Bestimme, wo dy/dx gleich Null ist

$y = x^{4} - 8 x^{2}$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (x^{4} - 8 x^{2})$

Schritt 2

Die Ableitung von $y$ nach $x$ ist $y'$ .

$y'$

Schritt 3

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Differenziere.

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Schritt 3.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{4} - 8 x^{2}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 8 x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 8 x^{2}]$

Schritt 3.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 4$ .

$4 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 8 x^{2}]$

Schritt 3.2

Berechne $\frac{d}{d x} [- 8 x^{2}]$ .

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Schritt 3.2.1

Da $- 8$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 8 x^{2}$ nach $x$ gleich $- 8 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$4 x^{3} - 8 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 3.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$4 x^{3} - 8 (2 x)$

Schritt 3.2.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 8$ .

$4 x^{3} - 16 x$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$y' = 4 x^{3} - 16 x$

Schritt 5

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = 4 x^{3} - 16 x$

Schritt 6

Setze $\frac{d y}{d x} = 0$ , löse dann nach $x$ , ausgedrückt mittels $y$ , auf.

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Schritt 6.1

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 6.1.1

Faktorisiere $4 x$ aus $4 x^{3} - 16 x$ heraus.

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Schritt 6.1.1.1

Faktorisiere $4 x$ aus $4 x^{3}$ heraus.

$4 x (x^{2}) - 16 x = 0$

Schritt 6.1.1.2

Faktorisiere $4 x$ aus $- 16 x$ heraus.

$4 x (x^{2}) + 4 x (- 4) = 0$

Schritt 6.1.1.3

Faktorisiere $4 x$ aus $4 x (x^{2}) + 4 x (- 4)$ heraus.

$4 x (x^{2} - 4) = 0$

Schritt 6.1.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$4 x (x^{2} - 2^{2}) = 0$

Schritt 6.1.3

Faktorisiere.

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Schritt 6.1.3.1

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = 2$ .

$4 x ((x + 2) (x - 2)) = 0$

Schritt 6.1.3.2

Entferne unnötige Klammern.

$4 x (x + 2) (x - 2) = 0$

Schritt 6.2

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x = 0$

$x + 2 = 0$

$x - 2 = 0$

Schritt 6.3

Setze $x$ gleich $0$ .

$x = 0$

Schritt 6.4

Setze $x + 2$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 6.4.1

Setze $x + 2$ gleich $0$ .

$x + 2 = 0$

Schritt 6.4.2

Subtrahiere $2$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 2$

Schritt 6.5

Setze $x - 2$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 6.5.1

Setze $x - 2$ gleich $0$ .

$x - 2 = 0$

Schritt 6.5.2

Addiere $2$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 2$

Schritt 6.6

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $4 x (x + 2) (x - 2) = 0$ wahr machen.

$x = 0, - 2, 2$

Schritt 7

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 7.1

Entferne die Klammern.

$y = 0^{4} - 8 {(0)}^{2}$

Schritt 7.2

Entferne die Klammern.

$y = 0^{4} - 8 \cdot 0^{2}$

Schritt 7.3

Vereinfache $0^{4} - 8 \cdot 0^{2}$ .

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Schritt 7.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 7.3.1.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$y = 0 - 8 \cdot 0^{2}$

Schritt 7.3.1.2

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$y = 0 - 8 \cdot 0$

Schritt 7.3.1.3

Mutltipliziere $- 8$ mit $0$ .

$y = 0 + 0$

Schritt 7.3.2

Addiere $0$ und $0$ .

$y = 0$

Schritt 8

Vereinfache ${(- 2)}^{4} - 8 {(- 2)}^{2}$ .

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Schritt 8.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 8.1.1

Potenziere $- 2$ mit $4$ .

$y = 16 - 8 {(- 2)}^{2}$

Schritt 8.1.2

Potenziere $- 2$ mit $2$ .

$y = 16 - 8 \cdot 4$

Schritt 8.1.3

Mutltipliziere $- 8$ mit $4$ .

$y = 16 - 32$

Schritt 8.2

Subtrahiere $32$ von $16$ .

$y = - 16$

Schritt 9

Ermittle die Punkte an denen $\frac{d y}{d x} = 0$ .

$(0, 0)$

$(- 2, - 16)$

$(2, - 16)$

Schritt 10

Gib DEINE Aufgabe ein

Bestimme, wo dy/dx gleich Null ist

Ableitungen