Analysis Beispiele

$y = x - x^{2} + 4 x^{4}$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (x - x^{2} + 4 x^{4})$

Schritt 2

Die Ableitung von $y$ nach $x$ ist $y'$ .

$y'$

Schritt 3

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Differenziere.

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Schritt 3.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x - x^{2} + 4 x^{4}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x^{4}]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x^{4}]$

Schritt 3.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x^{4}]$

Schritt 3.2

Berechne $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

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Schritt 3.2.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x^{2}$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$1 - \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x^{4}]$

Schritt 3.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$1 - (2 x) + \frac{d}{d x} [4 x^{4}]$

Schritt 3.2.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$1 - 2 x + \frac{d}{d x} [4 x^{4}]$

Schritt 3.3

Berechne $\frac{d}{d x} [4 x^{4}]$ .

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Schritt 3.3.1

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4 x^{4}$ nach $x$ gleich $4 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$1 - 2 x + 4 \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Schritt 3.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 4$ .

$1 - 2 x + 4 (4 x^{3})$

Schritt 3.3.3

Mutltipliziere $4$ mit $4$ .

$1 - 2 x + 16 x^{3}$

Schritt 3.4

Stelle die Terme um.

$16 x^{3} - 2 x + 1$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$y' = 16 x^{3} - 2 x + 1$

Schritt 5

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = 16 x^{3} - 2 x + 1$

Schritt 6

Setze $\frac{d y}{d x} = 0$ , löse dann nach $x$ , ausgedrückt mittels $y$ , auf.

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Schritt 6.1

Faktorisiere $16 x^{3} - 2 x + 1$ mithilfe des Satzes über rationale Wurzeln.

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Schritt 6.1.1

Wenn eine Polynomfunktion ganzzahlige Koeffizienten hat, dann hat jede rationale Nullstelle die Form $\frac{p}{q}$ , wobei $p$ ein Teiler der Konstanten und $q$ ein Teiler des Leitkoeffizienten ist.

$p = \pm 1$

$q = \pm 1, \pm 16, \pm 2, \pm 8, \pm 4$

Schritt 6.1.2

Ermittle jede Kombination von $\pm \frac{p}{q}$ . Dies sind die möglichen Wurzeln der Polynomfunktion.

$\pm 1, \pm 0.0625, \pm 0.5, \pm 0.125, \pm 0.25$

Schritt 6.1.3

Setze $- 0.5$ ein und vereinfache den Ausdruck. In diesem Fall ist der Ausdruck gleich $0$ , folglich ist $- 0.5$ eine Wurzel des Polynoms.

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Schritt 6.1.3.1

Setze $- 0.5$ in das Polynom ein.

$16 {(- 0.5)}^{3} - 2 \cdot - 0.5 + 1$

Schritt 6.1.3.2

Potenziere $- 0.5$ mit $3$ .

$16 \cdot - 0.125 - 2 \cdot - 0.5 + 1$

Schritt 6.1.3.3

Mutltipliziere $16$ mit $- 0.125$ .

$- 2 - 2 \cdot - 0.5 + 1$

Schritt 6.1.3.4

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 0.5$ .

$- 2 + 1 + 1$

Schritt 6.1.3.5

Addiere $- 2$ und $1$ .

$- 1 + 1$

Schritt 6.1.3.6

Addiere $- 1$ und $1$ .

$0$

Schritt 6.1.4

Da $- 0.5$ eine bekannte Wurzel ist, dividiere das Polynom durch $2 x + 1$ , um das Quotientenpolynom zu bestimmen. Dieses Polynom kann dann verwendet werden, um die restlichen Wurzeln zu finden.

$\frac{16 x^{3} - 2 x + 1}{2 x + 1}$

Schritt 6.1.5

Dividiere $16 x^{3} - 2 x + 1$ durch $2 x + 1$ .

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Schritt 6.1.5.1

Stelle die zu dividierenden Polynome auf. Wenn es nicht für jeden Exponenten einen Term gibt, setze einen ein mit dem Wert $0$ .

$2 x$

$1$

$16 x^{3}$

$0 x^{2}$

$2 x$

$1$

Schritt 6.1.5.2

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $16 x^{3}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $2 x$ .

					$8 x^{2}$
	$2 x$	+	$1$		$16 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$2 x$	+	$1$

Schritt 6.1.5.3

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$8 x^{2}$
$2 x$	+	$1$		$16 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$2 x$	+	$1$
			+	$16 x^{3}$	+	$8 x^{2}$

Schritt 6.1.5.4

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $16 x^{3} + 8 x^{2}$

				$8 x^{2}$
$2 x$	+	$1$		$16 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$2 x$	+	$1$
			-	$16 x^{3}$	-	$8 x^{2}$

Schritt 6.1.5.5

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$8 x^{2}$
$2 x$	+	$1$		$16 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$2 x$	+	$1$
			-	$16 x^{3}$	-	$8 x^{2}$
					-	$8 x^{2}$

Schritt 6.1.5.6

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

				$8 x^{2}$
$2 x$	+	$1$		$16 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$2 x$	+	$1$
			-	$16 x^{3}$	-	$8 x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	-	$2 x$

Schritt 6.1.5.7

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $- 8 x^{2}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $2 x$ .

				$8 x^{2}$	-	$4 x$
$2 x$	+	$1$		$16 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$2 x$	+	$1$
			-	$16 x^{3}$	-	$8 x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	-	$2 x$

Schritt 6.1.5.8

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$8 x^{2}$	-	$4 x$
$2 x$	+	$1$		$16 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$2 x$	+	$1$
			-	$16 x^{3}$	-	$8 x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	-	$2 x$
					-	$8 x^{2}$	-	$4 x$

Schritt 6.1.5.9

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $- 8 x^{2} - 4 x$

				$8 x^{2}$	-	$4 x$
$2 x$	+	$1$		$16 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$2 x$	+	$1$
			-	$16 x^{3}$	-	$8 x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	-	$2 x$
					+	$8 x^{2}$	+	$4 x$

Schritt 6.1.5.10

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$8 x^{2}$	-	$4 x$
$2 x$	+	$1$		$16 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$2 x$	+	$1$
			-	$16 x^{3}$	-	$8 x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	-	$2 x$
					+	$8 x^{2}$	+	$4 x$
							+	$2 x$

Schritt 6.1.5.11

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

				$8 x^{2}$	-	$4 x$
$2 x$	+	$1$		$16 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$2 x$	+	$1$
			-	$16 x^{3}$	-	$8 x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	-	$2 x$
					+	$8 x^{2}$	+	$4 x$
							+	$2 x$	+	$1$

Schritt 6.1.5.12

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $2 x$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $2 x$ .

				$8 x^{2}$	-	$4 x$	+	$1$
$2 x$	+	$1$		$16 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$2 x$	+	$1$
			-	$16 x^{3}$	-	$8 x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	-	$2 x$
					+	$8 x^{2}$	+	$4 x$
							+	$2 x$	+	$1$

Schritt 6.1.5.13

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$8 x^{2}$	-	$4 x$	+	$1$
$2 x$	+	$1$		$16 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$2 x$	+	$1$
			-	$16 x^{3}$	-	$8 x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	-	$2 x$
					+	$8 x^{2}$	+	$4 x$
							+	$2 x$	+	$1$
							+	$2 x$	+	$1$

Schritt 6.1.5.14

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $2 x + 1$

				$8 x^{2}$	-	$4 x$	+	$1$
$2 x$	+	$1$		$16 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$2 x$	+	$1$
			-	$16 x^{3}$	-	$8 x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	-	$2 x$
					+	$8 x^{2}$	+	$4 x$
							+	$2 x$	+	$1$
							-	$2 x$	-	$1$

Schritt 6.1.5.15

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$8 x^{2}$	-	$4 x$	+	$1$
$2 x$	+	$1$		$16 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$2 x$	+	$1$
			-	$16 x^{3}$	-	$8 x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	-	$2 x$
					+	$8 x^{2}$	+	$4 x$
							+	$2 x$	+	$1$
							-	$2 x$	-	$1$
										$0$

Schritt 6.1.5.16

Da der Rest gleich $0$ ist, ist der Quotient das endgültige Ergebnis.

$8 x^{2} - 4 x + 1$

Schritt 6.1.6

Schreibe $16 x^{3} - 2 x + 1$ als eine Menge von Faktoren.

$(2 x + 1) (8 x^{2} - 4 x + 1) = 0$

Schritt 6.2

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$2 x + 1 = 0$

$8 x^{2} - 4 x + 1 = 0$

Schritt 6.3

Setze $2 x + 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 6.3.1

Setze $2 x + 1$ gleich $0$ .

$2 x + 1 = 0$

Schritt 6.3.2

Löse $2 x + 1 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 6.3.2.1

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$2 x = - 1$

Schritt 6.3.2.2

Teile jeden Ausdruck in $2 x = - 1$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 6.3.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $2 x = - 1$ durch $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 1}{2}$

Schritt 6.3.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.3.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 6.3.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 1}{2}$

Schritt 6.3.2.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- 1}{2}$

Schritt 6.3.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.3.2.2.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = - \frac{1}{2}$

Schritt 6.4

Setze $8 x^{2} - 4 x + 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 6.4.1

Setze $8 x^{2} - 4 x + 1$ gleich $0$ .

$8 x^{2} - 4 x + 1 = 0$

Schritt 6.4.2

Löse $8 x^{2} - 4 x + 1 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 6.4.2.1

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 6.4.2.2

Setze die Werte $a = 8$ , $b = - 4$ und $c = 1$ in die Quadratformel ein und löse nach $x$ auf.

$\frac{4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot (8 \cdot 1)}}{2 \cdot 8}$

Schritt 6.4.2.3

Vereinfache.

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Schritt 6.4.2.3.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.4.2.3.1.1

Potenziere $- 4$ mit $2$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 8 \cdot 1}}{2 \cdot 8}$

Schritt 6.4.2.3.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 8 \cdot 1$ .

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Schritt 6.4.2.3.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $8$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 32 \cdot 1}}{2 \cdot 8}$

Schritt 6.4.2.3.1.2.2

Mutltipliziere $- 32$ mit $1$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 32}}{2 \cdot 8}$

Schritt 6.4.2.3.1.3

Subtrahiere $32$ von $16$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{- 16}}{2 \cdot 8}$

Schritt 6.4.2.3.1.4

Schreibe $- 16$ als $- 1 (16)$ um.

$x = \frac{4 \pm \sqrt{- 1 \cdot 16}}{2 \cdot 8}$

Schritt 6.4.2.3.1.5

Schreibe $\sqrt{- 1 (16)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{16}$ um.

$x = \frac{4 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{16}}{2 \cdot 8}$

Schritt 6.4.2.3.1.6

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$x = \frac{4 \pm i \cdot \sqrt{16}}{2 \cdot 8}$

Schritt 6.4.2.3.1.7

Schreibe $16$ als $4^{2}$ um.

$x = \frac{4 \pm i \cdot \sqrt{4^{2}}}{2 \cdot 8}$

Schritt 6.4.2.3.1.8

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$x = \frac{4 \pm i \cdot 4}{2 \cdot 8}$

Schritt 6.4.2.3.1.9

Bringe $4$ auf die linke Seite von $i$ .

$x = \frac{4 \pm 4 i}{2 \cdot 8}$

Schritt 6.4.2.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $8$ .

$x = \frac{4 \pm 4 i}{16}$

Schritt 6.4.2.3.3

Vereinfache $\frac{4 \pm 4 i}{16}$ .

$x = \frac{1 \pm i}{4}$

Schritt 6.4.2.4

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $+$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 6.4.2.4.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.4.2.4.1.1

Potenziere $- 4$ mit $2$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 8 \cdot 1}}{2 \cdot 8}$

Schritt 6.4.2.4.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 8 \cdot 1$ .

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Schritt 6.4.2.4.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $8$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 32 \cdot 1}}{2 \cdot 8}$

Schritt 6.4.2.4.1.2.2

Mutltipliziere $- 32$ mit $1$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 32}}{2 \cdot 8}$

Schritt 6.4.2.4.1.3

Subtrahiere $32$ von $16$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{- 16}}{2 \cdot 8}$

Schritt 6.4.2.4.1.4

Schreibe $- 16$ als $- 1 (16)$ um.

$x = \frac{4 \pm \sqrt{- 1 \cdot 16}}{2 \cdot 8}$

Schritt 6.4.2.4.1.5

Schreibe $\sqrt{- 1 (16)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{16}$ um.

$x = \frac{4 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{16}}{2 \cdot 8}$

Schritt 6.4.2.4.1.6

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$x = \frac{4 \pm i \cdot \sqrt{16}}{2 \cdot 8}$

Schritt 6.4.2.4.1.7

Schreibe $16$ als $4^{2}$ um.

$x = \frac{4 \pm i \cdot \sqrt{4^{2}}}{2 \cdot 8}$

Schritt 6.4.2.4.1.8

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$x = \frac{4 \pm i \cdot 4}{2 \cdot 8}$

Schritt 6.4.2.4.1.9

Bringe $4$ auf die linke Seite von $i$ .

$x = \frac{4 \pm 4 i}{2 \cdot 8}$

Schritt 6.4.2.4.2

Mutltipliziere $2$ mit $8$ .

$x = \frac{4 \pm 4 i}{16}$

Schritt 6.4.2.4.3

Vereinfache $\frac{4 \pm 4 i}{16}$ .

$x = \frac{1 \pm i}{4}$

Schritt 6.4.2.4.4

Ändere das $\pm$ zu $+$ .

$x = \frac{1 + i}{4}$

Schritt 6.4.2.4.5

Zerlege den Bruch $\frac{1 + i}{4}$ in zwei Brüche.

$x = \frac{1}{4} + \frac{i}{4}$

Schritt 6.4.2.5

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $-$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 6.4.2.5.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.4.2.5.1.1

Potenziere $- 4$ mit $2$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 8 \cdot 1}}{2 \cdot 8}$

Schritt 6.4.2.5.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 8 \cdot 1$ .

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Schritt 6.4.2.5.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $8$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 32 \cdot 1}}{2 \cdot 8}$

Schritt 6.4.2.5.1.2.2

Mutltipliziere $- 32$ mit $1$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 32}}{2 \cdot 8}$

Schritt 6.4.2.5.1.3

Subtrahiere $32$ von $16$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{- 16}}{2 \cdot 8}$

Schritt 6.4.2.5.1.4

Schreibe $- 16$ als $- 1 (16)$ um.

$x = \frac{4 \pm \sqrt{- 1 \cdot 16}}{2 \cdot 8}$

Schritt 6.4.2.5.1.5

Schreibe $\sqrt{- 1 (16)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{16}$ um.

$x = \frac{4 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{16}}{2 \cdot 8}$

Schritt 6.4.2.5.1.6

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$x = \frac{4 \pm i \cdot \sqrt{16}}{2 \cdot 8}$

Schritt 6.4.2.5.1.7

Schreibe $16$ als $4^{2}$ um.

$x = \frac{4 \pm i \cdot \sqrt{4^{2}}}{2 \cdot 8}$

Schritt 6.4.2.5.1.8

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$x = \frac{4 \pm i \cdot 4}{2 \cdot 8}$

Schritt 6.4.2.5.1.9

Bringe $4$ auf die linke Seite von $i$ .

$x = \frac{4 \pm 4 i}{2 \cdot 8}$

Schritt 6.4.2.5.2

Mutltipliziere $2$ mit $8$ .

$x = \frac{4 \pm 4 i}{16}$

Schritt 6.4.2.5.3

Vereinfache $\frac{4 \pm 4 i}{16}$ .

$x = \frac{1 \pm i}{4}$

Schritt 6.4.2.5.4

Ändere das $\pm$ zu $-$ .

$x = \frac{1 - i}{4}$

Schritt 6.4.2.5.5

Zerlege den Bruch $\frac{1 - i}{4}$ in zwei Brüche.

$x = \frac{1}{4} + \frac{- i}{4}$

Schritt 6.4.2.5.6

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = \frac{1}{4} - \frac{i}{4}$

Schritt 6.4.2.6

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$x = \frac{1}{4} + \frac{i}{4}, \frac{1}{4} - \frac{i}{4}$

Schritt 6.5

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(2 x + 1) (8 x^{2} - 4 x + 1) = 0$ wahr machen.

$x = - \frac{1}{2}, \frac{1}{4} + \frac{i}{4}, \frac{1}{4} - \frac{i}{4}$

Schritt 7

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 7.1

Entferne die Klammern.

$y = - \frac{1}{2} - {(- \frac{1}{2})}^{2} + 4 {(- \frac{1}{2})}^{4}$

Schritt 7.2

Entferne die Klammern.

$y = (- \frac{1}{2}) - {(- \frac{1}{2})}^{2} + 4 {(- \frac{1}{2})}^{4}$

Schritt 7.3

Vereinfache $(- \frac{1}{2}) - {(- \frac{1}{2})}^{2} + 4 {(- \frac{1}{2})}^{4}$ .

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Schritt 7.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 7.3.1.1

Wende die Exponentenregel ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ an, um den Exponenten zu verteilen.

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Schritt 7.3.1.1.1

Wende die Produktregel auf $- \frac{1}{2}$ an.

$y = - \frac{1}{2} - ({(- 1)}^{2} {(\frac{1}{2})}^{2}) + 4 {(- \frac{1}{2})}^{4}$

Schritt 7.3.1.1.2

Wende die Produktregel auf $\frac{1}{2}$ an.

$y = - \frac{1}{2} - ({(- 1)}^{2} \frac{1^{2}}{2^{2}}) + 4 {(- \frac{1}{2})}^{4}$

Schritt 7.3.1.2

Multipliziere $- 1$ mit ${(- 1)}^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 7.3.1.2.1

Bewege ${(- 1)}^{2}$ .

$y = - \frac{1}{2} + {(- 1)}^{2} \cdot - 1 \frac{1^{2}}{2^{2}} + 4 {(- \frac{1}{2})}^{4}$

Schritt 7.3.1.2.2

Mutltipliziere ${(- 1)}^{2}$ mit $- 1$ .

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Schritt 7.3.1.2.2.1

Potenziere $- 1$ mit $1$ .

$y = - \frac{1}{2} + {(- 1)}^{2} \cdot {(- 1)}^{1} \frac{1^{2}}{2^{2}} + 4 {(- \frac{1}{2})}^{4}$

Schritt 7.3.1.2.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$y = - \frac{1}{2} + {(- 1)}^{2 + 1} \frac{1^{2}}{2^{2}} + 4 {(- \frac{1}{2})}^{4}$

Schritt 7.3.1.2.3

Addiere $2$ und $1$ .

$y = - \frac{1}{2} + {(- 1)}^{3} \frac{1^{2}}{2^{2}} + 4 {(- \frac{1}{2})}^{4}$

Schritt 7.3.1.3

Potenziere $- 1$ mit $3$ .

$y = - \frac{1}{2} - \frac{1^{2}}{2^{2}} + 4 {(- \frac{1}{2})}^{4}$

Schritt 7.3.1.4

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$y = - \frac{1}{2} - \frac{1}{2^{2}} + 4 {(- \frac{1}{2})}^{4}$

Schritt 7.3.1.5

Potenziere $2$ mit $2$ .

$y = - \frac{1}{2} - \frac{1}{4} + 4 {(- \frac{1}{2})}^{4}$

Schritt 7.3.1.6

Wende die Exponentenregel ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ an, um den Exponenten zu verteilen.

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Schritt 7.3.1.6.1

Wende die Produktregel auf $- \frac{1}{2}$ an.

$y = - \frac{1}{2} - \frac{1}{4} + 4 ({(- 1)}^{4} {(\frac{1}{2})}^{4})$

Schritt 7.3.1.6.2

Wende die Produktregel auf $\frac{1}{2}$ an.

$y = - \frac{1}{2} - \frac{1}{4} + 4 ({(- 1)}^{4} \frac{1^{4}}{2^{4}})$

Schritt 7.3.1.7

Potenziere $- 1$ mit $4$ .

$y = - \frac{1}{2} - \frac{1}{4} + 4 (1 \frac{1^{4}}{2^{4}})$

Schritt 7.3.1.8

Mutltipliziere $\frac{1^{4}}{2^{4}}$ mit $1$ .

$y = - \frac{1}{2} - \frac{1}{4} + 4 \frac{1^{4}}{2^{4}}$

Schritt 7.3.1.9

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$y = - \frac{1}{2} - \frac{1}{4} + 4 \frac{1}{2^{4}}$

Schritt 7.3.1.10

Potenziere $2$ mit $4$ .

$y = - \frac{1}{2} - \frac{1}{4} + 4 (\frac{1}{16})$

Schritt 7.3.1.11

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 7.3.1.11.1

Faktorisiere $4$ aus $16$ heraus.

$y = - \frac{1}{2} - \frac{1}{4} + 4 \frac{1}{4 (4)}$

Schritt 7.3.1.11.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = - \frac{1}{2} - \frac{1}{4} + 4 \frac{1}{4 \cdot 4}$

Schritt 7.3.1.11.3

Forme den Ausdruck um.

$y = - \frac{1}{2} - \frac{1}{4} + \frac{1}{4}$

Schritt 7.3.2

Kombiniere Brüche.

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Schritt 7.3.2.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y = \frac{- 1}{2} + \frac{- 1 + 1}{4}$

Schritt 7.3.2.2

Addiere $- 1$ und $1$ .

$y = \frac{- 1}{2} + \frac{0}{4}$

Schritt 7.3.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 7.3.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y = - \frac{1}{2} + \frac{0}{4}$

Schritt 7.3.3.2

Dividiere $0$ durch $4$ .

$y = - \frac{1}{2} + 0$

Schritt 7.3.4

Addiere $- \frac{1}{2}$ und $0$ .

$y = - \frac{1}{2}$

Schritt 8

Berechnete $x$ -Werte können keine imaginären Komponenten enthalten.

$\frac{1}{4} + \frac{i}{4}$ ist kein gültiger Wert für x

Schritt 9

Berechnete $x$ -Werte können keine imaginären Komponenten enthalten.

$\frac{1}{4} - \frac{i}{4}$ ist kein gültiger Wert für x

Schritt 10

Ermittle die Punkte an denen $\frac{d y}{d x} = 0$ .

$(- \frac{1}{2}, - \frac{1}{2})$

Schritt 11

Gib DEINE Aufgabe ein