Analysis Beispiele

$\frac{d y}{d x} - x = x^{2}$ , $(- 2, 2)$

Schritt 1

Separiere die Variablen.

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Schritt 1.1

Addiere $x$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{d y}{d x} = x^{2} + x$

Schritt 1.2

Schreibe die Gleichung um.

$d y = (x^{2} + x) d x$

Schritt 2

Integriere beide Seiten.

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Schritt 2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int d y = \int x^{2} + x d x$

Schritt 2.2

Wende die Konstantenregel an.

$y + C_{1} = \int x^{2} + x d x$

Schritt 2.3

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$y + C_{1} = \int x^{2} d x + \int x d x$

Schritt 2.3.2

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{2}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{3} x^{3} + C_{2} + \int x d x$

Schritt 2.3.3

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{3} x^{3} + C_{2} + \frac{1}{2} x^{2} + C_{3}$

Schritt 2.3.4

Vereinfache.

$y + C_{1} = \frac{1}{3} x^{3} + \frac{1}{2} x^{2} + C_{4}$

Schritt 2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $K$ zusammen.

$y = \frac{1}{3} x^{3} + \frac{1}{2} x^{2} + K$

Schritt 3

Verwende die Anfangsbedingung um die Werte für $K$ zu finden indem $- 2$ für $x$ und $2$ für $y$ in $y = \frac{1}{3} x^{3} + \frac{1}{2} x^{2} + K$ ersetzt wird.

$2 = \frac{1}{3} {(- 2)}^{3} + \frac{1}{2} {(- 2)}^{2} + K$

Schritt 4

Löse nach $K$ auf.

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Schritt 4.1

Schreibe die Gleichung als $\frac{1}{3} \cdot {(- 2)}^{3} + \frac{1}{2} \cdot {(- 2)}^{2} + K = 2$ um.

$\frac{1}{3} \cdot {(- 2)}^{3} + \frac{1}{2} \cdot {(- 2)}^{2} + K = 2$

Schritt 4.2

Vereinfache $\frac{1}{3} \cdot {(- 2)}^{3} + \frac{1}{2} \cdot {(- 2)}^{2} + K$ .

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Schritt 4.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.2.1.1

Potenziere $- 2$ mit $3$ .

$\frac{1}{3} \cdot - 8 + \frac{1}{2} \cdot {(- 2)}^{2} + K = 2$

Schritt 4.2.1.2

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $- 8$ .

$\frac{- 8}{3} + \frac{1}{2} \cdot {(- 2)}^{2} + K = 2$

Schritt 4.2.1.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{8}{3} + \frac{1}{2} \cdot {(- 2)}^{2} + K = 2$

Schritt 4.2.1.4

Potenziere $- 2$ mit $2$ .

$- \frac{8}{3} + \frac{1}{2} \cdot 4 + K = 2$

Schritt 4.2.1.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.2.1.5.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$- \frac{8}{3} + \frac{1}{2} \cdot (2 (2)) + K = 2$

Schritt 4.2.1.5.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- \frac{8}{3} + \frac{1}{2} \cdot (2 \cdot 2) + K = 2$

Schritt 4.2.1.5.3

Forme den Ausdruck um.

$- \frac{8}{3} + 2 + K = 2$

Schritt 4.2.2

Um $2$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{8}{3} + 2 \cdot \frac{3}{3} + K = 2$

Schritt 4.2.3

Kombiniere $2$ und $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{8}{3} + \frac{2 \cdot 3}{3} + K = 2$

Schritt 4.2.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{- 8 + 2 \cdot 3}{3} + K = 2$

Schritt 4.2.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.2.5.1

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$\frac{- 8 + 6}{3} + K = 2$

Schritt 4.2.5.2

Addiere $- 8$ und $6$ .

$\frac{- 2}{3} + K = 2$

Schritt 4.2.6

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{2}{3} + K = 2$

Schritt 4.3

Bringe alle Terme, die nicht $K$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 4.3.1

Addiere $\frac{2}{3}$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$K = 2 + \frac{2}{3}$

Schritt 4.3.2

Um $2$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$K = 2 \cdot \frac{3}{3} + \frac{2}{3}$

Schritt 4.3.3

Kombiniere $2$ und $\frac{3}{3}$ .

$K = \frac{2 \cdot 3}{3} + \frac{2}{3}$

Schritt 4.3.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$K = \frac{2 \cdot 3 + 2}{3}$

Schritt 4.3.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.3.5.1

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$K = \frac{6 + 2}{3}$

Schritt 4.3.5.2

Addiere $6$ und $2$ .

$K = \frac{8}{3}$

Schritt 5

Setze $\frac{8}{3}$ für $K$ in $y = \frac{1}{3} x^{3} + \frac{1}{2} x^{2} + K$ ein und vereinfache.

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Schritt 5.1

Ersetze $K$ durch $\frac{8}{3}$ .

$y = \frac{1}{3} x^{3} + \frac{1}{2} x^{2} + \frac{8}{3}$

Schritt 5.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.2.1

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $x^{3}$ .

$y = \frac{x^{3}}{3} + \frac{1}{2} x^{2} + \frac{8}{3}$

Schritt 5.2.2

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $x^{2}$ .

$y = \frac{x^{3}}{3} + \frac{x^{2}}{2} + \frac{8}{3}$

Gib DEINE Aufgabe ein