Analysis Beispiele

$y = x + 4 x^{2}$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (x + 4 x^{2})$

Schritt 2

Die Ableitung von $y$ nach $x$ ist $y'$ .

$y'$

Schritt 3

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Differenziere.

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Schritt 3.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x + 4 x^{2}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4 x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4 x^{2}]$

Schritt 3.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [4 x^{2}]$

Schritt 3.2

Berechne $\frac{d}{d x} [4 x^{2}]$ .

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Schritt 3.2.1

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4 x^{2}$ nach $x$ gleich $4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$1 + 4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 3.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$1 + 4 (2 x)$

Schritt 3.2.3

Mutltipliziere $2$ mit $4$ .

$1 + 8 x$

Schritt 3.3

Stelle die Terme um.

$8 x + 1$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$y' = 8 x + 1$

Schritt 5

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = 8 x + 1$

Schritt 6

Setze $\frac{d y}{d x} = 0$ , löse dann nach $x$ , ausgedrückt mittels $y$ , auf.

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Schritt 6.1

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$8 x = - 1$

Schritt 6.2

Teile jeden Ausdruck in $8 x = - 1$ durch $8$ und vereinfache.

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Schritt 6.2.1

Teile jeden Ausdruck in $8 x = - 1$ durch $8$ .

$\frac{8 x}{8} = \frac{- 1}{8}$

Schritt 6.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $8$ .

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Schritt 6.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{8 x}{8} = \frac{- 1}{8}$

Schritt 6.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- 1}{8}$

Schritt 6.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.2.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = - \frac{1}{8}$

Schritt 7

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 7.1

Entferne die Klammern.

$y = - \frac{1}{8} + 4 {(- \frac{1}{8})}^{2}$

Schritt 7.2

Entferne die Klammern.

$y = (- \frac{1}{8}) + 4 {(- \frac{1}{8})}^{2}$

Schritt 7.3

Vereinfache $(- \frac{1}{8}) + 4 {(- \frac{1}{8})}^{2}$ .

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Schritt 7.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 7.3.1.1

Wende die Exponentenregel ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ an, um den Exponenten zu verteilen.

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Schritt 7.3.1.1.1

Wende die Produktregel auf $- \frac{1}{8}$ an.

$y = - \frac{1}{8} + 4 ({(- 1)}^{2} {(\frac{1}{8})}^{2})$

Schritt 7.3.1.1.2

Wende die Produktregel auf $\frac{1}{8}$ an.

$y = - \frac{1}{8} + 4 ({(- 1)}^{2} \frac{1^{2}}{8^{2}})$

Schritt 7.3.1.2

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$y = - \frac{1}{8} + 4 (1 \frac{1^{2}}{8^{2}})$

Schritt 7.3.1.3

Mutltipliziere $\frac{1^{2}}{8^{2}}$ mit $1$ .

$y = - \frac{1}{8} + 4 \frac{1^{2}}{8^{2}}$

Schritt 7.3.1.4

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$y = - \frac{1}{8} + 4 \frac{1}{8^{2}}$

Schritt 7.3.1.5

Potenziere $8$ mit $2$ .

$y = - \frac{1}{8} + 4 (\frac{1}{64})$

Schritt 7.3.1.6

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 7.3.1.6.1

Faktorisiere $4$ aus $64$ heraus.

$y = - \frac{1}{8} + 4 \frac{1}{4 (16)}$

Schritt 7.3.1.6.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = - \frac{1}{8} + 4 \frac{1}{4 \cdot 16}$

Schritt 7.3.1.6.3

Forme den Ausdruck um.

$y = - \frac{1}{8} + \frac{1}{16}$

Schritt 7.3.2

Um $- \frac{1}{8}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$y = - \frac{1}{8} \cdot \frac{2}{2} + \frac{1}{16}$

Schritt 7.3.3

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $16$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 7.3.3.1

Mutltipliziere $\frac{1}{8}$ mit $\frac{2}{2}$ .

$y = - \frac{2}{8 \cdot 2} + \frac{1}{16}$

Schritt 7.3.3.2

Mutltipliziere $8$ mit $2$ .

$y = - \frac{2}{16} + \frac{1}{16}$

Schritt 7.3.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y = \frac{- 2 + 1}{16}$

Schritt 7.3.5

Addiere $- 2$ und $1$ .

$y = \frac{- 1}{16}$

Schritt 7.3.6

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y = - \frac{1}{16}$

Schritt 8

Ermittle die Punkte an denen $\frac{d y}{d x} = 0$ .

$(- \frac{1}{8}, - \frac{1}{16})$

Schritt 9

Gib DEINE Aufgabe ein