Analysis Beispiele

$y = x^{2} + 5 x - 7$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (x^{2} + 5 x - 7)$

Schritt 2

Die Ableitung von $y$ nach $x$ ist $y'$ .

$y'$

Schritt 3

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Differenziere.

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Schritt 3.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} + 5 x - 7$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 7]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 7]$

Schritt 3.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 7]$

Schritt 3.2

Berechne $\frac{d}{d x} [5 x]$ .

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Schritt 3.2.1

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $5 x$ nach $x$ gleich $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 x + 5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 7]$

Schritt 3.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$2 x + 5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 7]$

Schritt 3.2.3

Mutltipliziere $5$ mit $1$ .

$2 x + 5 + \frac{d}{d x} [- 7]$

Schritt 3.3

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 3.3.1

Da $- 7$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 7$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$2 x + 5 + 0$

Schritt 3.3.2

Addiere $2 x + 5$ und $0$ .

$2 x + 5$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$y' = 2 x + 5$

Schritt 5

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = 2 x + 5$

Schritt 6

Setze $\frac{d y}{d x} = 0$ , löse dann nach $x$ , ausgedrückt mittels $y$ , auf.

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Schritt 6.1

Subtrahiere $5$ von beiden Seiten der Gleichung.

$2 x = - 5$

Schritt 6.2

Teile jeden Ausdruck in $2 x = - 5$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 6.2.1

Teile jeden Ausdruck in $2 x = - 5$ durch $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 5}{2}$

Schritt 6.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 6.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 5}{2}$

Schritt 6.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- 5}{2}$

Schritt 6.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.2.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = - \frac{5}{2}$

Schritt 7

Vereinfache ${(- \frac{5}{2})}^{2} + 5 (- \frac{5}{2}) - 7$ .

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Schritt 7.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 7.1.1

Wende die Exponentenregel ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ an, um den Exponenten zu verteilen.

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Schritt 7.1.1.1

Wende die Produktregel auf $- \frac{5}{2}$ an.

$y = {(- 1)}^{2} {(\frac{5}{2})}^{2} + 5 (- \frac{5}{2}) - 7$

Schritt 7.1.1.2

Wende die Produktregel auf $\frac{5}{2}$ an.

$y = {(- 1)}^{2} \frac{5^{2}}{2^{2}} + 5 (- \frac{5}{2}) - 7$

Schritt 7.1.2

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$y = 1 \frac{5^{2}}{2^{2}} + 5 (- \frac{5}{2}) - 7$

Schritt 7.1.3

Mutltipliziere $\frac{5^{2}}{2^{2}}$ mit $1$ .

$y = \frac{5^{2}}{2^{2}} + 5 (- \frac{5}{2}) - 7$

Schritt 7.1.4

Potenziere $5$ mit $2$ .

$y = \frac{25}{2^{2}} + 5 (- \frac{5}{2}) - 7$

Schritt 7.1.5

Potenziere $2$ mit $2$ .

$y = \frac{25}{4} + 5 (- \frac{5}{2}) - 7$

Schritt 7.1.6

Multipliziere $5 (- \frac{5}{2})$ .

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Schritt 7.1.6.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $5$ .

$y = \frac{25}{4} - 5 (\frac{5}{2}) - 7$

Schritt 7.1.6.2

Kombiniere $- 5$ und $\frac{5}{2}$ .

$y = \frac{25}{4} + \frac{- 5 \cdot 5}{2} - 7$

Schritt 7.1.6.3

Mutltipliziere $- 5$ mit $5$ .

$y = \frac{25}{4} + \frac{- 25}{2} - 7$

Schritt 7.1.7

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y = \frac{25}{4} - \frac{25}{2} - 7$

Schritt 7.2

Ermittle den gemeinsamen Nenner.

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Schritt 7.2.1

Mutltipliziere $\frac{25}{2}$ mit $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{25}{4} - (\frac{25}{2} \cdot \frac{2}{2}) - 7$

Schritt 7.2.2

Mutltipliziere $\frac{25}{2}$ mit $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{25}{4} - \frac{25 \cdot 2}{2 \cdot 2} - 7$

Schritt 7.2.3

Schreibe $- 7$ als einen Bruch mit dem Nenner $1$ .

$y = \frac{25}{4} - \frac{25 \cdot 2}{2 \cdot 2} + \frac{- 7}{1}$

Schritt 7.2.4

Mutltipliziere $\frac{- 7}{1}$ mit $\frac{4}{4}$ .

$y = \frac{25}{4} - \frac{25 \cdot 2}{2 \cdot 2} + \frac{- 7}{1} \cdot \frac{4}{4}$

Schritt 7.2.5

Mutltipliziere $\frac{- 7}{1}$ mit $\frac{4}{4}$ .

$y = \frac{25}{4} - \frac{25 \cdot 2}{2 \cdot 2} + \frac{- 7 \cdot 4}{4}$

Schritt 7.2.6

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$y = \frac{25}{4} - \frac{25 \cdot 2}{4} + \frac{- 7 \cdot 4}{4}$

Schritt 7.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y = \frac{25 - 25 \cdot 2 - 7 \cdot 4}{4}$

Schritt 7.4

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 7.4.1

Mutltipliziere $- 25$ mit $2$ .

$y = \frac{25 - 50 - 7 \cdot 4}{4}$

Schritt 7.4.2

Mutltipliziere $- 7$ mit $4$ .

$y = \frac{25 - 50 - 28}{4}$

Schritt 7.5

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 7.5.1

Subtrahiere $50$ von $25$ .

$y = \frac{- 25 - 28}{4}$

Schritt 7.5.2

Subtrahiere $28$ von $- 25$ .

$y = \frac{- 53}{4}$

Schritt 7.5.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y = - \frac{53}{4}$

Schritt 8

Ermittle die Punkte an denen $\frac{d y}{d x} = 0$ .

$(- \frac{5}{2}, - \frac{53}{4})$

Schritt 9

Gib DEINE Aufgabe ein