Analysis Beispiele

$\int_{1}^{2} 2 x^{2} + x d x$

Schritt 1

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int_{1}^{2} 2 x^{2} d x + \int_{1}^{2} x d x$

Schritt 2

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $2$ aus dem Integral.

$2 \int_{1}^{2} x^{2} d x + \int_{1}^{2} x d x$

Schritt 3

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{2}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$2 (\frac{1}{3} x^{3}]_{1}^{2}) + \int_{1}^{2} x d x$

Schritt 4

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $x^{3}$ .

$2 (\frac{x^{3}}{3}]_{1}^{2}) + \int_{1}^{2} x d x$

Schritt 5

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$2 (\frac{x^{3}}{3}]_{1}^{2}) + \frac{1}{2} x^{2}]_{1}^{2}$

Schritt 6

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 6.1

Berechne $\frac{x^{3}}{3}$ bei $2$ und $1$ .

$2 ((\frac{2^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3}) + \frac{1}{2} x^{2}]_{1}^{2}$

Schritt 6.2

Berechne $\frac{1}{2} x^{2}$ bei $2$ und $1$ .

$2 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + \frac{1}{2} \cdot 2^{2} - \frac{1}{2} \cdot 1^{2}$

Schritt 6.3

Vereinfache.

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Schritt 6.3.1

Potenziere $2$ mit $3$ .

$2 (\frac{8}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + \frac{1}{2} \cdot 2^{2} - \frac{1}{2} \cdot 1^{2}$

Schritt 6.3.2

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$2 (\frac{8}{3} - \frac{1}{3}) + \frac{1}{2} \cdot 2^{2} - \frac{1}{2} \cdot 1^{2}$

Schritt 6.3.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$2 \frac{8 - 1}{3} + \frac{1}{2} \cdot 2^{2} - \frac{1}{2} \cdot 1^{2}$

Schritt 6.3.4

Subtrahiere $1$ von $8$ .

$2 (\frac{7}{3}) + \frac{1}{2} \cdot 2^{2} - \frac{1}{2} \cdot 1^{2}$

Schritt 6.3.5

Kombiniere $2$ und $\frac{7}{3}$ .

$\frac{2 \cdot 7}{3} + \frac{1}{2} \cdot 2^{2} - \frac{1}{2} \cdot 1^{2}$

Schritt 6.3.6

Mutltipliziere $2$ mit $7$ .

$\frac{14}{3} + \frac{1}{2} \cdot 2^{2} - \frac{1}{2} \cdot 1^{2}$

Schritt 6.3.7

Potenziere $2$ mit $2$ .

$\frac{14}{3} + \frac{1}{2} \cdot 4 - \frac{1}{2} \cdot 1^{2}$

Schritt 6.3.8

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $4$ .

$\frac{14}{3} + \frac{4}{2} - \frac{1}{2} \cdot 1^{2}$

Schritt 6.3.9

Kürze den gemeinsamen Teiler von $4$ und $2$ .

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Schritt 6.3.9.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$\frac{14}{3} + \frac{2 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2} \cdot 1^{2}$

Schritt 6.3.9.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 6.3.9.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$\frac{14}{3} + \frac{2 \cdot 2}{2 (1)} - \frac{1}{2} \cdot 1^{2}$

Schritt 6.3.9.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{14}{3} + \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1} - \frac{1}{2} \cdot 1^{2}$

Schritt 6.3.9.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{14}{3} + \frac{2}{1} - \frac{1}{2} \cdot 1^{2}$

Schritt 6.3.9.2.4

Dividiere $2$ durch $1$ .

$\frac{14}{3} + 2 - \frac{1}{2} \cdot 1^{2}$

Schritt 6.3.10

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\frac{14}{3} + 2 - \frac{1}{2} \cdot 1$

Schritt 6.3.11

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{14}{3} + 2 - \frac{1}{2}$

Schritt 6.3.12

Um $2$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{14}{3} + 2 \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2}$

Schritt 6.3.13

Kombiniere $2$ und $\frac{2}{2}$ .

$\frac{14}{3} + \frac{2 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2}$

Schritt 6.3.14

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{14}{3} + \frac{2 \cdot 2 - 1}{2}$

Schritt 6.3.15

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.3.15.1

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{14}{3} + \frac{4 - 1}{2}$

Schritt 6.3.15.2

Subtrahiere $1$ von $4$ .

$\frac{14}{3} + \frac{3}{2}$

Schritt 6.3.16

Um $\frac{14}{3}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{14}{3} \cdot \frac{2}{2} + \frac{3}{2}$

Schritt 6.3.17

Um $\frac{3}{2}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$\frac{14}{3} \cdot \frac{2}{2} + \frac{3}{2} \cdot \frac{3}{3}$

Schritt 6.3.18

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $6$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 6.3.18.1

Mutltipliziere $\frac{14}{3}$ mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{14 \cdot 2}{3 \cdot 2} + \frac{3}{2} \cdot \frac{3}{3}$

Schritt 6.3.18.2

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$\frac{14 \cdot 2}{6} + \frac{3}{2} \cdot \frac{3}{3}$

Schritt 6.3.18.3

Mutltipliziere $\frac{3}{2}$ mit $\frac{3}{3}$ .

$\frac{14 \cdot 2}{6} + \frac{3 \cdot 3}{2 \cdot 3}$

Schritt 6.3.18.4

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$\frac{14 \cdot 2}{6} + \frac{3 \cdot 3}{6}$

Schritt 6.3.19

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{14 \cdot 2 + 3 \cdot 3}{6}$

Schritt 6.3.20

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.3.20.1

Mutltipliziere $14$ mit $2$ .

$\frac{28 + 3 \cdot 3}{6}$

Schritt 6.3.20.2

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$\frac{28 + 9}{6}$

Schritt 6.3.20.3

Addiere $28$ und $9$ .

$\frac{37}{6}$

Schritt 7

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{37}{6}$

Dezimalform:

$6.1\overline{6}$

Darstellung als gemischte Zahl:

$6 \frac{1}{6}$

Schritt 8

Gib DEINE Aufgabe ein