Analysis Beispiele
Schritt 1
Differenziere beide Seiten der Gleichung.
Schritt 2
Die Ableitung von nach ist .
Schritt 3
Schritt 3.1
Differenziere.
Schritt 3.1.1
Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von nach .
Schritt 3.1.2
Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass gleich ist mit .
Schritt 3.2
Berechne .
Schritt 3.2.1
Da konstant bezüglich ist, ist die Ableitung von nach gleich .
Schritt 3.2.2
Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass gleich ist mit .
Schritt 3.2.3
Mutltipliziere mit .
Schritt 3.3
Berechne .
Schritt 3.3.1
Da konstant bezüglich ist, ist die Ableitung von nach gleich .
Schritt 3.3.2
Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass gleich ist mit .
Schritt 3.3.3
Mutltipliziere mit .
Schritt 3.4
Stelle die Terme um.
Schritt 4
Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.
Schritt 5
Ersetze durch .
Schritt 6
Schritt 6.1
Faktorisiere mithilfe des Satzes über rationale Wurzeln.
Schritt 6.1.1
Wenn eine Polynomfunktion ganzzahlige Koeffizienten hat, dann hat jede rationale Nullstelle die Form , wobei ein Teiler der Konstanten und ein Teiler des Leitkoeffizienten ist.
Schritt 6.1.2
Ermittle jede Kombination von . Dies sind die möglichen Wurzeln der Polynomfunktion.
Schritt 6.1.3
Setze ein und vereinfache den Ausdruck. In diesem Fall ist der Ausdruck gleich , folglich ist eine Wurzel des Polynoms.
Schritt 6.1.3.1
Setze in das Polynom ein.
Schritt 6.1.3.2
Potenziere mit .
Schritt 6.1.3.3
Mutltipliziere mit .
Schritt 6.1.3.4
Mutltipliziere mit .
Schritt 6.1.3.5
Addiere und .
Schritt 6.1.3.6
Addiere und .
Schritt 6.1.4
Da eine bekannte Wurzel ist, dividiere das Polynom durch , um das Quotientenpolynom zu bestimmen. Dieses Polynom kann dann verwendet werden, um die restlichen Wurzeln zu finden.
Schritt 6.1.5
Dividiere durch .
Schritt 6.1.5.1
Stelle die zu dividierenden Polynome auf. Wenn es nicht für jeden Exponenten einen Term gibt, setze einen ein mit dem Wert .
| + | + | - | + |
Schritt 6.1.5.2
Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend durch den Term höchster Ordnung im Divisor .
| + | + | - | + |
Schritt 6.1.5.3
Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.
| + | + | - | + | ||||||||
| + | + |
Schritt 6.1.5.4
Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in
| + | + | - | + | ||||||||
| - | - |
Schritt 6.1.5.5
Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.
| + | + | - | + | ||||||||
| - | - | ||||||||||
| - |
Schritt 6.1.5.6
Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.
| + | + | - | + | ||||||||
| - | - | ||||||||||
| - | - |
Schritt 6.1.5.7
Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend durch den Term höchster Ordnung im Divisor .
| - | |||||||||||
| + | + | - | + | ||||||||
| - | - | ||||||||||
| - | - |
Schritt 6.1.5.8
Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.
| - | |||||||||||
| + | + | - | + | ||||||||
| - | - | ||||||||||
| - | - | ||||||||||
| - | - |
Schritt 6.1.5.9
Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in
| - | |||||||||||
| + | + | - | + | ||||||||
| - | - | ||||||||||
| - | - | ||||||||||
| + | + |
Schritt 6.1.5.10
Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.
| - | |||||||||||
| + | + | - | + | ||||||||
| - | - | ||||||||||
| - | - | ||||||||||
| + | + | ||||||||||
| + |
Schritt 6.1.5.11
Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.
| - | |||||||||||
| + | + | - | + | ||||||||
| - | - | ||||||||||
| - | - | ||||||||||
| + | + | ||||||||||
| + | + |
Schritt 6.1.5.12
Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend durch den Term höchster Ordnung im Divisor .
| - | + | ||||||||||
| + | + | - | + | ||||||||
| - | - | ||||||||||
| - | - | ||||||||||
| + | + | ||||||||||
| + | + |
Schritt 6.1.5.13
Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.
| - | + | ||||||||||
| + | + | - | + | ||||||||
| - | - | ||||||||||
| - | - | ||||||||||
| + | + | ||||||||||
| + | + | ||||||||||
| + | + |
Schritt 6.1.5.14
Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in
| - | + | ||||||||||
| + | + | - | + | ||||||||
| - | - | ||||||||||
| - | - | ||||||||||
| + | + | ||||||||||
| + | + | ||||||||||
| - | - |
Schritt 6.1.5.15
Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.
| - | + | ||||||||||
| + | + | - | + | ||||||||
| - | - | ||||||||||
| - | - | ||||||||||
| + | + | ||||||||||
| + | + | ||||||||||
| - | - | ||||||||||
Schritt 6.1.5.16
Da der Rest gleich ist, ist der Quotient das endgültige Ergebnis.
Schritt 6.1.6
Schreibe als eine Menge von Faktoren.
Schritt 6.2
Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich .
Schritt 6.3
Setze gleich und löse nach auf.
Schritt 6.3.1
Setze gleich .
Schritt 6.3.2
Löse nach auf.
Schritt 6.3.2.1
Subtrahiere von beiden Seiten der Gleichung.
Schritt 6.3.2.2
Teile jeden Ausdruck in durch und vereinfache.
Schritt 6.3.2.2.1
Teile jeden Ausdruck in durch .
Schritt 6.3.2.2.2
Vereinfache die linke Seite.
Schritt 6.3.2.2.2.1
Kürze den gemeinsamen Faktor von .
Schritt 6.3.2.2.2.1.1
Kürze den gemeinsamen Faktor.
Schritt 6.3.2.2.2.1.2
Dividiere durch .
Schritt 6.3.2.2.3
Vereinfache die rechte Seite.
Schritt 6.3.2.2.3.1
Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.
Schritt 6.4
Setze gleich und löse nach auf.
Schritt 6.4.1
Setze gleich .
Schritt 6.4.2
Löse nach auf.
Schritt 6.4.2.1
Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.
Schritt 6.4.2.2
Setze die Werte , und in die Quadratformel ein und löse nach auf.
Schritt 6.4.2.3
Vereinfache.
Schritt 6.4.2.3.1
Vereinfache den Zähler.
Schritt 6.4.2.3.1.1
Potenziere mit .
Schritt 6.4.2.3.1.2
Multipliziere .
Schritt 6.4.2.3.1.2.1
Mutltipliziere mit .
Schritt 6.4.2.3.1.2.2
Mutltipliziere mit .
Schritt 6.4.2.3.1.3
Subtrahiere von .
Schritt 6.4.2.3.1.4
Schreibe als um.
Schritt 6.4.2.3.1.5
Schreibe als um.
Schritt 6.4.2.3.1.6
Schreibe als um.
Schritt 6.4.2.3.1.7
Schreibe als um.
Schritt 6.4.2.3.1.8
Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.
Schritt 6.4.2.3.1.9
Bringe auf die linke Seite von .
Schritt 6.4.2.3.2
Mutltipliziere mit .
Schritt 6.4.2.3.3
Vereinfache .
Schritt 6.4.2.4
Vereinfache den Ausdruck, um nach dem -Teil von aufzulösen.
Schritt 6.4.2.4.1
Vereinfache den Zähler.
Schritt 6.4.2.4.1.1
Potenziere mit .
Schritt 6.4.2.4.1.2
Multipliziere .
Schritt 6.4.2.4.1.2.1
Mutltipliziere mit .
Schritt 6.4.2.4.1.2.2
Mutltipliziere mit .
Schritt 6.4.2.4.1.3
Subtrahiere von .
Schritt 6.4.2.4.1.4
Schreibe als um.
Schritt 6.4.2.4.1.5
Schreibe als um.
Schritt 6.4.2.4.1.6
Schreibe als um.
Schritt 6.4.2.4.1.7
Schreibe als um.
Schritt 6.4.2.4.1.8
Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.
Schritt 6.4.2.4.1.9
Bringe auf die linke Seite von .
Schritt 6.4.2.4.2
Mutltipliziere mit .
Schritt 6.4.2.4.3
Vereinfache .
Schritt 6.4.2.4.4
Ändere das zu .
Schritt 6.4.2.4.5
Zerlege den Bruch in zwei Brüche.
Schritt 6.4.2.5
Vereinfache den Ausdruck, um nach dem -Teil von aufzulösen.
Schritt 6.4.2.5.1
Vereinfache den Zähler.
Schritt 6.4.2.5.1.1
Potenziere mit .
Schritt 6.4.2.5.1.2
Multipliziere .
Schritt 6.4.2.5.1.2.1
Mutltipliziere mit .
Schritt 6.4.2.5.1.2.2
Mutltipliziere mit .
Schritt 6.4.2.5.1.3
Subtrahiere von .
Schritt 6.4.2.5.1.4
Schreibe als um.
Schritt 6.4.2.5.1.5
Schreibe als um.
Schritt 6.4.2.5.1.6
Schreibe als um.
Schritt 6.4.2.5.1.7
Schreibe als um.
Schritt 6.4.2.5.1.8
Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.
Schritt 6.4.2.5.1.9
Bringe auf die linke Seite von .
Schritt 6.4.2.5.2
Mutltipliziere mit .
Schritt 6.4.2.5.3
Vereinfache .
Schritt 6.4.2.5.4
Ändere das zu .
Schritt 6.4.2.5.5
Zerlege den Bruch in zwei Brüche.
Schritt 6.4.2.5.6
Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.
Schritt 6.4.2.6
Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.
Schritt 6.5
Die endgültige Lösung sind alle Werte, die wahr machen.
Schritt 7
Schritt 7.1
Entferne die Klammern.
Schritt 7.2
Entferne die Klammern.
Schritt 7.3
Vereinfache .
Schritt 7.3.1
Vereinfache jeden Term.
Schritt 7.3.1.1
Wende die Exponentenregel an, um den Exponenten zu verteilen.
Schritt 7.3.1.1.1
Wende die Produktregel auf an.
Schritt 7.3.1.1.2
Wende die Produktregel auf an.
Schritt 7.3.1.2
Multipliziere mit durch Addieren der Exponenten.
Schritt 7.3.1.2.1
Bewege .
Schritt 7.3.1.2.2
Mutltipliziere mit .
Schritt 7.3.1.2.2.1
Potenziere mit .
Schritt 7.3.1.2.2.2
Wende die Exponentenregel an, um die Exponenten zu kombinieren.
Schritt 7.3.1.2.3
Addiere und .
Schritt 7.3.1.3
Potenziere mit .
Schritt 7.3.1.4
Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.
Schritt 7.3.1.5
Potenziere mit .
Schritt 7.3.1.6
Wende die Exponentenregel an, um den Exponenten zu verteilen.
Schritt 7.3.1.6.1
Wende die Produktregel auf an.
Schritt 7.3.1.6.2
Wende die Produktregel auf an.
Schritt 7.3.1.7
Potenziere mit .
Schritt 7.3.1.8
Mutltipliziere mit .
Schritt 7.3.1.9
Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.
Schritt 7.3.1.10
Potenziere mit .
Schritt 7.3.1.11
Kürze den gemeinsamen Faktor von .
Schritt 7.3.1.11.1
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 7.3.1.11.2
Kürze den gemeinsamen Faktor.
Schritt 7.3.1.11.3
Forme den Ausdruck um.
Schritt 7.3.2
Kombiniere Brüche.
Schritt 7.3.2.1
Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.
Schritt 7.3.2.2
Addiere und .
Schritt 7.3.3
Vereinfache jeden Term.
Schritt 7.3.3.1
Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.
Schritt 7.3.3.2
Dividiere durch .
Schritt 7.3.4
Addiere und .
Schritt 8
Berechnete -Werte können keine imaginären Komponenten enthalten.
ist kein gültiger Wert für x
Schritt 9
Berechnete -Werte können keine imaginären Komponenten enthalten.
ist kein gültiger Wert für x
Schritt 10
Ermittle die Punkte an denen .
Schritt 11