Analysis Beispiele

$3 y'' + y = 0$ , $y = \sin (k x)$

Schritt 1

Ermittle $y'$ .

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Schritt 1.1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\sin (k x))$

Schritt 1.2

Die Ableitung von $y$ nach $x$ ist $y'$ .

$y'$

Schritt 1.3

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 1.3.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \sin (x)$ und $g (x) = k x$ .

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Schritt 1.3.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $k x$ .

$\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [k x]$

Schritt 1.3.1.2

Die Ableitung von $\sin (u)$ nach $u$ ist $\cos (u)$ .

$\cos (u) \frac{d}{d x} [k x]$

Schritt 1.3.1.3

Ersetze alle $u$ durch $k x$ .

$\cos (k x) \frac{d}{d x} [k x]$

Schritt 1.3.2

Differenziere.

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Schritt 1.3.2.1

Da $k$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $k x$ nach $x$ gleich $k \frac{d}{d x} [x]$ .

$\cos (k x) (k \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 1.3.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\cos (k x) (k \cdot 1)$

Schritt 1.3.2.3

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 1.3.2.3.1

Mutltipliziere $k$ mit $1$ .

$\cos (k x) k$

Schritt 1.3.2.3.2

Stelle die Faktoren von $\cos (k x) k$ um.

$k \cos (k x)$

Schritt 1.4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$y' = k \cos (k x)$

Schritt 2

Ermittle $y''$ .

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Schritt 2.1

Bestimme die Ableitung.

$y'' = \frac{d}{d x} [k \cos (k x)]$

Schritt 2.2

Da $k$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $k \cos (k x)$ nach $x$ gleich $k \frac{d}{d x} [\cos (k x)]$ .

$y'' = k \frac{d}{d x} [\cos (k x)]$

Schritt 2.3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \cos (x)$ und $g (x) = k x$ .

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Schritt 2.3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $k x$ .

$y'' = k (\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [k x])$

Schritt 2.3.2

Die Ableitung von $\cos (u)$ nach $u$ ist $- \sin (u)$ .

$y'' = k (- \sin (u) \frac{d}{d x} [k x])$

Schritt 2.3.3

Ersetze alle $u$ durch $k x$ .

$y'' = k (- \sin (k x) \frac{d}{d x} [k x])$

Schritt 2.4

Da $k$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $k x$ nach $x$ gleich $k \frac{d}{d x} [x]$ .

$y'' = k (- \sin (k x) (k \frac{d}{d x} [x]))$

Schritt 2.5

Potenziere $k$ mit $1$ .

$y'' = k^{1} k (- \sin (k x) (\frac{d}{d x} [x]))$

Schritt 2.6

Potenziere $k$ mit $1$ .

$y'' = k^{1} k^{1} (- \sin (k x) (\frac{d}{d x} [x]))$

Schritt 2.7

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$y'' = k^{1 + 1} (- \sin (k x) (\frac{d}{d x} [x]))$

Schritt 2.8

Addiere $1$ und $1$ .

$y'' = k^{2} (- \sin (k x) (\frac{d}{d x} [x]))$

Schritt 2.9

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$y'' = k^{2} (- \sin (k x) \cdot 1)$

Schritt 2.10

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$y'' = k^{2} (- \sin (k x))$

Schritt 2.11

Stelle die Faktoren von $k^{2} (- \sin (k x))$ um.

$y'' = - k^{2} \sin (k x)$

Schritt 3

Setze in die gegebene Differentialgleich ein.

$3 (- k^{2} \sin (k x)) + y = 0$

Schritt 4

Ersetze $\sin (k x)$ durch $y$ .

$3 (- k^{2} y) + y = 0$

Schritt 5

Löse nach $k$ auf.

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Schritt 5.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$- 3 k^{2} y + y = 0$

Schritt 5.2

Subtrahiere $y$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- 3 k^{2} y = - y$

Schritt 5.3

Teile jeden Ausdruck in $- 3 k^{2} y = - y$ durch $- 3 y$ und vereinfache.

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Schritt 5.3.1

Teile jeden Ausdruck in $- 3 k^{2} y = - y$ durch $- 3 y$ .

$\frac{- 3 k^{2} y}{- 3 y} = \frac{- y}{- 3 y}$

Schritt 5.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 3$ .

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Schritt 5.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 3 k^{2} y}{- 3 y} = \frac{- y}{- 3 y}$

Schritt 5.3.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{k^{2} y}{y} = \frac{- y}{- 3 y}$

Schritt 5.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y$ .

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Schritt 5.3.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{k^{2} y}{y} = \frac{- y}{- 3 y}$

Schritt 5.3.2.2.2

Dividiere $k^{2}$ durch $1$ .

$k^{2} = \frac{- y}{- 3 y}$

Schritt 5.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.3.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y$ .

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Schritt 5.3.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$k^{2} = \frac{- y}{- 3 y}$

Schritt 5.3.3.1.2

Forme den Ausdruck um.

$k^{2} = \frac{- 1}{- 3}$

Schritt 5.3.3.2

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$k^{2} = \frac{1}{3}$

Schritt 5.4

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$k = \pm \sqrt{\frac{1}{3}}$

Schritt 5.5

Vereinfache $\pm \sqrt{\frac{1}{3}}$ .

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Schritt 5.5.1

Schreibe $\sqrt{\frac{1}{3}}$ als $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{3}}$ um.

$k = \pm \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{3}}$

Schritt 5.5.2

Jede Wurzel von $1$ ist $1$ .

$k = \pm \frac{1}{\sqrt{3}}$

Schritt 5.5.3

Mutltipliziere $\frac{1}{\sqrt{3}}$ mit $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$k = \pm \frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

Schritt 5.5.4

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 5.5.4.1

Mutltipliziere $\frac{1}{\sqrt{3}}$ mit $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$k = \pm \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Schritt 5.5.4.2

Potenziere $\sqrt{3}$ mit $1$ .

$k = \pm \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}$

Schritt 5.5.4.3

Potenziere $\sqrt{3}$ mit $1$ .

$k = \pm \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}$

Schritt 5.5.4.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$k = \pm \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Schritt 5.5.4.5

Addiere $1$ und $1$ .

$k = \pm \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

Schritt 5.5.4.6

Schreibe ${\sqrt{3}}^{2}$ als $3$ um.

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Schritt 5.5.4.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{3}$ als $3^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$k = \pm \frac{\sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 5.5.4.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$k = \pm \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 5.5.4.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$k = \pm \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 5.5.4.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.5.4.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$k = \pm \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 5.5.4.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$k = \pm \frac{\sqrt{3}}{3^{1}}$

Schritt 5.5.4.6.5

Berechne den Exponenten.

$k = \pm \frac{\sqrt{3}}{3}$

Schritt 5.6

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 5.6.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$k = \frac{\sqrt{3}}{3}$

Schritt 5.6.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$k = - \frac{\sqrt{3}}{3}$

Schritt 5.6.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$k = \frac{\sqrt{3}}{3}, - \frac{\sqrt{3}}{3}$

Schritt 6

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$k = \frac{\sqrt{3}}{3}, - \frac{\sqrt{3}}{3}$

Dezimalform:

$k = 0.57735026 \dots, - 0.57735026 \dots$

Gib DEINE Aufgabe ein