Analysis Beispiele

$f (x) = x^{4} + 2 x^{2} - 8 x$

Schritt 1

Die Funktion $F (x)$ kann bestimmt werden, indem das unbestimmte Integral der Ableitung $f (x)$ ermittelt wird.

$F (x) = \int f (x) d x$

Schritt 2

Stelle das Integral auf, um zu lösen.

$F (x) = \int x^{4} + 2 x^{2} - 8 x d x$

Schritt 3

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int x^{4} d x + \int 2 x^{2} d x + \int - 8 x d x$

Schritt 4

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{4}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{5} x^{5}$ .

$\frac{1}{5} x^{5} + C + \int 2 x^{2} d x + \int - 8 x d x$

Schritt 5

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $2$ aus dem Integral.

$\frac{1}{5} x^{5} + C + 2 \int x^{2} d x + \int - 8 x d x$

Schritt 6

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{2}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\frac{1}{5} x^{5} + C + 2 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + \int - 8 x d x$

Schritt 7

Da $- 8$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 8$ aus dem Integral.

$\frac{1}{5} x^{5} + C + 2 (\frac{1}{3} x^{3} + C) - 8 \int x d x$

Schritt 8

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{5} x^{5} + C + 2 (\frac{1}{3} x^{3} + C) - 8 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

Schritt 9

Vereinfache.

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Schritt 9.1

Vereinfache.

$\frac{x^{5}}{5} + \frac{2 x^{3}}{3} - 8 (\frac{1}{2} x^{2}) + C$

Schritt 9.2

Vereinfache.

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Schritt 9.2.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $x^{2}$ .

$\frac{x^{5}}{5} + \frac{2 x^{3}}{3} - 8 \frac{x^{2}}{2} + C$

Schritt 9.2.2

Kombiniere $- 8$ und $\frac{x^{2}}{2}$ .

$\frac{x^{5}}{5} + \frac{2 x^{3}}{3} + \frac{- 8 x^{2}}{2} + C$

Schritt 9.2.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 8$ und $2$ .

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Schritt 9.2.3.1

Faktorisiere $2$ aus $- 8 x^{2}$ heraus.

$\frac{x^{5}}{5} + \frac{2 x^{3}}{3} + \frac{2 (- 4 x^{2})}{2} + C$

Schritt 9.2.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 9.2.3.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$\frac{x^{5}}{5} + \frac{2 x^{3}}{3} + \frac{2 (- 4 x^{2})}{2 (1)} + C$

Schritt 9.2.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x^{5}}{5} + \frac{2 x^{3}}{3} + \frac{2 (- 4 x^{2})}{2 \cdot 1} + C$

Schritt 9.2.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{x^{5}}{5} + \frac{2 x^{3}}{3} + \frac{- 4 x^{2}}{1} + C$

Schritt 9.2.3.2.4

Dividiere $- 4 x^{2}$ durch $1$ .

$\frac{x^{5}}{5} + \frac{2 x^{3}}{3} - 4 x^{2} + C$

Schritt 9.3

Stelle die Terme um.

$\frac{1}{5} x^{5} + \frac{2}{3} x^{3} - 4 x^{2} + C$

Schritt 10

Die Lösung ist die Stammfunktion der Funktion $f (x) = x^{4} + 2 x^{2} - 8 x$ .

$F (x) =$ $\frac{1}{5} x^{5} + \frac{2}{3} x^{3} - 4 x^{2} + C$

Gib DEINE Aufgabe ein