Analysis Beispiele

$x \frac{d y}{d x} = 4 y - 3$ , $y (1) = 1$

Schritt 1

Separiere die Variablen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1

Teile jeden Ausdruck in $x \frac{d y}{d x} = 4 y - 3$ durch $x$ und vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.1

Teile jeden Ausdruck in $x \frac{d y}{d x} = 4 y - 3$ durch $x$ .

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} = \frac{4 y}{x} + \frac{- 3}{x}$

Schritt 1.1.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} = \frac{4 y}{x} + \frac{- 3}{x}$

Schritt 1.1.2.1.2

Dividiere $\frac{d y}{d x}$ durch $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{4 y}{x} + \frac{- 3}{x}$

Schritt 1.1.3

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{d y}{d x} = \frac{4 y}{x} - \frac{3}{x}$

Schritt 1.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{d y}{d x} = \frac{4 y - 3}{x}$

Schritt 1.3

Multipliziere beide Seiten mit $\frac{1}{4 y - 3}$ .

$\frac{1}{4 y - 3} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{4 y - 3} \cdot \frac{4 y - 3}{x}$

Schritt 1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4 y - 3$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{4 y - 3} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{4 y - 3} \cdot \frac{4 y - 3}{x}$

Schritt 1.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{4 y - 3} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{x}$

Schritt 1.5

Schreibe die Gleichung um.

$\frac{1}{4 y - 3} d y = \frac{1}{x} d x$

Schritt 2

Integriere beide Seiten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{1}{4 y - 3} d y = \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 2.2

Integriere die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.1

Sei $u = 4 y - 3$ . Dann ist $d u = 4 d y$ , folglich $\frac{1}{4} d u = d y$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.1.1

Es sei $u = 4 y - 3$ . Ermittle $\frac{d u}{d y}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.1.1.1

Differenziere $4 y - 3$ .

$\frac{d}{d y} [4 y - 3]$

Schritt 2.2.1.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $4 y - 3$ nach $y$ $\frac{d}{d y} [4 y] + \frac{d}{d y} [- 3]$ .

$\frac{d}{d y} [4 y] + \frac{d}{d y} [- 3]$

Schritt 2.2.1.1.3

Berechne $\frac{d}{d y} [4 y]$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.1.1.3.1

Da $4$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $4 y$ nach $y$ gleich $4 \frac{d}{d y} [y]$ .

$4 \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 3]$

Schritt 2.2.1.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$4 \cdot 1 + \frac{d}{d y} [- 3]$

Schritt 2.2.1.1.3.3

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$4 + \frac{d}{d y} [- 3]$

Schritt 2.2.1.1.4

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.1.1.4.1

Da $- 3$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $- 3$ bezüglich $y$ gleich $0$ .

$4 + 0$

Schritt 2.2.1.1.4.2

Addiere $4$ und $0$ .

$4$

Schritt 2.2.1.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$\int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{4} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 2.2.2

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.2.1

Mutltipliziere $\frac{1}{u}$ mit $\frac{1}{4}$ .

$\int \frac{1}{u \cdot 4} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 2.2.2.2

Bringe $4$ auf die linke Seite von $u$ .

$\int \frac{1}{4 u} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 2.2.3

Da $\frac{1}{4}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{4}$ aus dem Integral.

$\frac{1}{4} \int \frac{1}{u} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 2.2.4

Das Integral von $\frac{1}{u}$ nach $u$ ist $\ln (| u |)$ .

$\frac{1}{4} (\ln (| u |) + C_{1}) = \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 2.2.5

Vereinfache.

$\frac{1}{4} \ln (| u |) + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 2.2.6

Ersetze alle $u$ durch $4 y - 3$ .

$\frac{1}{4} \ln (| 4 y - 3 |) + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 2.3

Das Integral von $\frac{1}{x}$ nach $x$ ist $\ln (| x |)$ .

$\frac{1}{4} \ln (| 4 y - 3 |) + C_{1} = \ln (| x |) + C_{2}$

Schritt 2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $C$ zusammen.

$\frac{1}{4} \ln (| 4 y - 3 |) = \ln (| x |) + C$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $4$ .

$4 (\frac{1}{4} \ln (| 4 y - 3 |)) = 4 (\ln (| x |) + C)$

Schritt 3.2

Vereinfache beide Seiten der Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.1

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.1.1

Vereinfache $4 (\frac{1}{4} \ln (| 4 y - 3 |))$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.1.1.1

Kombiniere $\frac{1}{4}$ und $\ln (| 4 y - 3 |)$ .

$4 \frac{\ln (| 4 y - 3 |)}{4} = 4 (\ln (| x |) + C)$

Schritt 3.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$4 \frac{\ln (| 4 y - 3 |)}{4} = 4 (\ln (| x |) + C)$

Schritt 3.2.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\ln (| 4 y - 3 |) = 4 (\ln (| x |) + C)$

Schritt 3.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\ln (| 4 y - 3 |) = 4 \ln (| x |) + 4 C$

Schritt 3.3

Bringe alle Terme, die einen Logarithmus enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

$\ln (| 4 y - 3 |) - 4 \ln (| x |) = 4 C$

Schritt 3.4

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.4.1

Vereinfache $\ln (| 4 y - 3 |) - 4 \ln (| x |)$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.4.1.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.4.1.1.1

Vereinfache $- 4 \ln (| x |)$ , indem du $4$ in den Logarithmus ziehst.

$\ln (| 4 y - 3 |) - \ln ({| x |}^{4}) = 4 C$

Schritt 3.4.1.1.2

Entferne den Absolutwert in ${| x |}^{4}$ , da Exponentation mit geradzahligen Potenzen immer in positiven Werten resultiert.

$\ln (| 4 y - 3 |) - \ln (x^{4}) = 4 C$

Schritt 3.4.1.2

Nutze die Quotienteneigenschaft von Logarithmen, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| 4 y - 3 |}{x^{4}}) = 4 C$

Schritt 3.5

Um nach $y$ aufzulösen, schreibe die Gleichung mithilfe der Logarithmengesetze um.

$e^{\ln (\frac{| 4 y - 3 |}{x^{4}})} = e^{4 C}$

Schritt 3.6

Schreibe $\ln (\frac{| 4 y - 3 |}{x^{4}}) = 4 C$ in eine Exponentialform indem du die Definition des Logarithmus verwendest. Wenn $x$ und $b$ positive reelle Zahlen sind und $b \neq 1$ ist, dann ist $\log_{b} (x) = y$ gleich $b^{y} = x$ .

$e^{4 C} = \frac{| 4 y - 3 |}{x^{4}}$

Schritt 3.7

Löse nach $y$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.7.1

Schreibe die Gleichung als $\frac{| 4 y - 3 |}{x^{4}} = e^{4 C}$ um.

$\frac{| 4 y - 3 |}{x^{4}} = e^{4 C}$

Schritt 3.7.2

Multipliziere beide Seiten mit $x^{4}$ .

$\frac{| 4 y - 3 |}{x^{4}} x^{4} = e^{4 C} x^{4}$

Schritt 3.7.3

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.7.3.1

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.7.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{4}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.7.3.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{| 4 y - 3 |}{x^{4}} x^{4} = e^{4 C} x^{4}$

Schritt 3.7.3.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$| 4 y - 3 | = e^{4 C} x^{4}$

Schritt 3.7.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.7.3.2.1

Stelle die Faktoren in $e^{4 C} x^{4}$ um.

$| 4 y - 3 | = x^{4} e^{4 C}$

Schritt 3.7.4

Löse nach $y$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.7.4.1

Entferne den Term mit dem absoluten Wert. Dies erzeugt ein $\pm$ auf der rechten Seite der Gleichung, da $| x | = \pm x$ .

$4 y - 3 = \pm x^{4} e^{4 C}$

Schritt 3.7.4.2

Addiere $3$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$4 y = \pm x^{4} e^{4 C} + 3$

Schritt 3.7.4.3

Teile jeden Ausdruck in $4 y = \pm x^{4} e^{4 C} + 3$ durch $4$ und vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.7.4.3.1

Teile jeden Ausdruck in $4 y = \pm x^{4} e^{4 C} + 3$ durch $4$ .

$\frac{4 y}{4} = \frac{\pm x^{4} e^{4 C}}{4} + \frac{3}{4}$

Schritt 3.7.4.3.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.7.4.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.7.4.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 y}{4} = \frac{\pm x^{4} e^{4 C}}{4} + \frac{3}{4}$

Schritt 3.7.4.3.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{\pm x^{4} e^{4 C}}{4} + \frac{3}{4}$

Schritt 4

Gruppiere die konstanten Terme.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1

Vereinfache die Konstante der Integration.

$y = \frac{\pm x^{4} C}{4} + \frac{3}{4}$

Schritt 4.2

Kombiniere Konstanten mit Plus oder Minus.

$y = \frac{C x^{4}}{4} + \frac{3}{4}$

Schritt 5

Verwende die Anfangsbedingung um die Werte für $C$ zu finden indem $1$ für $x$ und $1$ für $y$ in $y = \frac{C x^{4}}{4} + \frac{3}{4}$ ersetzt wird.

$1 = \frac{C \cdot 1^{4}}{4} + \frac{3}{4}$

Schritt 6

Löse nach $C$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.1

Schreibe die Gleichung als $\frac{C \cdot 1^{4}}{4} + \frac{3}{4} = 1$ um.

$\frac{C \cdot 1^{4}}{4} + \frac{3}{4} = 1$

Schritt 6.2

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.2.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\frac{C \cdot 1}{4} + \frac{3}{4} = 1$

Schritt 6.2.2

Mutltipliziere $C$ mit $1$ .

$\frac{C}{4} + \frac{3}{4} = 1$

Schritt 6.3

Bringe alle Terme, die nicht $C$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.3.1

Subtrahiere $\frac{3}{4}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{C}{4} = 1 - \frac{3}{4}$

Schritt 6.3.2

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$\frac{C}{4} = \frac{4}{4} - \frac{3}{4}$

Schritt 6.3.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{C}{4} = \frac{4 - 3}{4}$

Schritt 6.3.4

Subtrahiere $3$ von $4$ .

$\frac{C}{4} = \frac{1}{4}$

Schritt 6.4

Da der Ausdruck auf jeder Seite der Gleichung den gleichen Nenner hat, müssen die Zähler gleich sein.

$C = 1$

Schritt 7

Setze $1$ für $C$ in $y = \frac{C x^{4}}{4} + \frac{3}{4}$ ein und vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.1

Ersetze $C$ durch $1$ .

$y = \frac{1 x^{4}}{4} + \frac{3}{4}$

Schritt 7.2

Mutltipliziere $x^{4}$ mit $1$ .

$y = \frac{x^{4}}{4} + \frac{3}{4}$

Gib DEINE Aufgabe ein