Analysis Beispiele

$\frac{d y}{d x} + 2 x y = x^{2} y^{2}$

Schritt 1

Um die Differentialgleichung zu lösen, sei $v = y^{1 - n}$ wo $n$ der Exponent von $y^{2}$ ist.

$v = y^{- 1}$

Schritt 2

Löse die Gleichung nach $y$ auf.

$y = v^{- 1}$

Schritt 3

Nimm die Ableitung von $y$ in Gedenken an $x$ .

$y' = v^{- 1}$

Schritt 4

Nimm die Ableitung von $v^{- 1}$ in Gedenken an $x$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1

Nimm die Ableitung von $v^{- 1}$ .

$y' = \frac{d}{d x} [v^{- 1}]$

Schritt 4.2

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$y' = \frac{d}{d x} [\frac{1}{v}]$

Schritt 4.3

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = 1$ und $g (x) = v$ .

$y' = \frac{v \frac{d}{d x} [1] - 1 \cdot 1 \frac{d}{d x} [v]}{v^{2}}$

Schritt 4.4

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.4.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$y' = \frac{v \frac{d}{d x} [1] - \frac{d}{d x} [v]}{v^{2}}$

Schritt 4.4.2

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$y' = \frac{v \cdot 0 - \frac{d}{d x} [v]}{v^{2}}$

Schritt 4.4.3

Vereinfache den Ausdruck.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.4.3.1

Mutltipliziere $v$ mit $0$ .

$y' = \frac{0 - \frac{d}{d x} [v]}{v^{2}}$

Schritt 4.4.3.2

Subtrahiere $\frac{d}{d x} [v]$ von $0$ .

$y' = \frac{- \frac{d}{d x} [v]}{v^{2}}$

Schritt 4.4.3.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y' = - \frac{\frac{d}{d x} [v]}{v^{2}}$

Schritt 4.5

Schreibe $\frac{d}{d x} [v]$ als $v'$ um.

$y' = - \frac{v'}{v^{2}}$

Schritt 5

Setze $- \frac{v'}{v^{2}}$ für $\frac{d y}{d x}$ und $v^{- 1}$ für $y$ in die ursprüngliche Gleichung $\frac{d y}{d x} + 2 x y = x^{2} y^{2}$ ein.

$- \frac{v'}{v^{2}} + 2 x v^{- 1} = x^{2} {(v^{- 1})}^{2}$

Schritt 6

Löse die substituierte Differentialgleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.1

Schreibe die Differentialgleichung als $\frac{d v}{d x} + M (x) v = Q (x)$ um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.1.1

Schreibe die Gleichung als $M (x) \frac{d v}{d x} + P (x) v = Q (x)$ um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.1.1.1

Multipliziere jeden Term in $- \frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}} + 2 x v^{- 1} = x^{2} {(v^{- 1})}^{2}$ mit $- v^{2}$ um die Brüche zu eliminieren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.1.1.1.1

Multipliziere jeden Term in $- \frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}} + 2 x v^{- 1} = x^{2} {(v^{- 1})}^{2}$ mit $- v^{2}$ .

$- \frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}} (- v^{2}) + 2 x v^{- 1} (- v^{2}) = x^{2} {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

Schritt 6.1.1.1.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.1.1.1.2.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.1.1.1.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $v^{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.1.1.1.2.1.1.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}}$ in den Zähler.

$\frac{- \frac{d v}{d x}}{v^{2}} (- v^{2}) + 2 x v^{- 1} (- v^{2}) = x^{2} {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

Schritt 6.1.1.1.2.1.1.2

Faktorisiere $v^{2}$ aus $- v^{2}$ heraus.

$\frac{- \frac{d v}{d x}}{v^{2}} (v^{2} \cdot - 1) + 2 x v^{- 1} (- v^{2}) = x^{2} {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

Schritt 6.1.1.1.2.1.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- \frac{d v}{d x}}{v^{2}} (v^{2} \cdot - 1) + 2 x v^{- 1} (- v^{2}) = x^{2} {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

Schritt 6.1.1.1.2.1.1.4

Forme den Ausdruck um.

$- \frac{d v}{d x} \cdot - 1 + 2 x v^{- 1} (- v^{2}) = x^{2} {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

Schritt 6.1.1.1.2.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$1 \frac{d v}{d x} + 2 x v^{- 1} (- v^{2}) = x^{2} {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

Schritt 6.1.1.1.2.1.3

Mutltipliziere $\frac{d v}{d x}$ mit $1$ .

$\frac{d v}{d x} + 2 x v^{- 1} (- v^{2}) = x^{2} {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

Schritt 6.1.1.1.2.1.4

Multipliziere $v^{- 1}$ mit $v^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.1.1.1.2.1.4.1

Bewege $v^{2}$ .

$\frac{d v}{d x} + 2 x (v^{2} v^{- 1}) \cdot - 1 = x^{2} {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

Schritt 6.1.1.1.2.1.4.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{d v}{d x} + 2 x v^{2 - 1} \cdot - 1 = x^{2} {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

Schritt 6.1.1.1.2.1.4.3

Subtrahiere $1$ von $2$ .

$\frac{d v}{d x} + 2 x v^{1} \cdot - 1 = x^{2} {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

Schritt 6.1.1.1.2.1.5

Vereinfache $2 x v^{1} \cdot - 1$ .

$\frac{d v}{d x} + 2 x v \cdot - 1 = x^{2} {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

Schritt 6.1.1.1.2.1.6

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{d v}{d x} - 2 x v = x^{2} {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

Schritt 6.1.1.1.3

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.1.1.1.3.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{d v}{d x} - 2 x v = - x^{2} {(v^{- 1})}^{2} v^{2}$

Schritt 6.1.1.1.3.2

Multipliziere die Exponenten in ${(v^{- 1})}^{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.1.1.1.3.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{d v}{d x} - 2 x v = - x^{2} v^{- 1 \cdot 2} v^{2}$

Schritt 6.1.1.1.3.2.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{d v}{d x} - 2 x v = - x^{2} v^{- 2} v^{2}$

Schritt 6.1.1.1.3.3

Multipliziere $v^{- 2}$ mit $v^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.1.1.1.3.3.1

Bewege $v^{2}$ .

$\frac{d v}{d x} - 2 x v = - x^{2} (v^{2} v^{- 2})$

Schritt 6.1.1.1.3.3.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{d v}{d x} - 2 x v = - x^{2} v^{2 - 2}$

Schritt 6.1.1.1.3.3.3

Subtrahiere $2$ von $2$ .

$\frac{d v}{d x} - 2 x v = - x^{2} v^{0}$

Schritt 6.1.1.1.3.4

Vereinfache $- x^{2} v^{0}$ .

$\frac{d v}{d x} - 2 x v = - x^{2}$

Schritt 6.1.1.2

Stelle die Terme um.

$\frac{d v}{d x} - 2 v x = - x^{2}$

Schritt 6.1.2

Faktorisiere $v$ aus $- 2 v x$ heraus.

$\frac{d v}{d x} + v (- 2 x) = - x^{2}$

Schritt 6.1.3

Stelle $v$ und $- 2 x$ um.

$\frac{d v}{d x} - 2 x v = - x^{2}$

Schritt 6.2

Der Integrationsfaktor ist definiert durch die Formel $e^{\int P (x) d x}$ , wobei $P (x) = - 2 x$ gilt.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.2.1

Stelle das Integral auf.

$e^{\int - 2 x d x}$

Schritt 6.2.2

Integriere $- 2 x$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.2.2.1

Da $- 2$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 2$ aus dem Integral.

$e^{- 2 \int x d x}$

Schritt 6.2.2.2

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$e^{- 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)}$

Schritt 6.2.2.3

Vereinfache die Lösung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.2.2.3.1

Schreibe $- 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$ als $- 2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C$ um.

$e^{- 2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C}$

Schritt 6.2.2.3.2

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.2.2.3.2.1

Kombiniere $- 2$ und $\frac{1}{2}$ .

$e^{\frac{- 2}{2} x^{2} + C}$

Schritt 6.2.2.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 2$ und $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.2.2.3.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $- 2$ heraus.

$e^{\frac{2 \cdot - 1}{2} x^{2} + C}$

Schritt 6.2.2.3.2.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.2.2.3.2.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$e^{\frac{2 \cdot - 1}{2 (1)} x^{2} + C}$

Schritt 6.2.2.3.2.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$e^{\frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1} x^{2} + C}$

Schritt 6.2.2.3.2.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$e^{\frac{- 1}{1} x^{2} + C}$

Schritt 6.2.2.3.2.2.2.4

Dividiere $- 1$ durch $1$ .

$e^{- x^{2} + C}$

Schritt 6.2.3

Entferne die Konstante der Integration.

$e^{- x^{2}}$

Schritt 6.3

Multipliziere jeden Ausdruck mit $e^{- x^{2}}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.3.1

Multipliziere jeden Ausdruck mit $e^{- x^{2}}$ .

$e^{- x^{2}} \frac{d v}{d x} + e^{- x^{2}} (- 2 x v) = e^{- x^{2}} (- x^{2})$

Schritt 6.3.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$e^{- x^{2}} \frac{d v}{d x} - 2 e^{- x^{2}} (x v) = e^{- x^{2}} (- x^{2})$

Schritt 6.3.3

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$e^{- x^{2}} \frac{d v}{d x} - 2 e^{- x^{2}} (x v) = - e^{- x^{2}} x^{2}$

Schritt 6.3.4

Stelle die Faktoren in $e^{- x^{2}} \frac{d v}{d x} - 2 e^{- x^{2}} (x v) = - e^{- x^{2}} x^{2}$ um.

$e^{- x^{2}} \frac{d v}{d x} - 2 x v e^{- x^{2}} = - x^{2} e^{- x^{2}}$

Schritt 6.4

Schreibe die linke Seite als ein Ergebnis der Produktdifferenzierung.

$\frac{d}{d x} [e^{- x^{2}} v] = - x^{2} e^{- x^{2}}$

Schritt 6.5

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{d}{d x} [e^{- x^{2}} v] d x = \int - x^{2} e^{- x^{2}} d x$

Schritt 6.6

Integriere die linke Seite.

$e^{- x^{2}} v = \int - x^{2} e^{- x^{2}} d x$

Schritt 6.7

Integriere die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.7.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$e^{- x^{2}} v = - \int x^{2} e^{- x^{2}} d x$

Schritt 6.7.2

Sei $u_{1} = - x^{2}$ . Dann ist $d u_{1} = - 2 x d x$ , folglich $- \frac{1}{2} d u_{1} = x d x$ . Forme um unter Verwendung von $u_{1}$ und $d$ $u_{1}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.7.2.1

Es sei $u_{1} = - x^{2}$ . Ermittle $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.7.2.1.1

Differenziere $- x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Schritt 6.7.2.1.2

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x^{2}$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 6.7.2.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$- (2 x)$

Schritt 6.7.2.1.4

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$- 2 x$

Schritt 6.7.2.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u_{1}$ und $d u_{1}$ neu.

$e^{- x^{2}} v = - \int \sqrt{- u_{1}} e^{u_{1}} \frac{1}{- 2} d u_{1}$

Schritt 6.7.3

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.7.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$e^{- x^{2}} v = - \int \sqrt{- u_{1}} e^{u_{1}} (- \frac{1}{2}) d u_{1}$

Schritt 6.7.3.2

Kombiniere $\sqrt{- u_{1}}$ und $\frac{1}{2}$ .

$e^{- x^{2}} v = - \int e^{u_{1}} (- \frac{\sqrt{- u_{1}}}{2}) d u_{1}$

Schritt 6.7.3.3

Kombiniere $e^{u_{1}}$ und $\frac{\sqrt{- u_{1}}}{2}$ .

$e^{- x^{2}} v = - \int - \frac{e^{u_{1}} \sqrt{- u_{1}}}{2} d u_{1}$

Schritt 6.7.4

Da $- 1$ konstant bezüglich $u_{1}$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$e^{- x^{2}} v = - - \int \frac{e^{u_{1}} \sqrt{- u_{1}}}{2} d u_{1}$

Schritt 6.7.5

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.7.5.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$e^{- x^{2}} v = 1 \int \frac{e^{u_{1}} \sqrt{- u_{1}}}{2} d u_{1}$

Schritt 6.7.5.2

Mutltipliziere $\int \frac{e^{u_{1}} \sqrt{- u_{1}}}{2} d u_{1}$ mit $1$ .

$e^{- x^{2}} v = \int \frac{e^{u_{1}} \sqrt{- u_{1}}}{2} d u_{1}$

Schritt 6.7.6

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $u_{1}$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$e^{- x^{2}} v = \frac{1}{2} \int e^{u_{1}} \sqrt{- u_{1}} d u_{1}$

Schritt 6.7.7

Integriere partiell durch Anwendung der Formel $\int u d v = u v - \int v d u$ , mit $u = e^{u_{1}}$ und $d v = \sqrt{- u_{1}}$ .

$e^{- x^{2}} v = \frac{1}{2} (e^{u_{1}} (- \frac{2}{3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}) - \int - \frac{2}{3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} e^{u_{1}} d u_{1})$

Schritt 6.7.8

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.7.8.1

Kombiniere ${u_{2}}^{\frac{3}{2}}$ und $\frac{2}{3}$ .

$e^{- x^{2}} v = \frac{1}{2} (e^{u_{1}} (- \frac{{u_{2}}^{\frac{3}{2}} \cdot 2}{3}) - \int - \frac{2}{3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} e^{u_{1}} d u_{1})$

Schritt 6.7.8.2

Kombiniere $e^{u_{1}}$ und $\frac{{u_{2}}^{\frac{3}{2}} \cdot 2}{3}$ .

$e^{- x^{2}} v = \frac{1}{2} (- \frac{e^{u_{1}} ({u_{2}}^{\frac{3}{2}} \cdot 2)}{3} - \int - \frac{2}{3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} e^{u_{1}} d u_{1})$

Schritt 6.7.8.3

Bringe $2$ auf die linke Seite von ${u_{2}}^{\frac{3}{2}}$ .

$e^{- x^{2}} v = \frac{1}{2} (- \frac{e^{u_{1}} (2 \cdot {u_{2}}^{\frac{3}{2}})}{3} - \int - \frac{2}{3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} e^{u_{1}} d u_{1})$

Schritt 6.7.8.4

Bringe $2$ auf die linke Seite von $e^{u_{1}}$ .

$e^{- x^{2}} v = \frac{1}{2} (- \frac{2 \cdot e^{u_{1}} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} - \int - \frac{2}{3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} e^{u_{1}} d u_{1})$

Schritt 6.7.8.5

Kombiniere ${u_{2}}^{\frac{3}{2}}$ und $\frac{2}{3}$ .

$e^{- x^{2}} v = \frac{1}{2} (- \frac{2 e^{u_{1}} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} - \int - \frac{{u_{2}}^{\frac{3}{2}} \cdot 2}{3} e^{u_{1}} d u_{1})$

Schritt 6.7.8.6

Kombiniere $e^{u_{1}}$ und $\frac{{u_{2}}^{\frac{3}{2}} \cdot 2}{3}$ .

$e^{- x^{2}} v = \frac{1}{2} (- \frac{2 e^{u_{1}} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} - \int - \frac{e^{u_{1}} ({u_{2}}^{\frac{3}{2}} \cdot 2)}{3} d u_{1})$

Schritt 6.7.8.7

Bringe $2$ auf die linke Seite von ${u_{2}}^{\frac{3}{2}}$ .

$e^{- x^{2}} v = \frac{1}{2} (- \frac{2 e^{u_{1}} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} - \int - \frac{e^{u_{1}} (2 \cdot {u_{2}}^{\frac{3}{2}})}{3} d u_{1})$

Schritt 6.7.8.8

Bringe $2$ auf die linke Seite von $e^{u_{1}}$ .

$e^{- x^{2}} v = \frac{1}{2} (- \frac{2 e^{u_{1}} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} - \int - \frac{2 e^{u_{1}} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} d u_{1})$

Schritt 6.7.9

Da $- 1$ konstant bezüglich $u_{1}$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$e^{- x^{2}} v = \frac{1}{2} (- \frac{2 e^{u_{1}} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} - - \int \frac{2 e^{u_{1}} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} d u_{1})$

Schritt 6.7.10

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.7.10.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$e^{- x^{2}} v = \frac{1}{2} (- \frac{2 e^{u_{1}} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} + 1 \int \frac{2 e^{u_{1}} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} d u_{1})$

Schritt 6.7.10.2

Mutltipliziere $\int \frac{2 e^{u_{1}} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} d u_{1}$ mit $1$ .

$e^{- x^{2}} v = \frac{1}{2} (- \frac{2 e^{u_{1}} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} + \int \frac{2 e^{u_{1}} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} d u_{1})$

Schritt 6.7.11

Da $\frac{2 {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3}$ konstant bezüglich $u_{1}$ ist, ziehe $\frac{2 {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3}$ aus dem Integral.

$e^{- x^{2}} v = \frac{1}{2} (- \frac{2 e^{u_{1}} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{2 {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} \int e^{u_{1}} d u_{1})$

Schritt 6.7.12

Das Integral von $e^{u_{1}}$ nach $u_{1}$ ist $e^{u_{1}}$ .

$e^{- x^{2}} v = \frac{1}{2} (- \frac{2 e^{u_{1}} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{2 {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} (e^{u_{1}} + C))$

Schritt 6.7.13

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.7.13.1

Schreibe $\frac{1}{2} (- \frac{2 e^{u_{1}} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{2 {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} (e^{u_{1}} + C))$ als $\frac{1}{2} (- \frac{2}{3} e^{u_{1}} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} + \frac{2}{3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} e^{u_{1}}) + C$ um.

$e^{- x^{2}} v = \frac{1}{2} (- \frac{2}{3} e^{u_{1}} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} + \frac{2}{3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} e^{u_{1}}) + C$

Schritt 6.7.13.2

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.7.13.2.1

Kombiniere $e^{u_{1}}$ und $\frac{2}{3}$ .

$e^{- x^{2}} v = \frac{1}{2} (- \frac{e^{u_{1}} \cdot 2}{3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} + \frac{2}{3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} e^{u_{1}}) + C$

Schritt 6.7.13.2.2

Kombiniere ${u_{2}}^{\frac{3}{2}}$ und $\frac{e^{u_{1}} \cdot 2}{3}$ .

$e^{- x^{2}} v = \frac{1}{2} (- \frac{{u_{2}}^{\frac{3}{2}} (e^{u_{1}} \cdot 2)}{3} + \frac{2}{3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} e^{u_{1}}) + C$

Schritt 6.7.13.2.3

Bringe $2$ auf die linke Seite von $e^{u_{1}}$ .

$e^{- x^{2}} v = \frac{1}{2} (- \frac{{u_{2}}^{\frac{3}{2}} (2 \cdot e^{u_{1}})}{3} + \frac{2}{3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} e^{u_{1}}) + C$

Schritt 6.7.13.2.4

Bringe $2$ auf die linke Seite von ${u_{2}}^{\frac{3}{2}}$ .

$e^{- x^{2}} v = \frac{1}{2} (- \frac{2 \cdot {u_{2}}^{\frac{3}{2}} e^{u_{1}}}{3} + \frac{2}{3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} e^{u_{1}}) + C$

Schritt 6.7.13.2.5

Kombiniere $\frac{2}{3}$ und ${u_{2}}^{\frac{3}{2}}$ .

$e^{- x^{2}} v = \frac{1}{2} (- \frac{2 {u_{2}}^{\frac{3}{2}} e^{u_{1}}}{3} + \frac{2 {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} e^{u_{1}}) + C$

Schritt 6.7.13.2.6

Kombiniere $\frac{2 {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3}$ und $e^{u_{1}}$ .

$e^{- x^{2}} v = \frac{1}{2} (- \frac{2 {u_{2}}^{\frac{3}{2}} e^{u_{1}}}{3} + \frac{2 {u_{2}}^{\frac{3}{2}} e^{u_{1}}}{3}) + C$

Schritt 6.7.13.2.7

Addiere $- \frac{2 {u_{2}}^{\frac{3}{2}} e^{u_{1}}}{3}$ und $\frac{2 {u_{2}}^{\frac{3}{2}} e^{u_{1}}}{3}$ .

$e^{- x^{2}} v = \frac{1}{2} \cdot 0 + C$

Schritt 6.7.13.2.8

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $0$ .

$e^{- x^{2}} v = 0 + C$

Schritt 6.7.13.2.9

Addiere $0$ und $C$ .

$e^{- x^{2}} v = C$

Schritt 6.8

Teile jeden Ausdruck in $e^{- x^{2}} v = C$ durch $e^{- x^{2}}$ und vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.8.1

Teile jeden Ausdruck in $e^{- x^{2}} v = C$ durch $e^{- x^{2}}$ .

$\frac{e^{- x^{2}} v}{e^{- x^{2}}} = \frac{C}{e^{- x^{2}}}$

Schritt 6.8.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.8.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $e^{- x^{2}}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.8.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{e^{- x^{2}} v}{e^{- x^{2}}} = \frac{C}{e^{- x^{2}}}$

Schritt 6.8.2.1.2

Dividiere $v$ durch $1$ .

$v = \frac{C}{e^{- x^{2}}}$

Schritt 7

Ersetze $v$ durch $y^{- 1}$ .

$y^{- 1} = \frac{C}{e^{- x^{2}}}$

Gib DEINE Aufgabe ein