac{5}{n^{3}}}$

Schritt 2.2

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 2.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $n^{2}$ und $n^{3}$ .

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Schritt 2.2.1.1.1

Faktorisiere $n^{2}$ aus $2 n^{2}$ heraus.

$lim_{n \to \infty} \frac{\frac{n^{2} \cdot 2}{n^{3}} - \frac{n^{3}}{n^{3}}}{\frac{2 n^{3}}{n^{3}} + \frac{5}{n^{3}}}$

Schritt 2.2.1.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.2.1.1.2.1

Faktorisiere $n^{2}$ aus $n^{3}$ heraus.

$lim_{n \to \infty} \frac{\frac{n^{2} \cdot 2}{n^{2} n} - \frac{n^{3}}{n^{3}}}{\frac{2 n^{3}}{n^{3}} + \frac{5}{n^{3}}}$

Schritt 2.2.1.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$lim_{n \to \infty} \frac{\frac{n^{2} \cdot 2}{n^{2} n} - \frac{n^{3}}{n^{3}}}{\frac{2 n^{3}}{n^{3}} + \frac{5}{n^{3}}}$

Schritt 2.2.1.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$lim_{n \to \infty} \frac{\frac{2}{n} - \frac{n^{3}}{n^{3}}}{\frac{2 n^{3}}{n^{3}} + \frac{5}{n^{3}}}$

Schritt 2.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $n^{3}$ .

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Schritt 2.2.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$lim_{n \to \infty} \frac{\frac{2}{n} - \frac{n^{3}}{n^{3}}}{\frac{2 n^{3}}{n^{3}} + \frac{5}{n^{3}}}$

Schritt 2.2.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$lim_{n \to \infty} \frac{\frac{2}{n} - 1 \cdot 1}{\frac{2 n^{3}}{n^{3}} + \frac{5}{n^{3}}}$

Schritt 2.2.1.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$lim_{n \to \infty} \frac{\frac{2}{n} - 1}{\frac{2 n^{3}}{n^{3}} + \frac{5}{n^{3}}}$

Schritt 2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $n^{3}$ .

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Schritt 2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$lim_{n \to \infty} \frac{\frac{2}{n} - 1}{\frac{2 n^{3}}{n^{3}} + \frac{5}{n^{3}}}$

Schritt 2.2.2.2

Dividiere $2$ durch $1$ .

$lim_{n \to \infty} \frac{\frac{2}{n} - 1}{2 + \frac{5}{n^{3}}}$

Schritt 2.2.3

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $n$ sich an $\infty$ annähert.

$\frac{lim_{n \to \infty} \frac{2}{n} - 1}{lim_{n \to \infty} 2 + \frac{5}{n^{3}}}$

Schritt 2.2.4

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $n$ sich an $\infty$ annähert.

$\frac{lim_{n \to \infty} \frac{2}{n} - lim_{n \to \infty} 1}{lim_{n \to \infty} 2 + \frac{5}{n^{3}}}$

Schritt 2.2.5

Ziehe den Term $2$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $n$ ist.

$\frac{2 lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} - lim_{n \to \infty} 1}{lim_{n \to \infty} 2 + \frac{5}{n^{3}}}$

Schritt 2.3

Da sein Zähler sich einer reellen Zahl nähert, während sein Nenner unbegrenzt ist, nähert sich der Bruch $\frac{1}{n}$ $0$ .

$\frac{2 \cdot 0 - lim_{n \to \infty} 1}{lim_{n \to \infty} 2 + \frac{5}{n^{3}}}$

Schritt 2.4

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 2.4.1

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $n$ sich $\infty$ annähert.

$\frac{2 \cdot 0 - 1 \cdot 1}{lim_{n \to \infty} 2 + \frac{5}{n^{3}}}$

Schritt 2.4.2

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $n$ sich an $\infty$ annähert.

$\frac{2 \cdot 0 - 1 \cdot 1}{lim_{n \to \infty} 2 + lim_{n \to \infty} \frac{5}{n^{3}}}$

Schritt 2.4.3

Berechne den Grenzwert von $2$ , welcher konstant ist, wenn $n$ sich $\infty$ annähert.

$\frac{2 \cdot 0 - 1 \cdot 1}{2 + lim_{n \to \infty} \frac{5}{n^{3}}}$

Schritt 2.4.4

Ziehe den Term $5$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $n$ ist.

$\frac{2 \cdot 0 - 1 \cdot 1}{2 + 5 lim_{n \to \infty} \frac{1}{n^{3}}}$

Schritt 2.5

Da sein Zähler sich einer reellen Zahl nähert, während sein Nenner unbegrenzt ist, nähert sich der Bruch $\frac{1}{n^{3}}$ $0$ .

$\frac{2 \cdot 0 - 1 \cdot 1}{2 + 5 \cdot 0}$

Schritt 2.6

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 2.6.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.6.1.1

Mutltipliziere $2$ mit $0$ .

$\frac{0 - 1 \cdot 1}{2 + 5 \cdot 0}$

Schritt 2.6.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{0 - 1}{2 + 5 \cdot 0}$

Schritt 2.6.1.3

Subtrahiere $1$ von $0$ .

$\frac{- 1}{2 + 5 \cdot 0}$

Schritt 2.6.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 2.6.2.1

Mutltipliziere $5$ mit $0$ .

$\frac{- 1}{2 + 0}$

Schritt 2.6.2.2

Addiere $2$ und $0$ .

$\frac{- 1}{2}$

Schritt 2.6.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{1}{2}$

Schritt 3

Der Grenzwert existiert und ist nicht gleich $0$ , daher ist die Folge divergent.

Gib DEINE Aufgabe ein