Analysis Beispiele

$L (x) = x^{2}$

Schritt 1

Verwende die Formel des Gini-Index $G = 2 \int_{0}^{1} x - L (x) d x$ .

Schritt 2

Ersetze $L (x)$ durch $x^{2}$ .

$G = 2 \int_{0}^{1} x - x^{2} d x$

Schritt 3

Berechne $2 \int_{0}^{1} x - x^{2} d x$ .

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Schritt 3.1

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$G = 2 (\int_{0}^{1} x d x + \int_{0}^{1} - x^{2} d x)$

Schritt 3.2

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$G = 2 (\frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{1} + \int_{0}^{1} - x^{2} d x)$

Schritt 3.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $x^{2}$ .

$G = 2 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{1} + \int_{0}^{1} - x^{2} d x)$

Schritt 3.4

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$G = 2 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} x^{2} d x)$

Schritt 3.5

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{2}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$G = 2 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{1} - (\frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{1}))$

Schritt 3.6

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 3.6.1

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $x^{3}$ .

$G = 2 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{1} - (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{1}))$

Schritt 3.6.2

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 3.6.2.1

Berechne $\frac{x^{2}}{2}$ bei $1$ und $0$ .

$G = 2 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2} - (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{1}))$

Schritt 3.6.2.2

Berechne $\frac{x^{3}}{3}$ bei $1$ und $0$ .

$G = 2 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2} - (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

Schritt 3.6.2.3

Vereinfache.

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Schritt 3.6.2.3.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$G = 2 (\frac{1}{2} - \frac{0^{2}}{2} - (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

Schritt 3.6.2.3.2

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$G = 2 (\frac{1}{2} - \frac{0}{2} - (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

Schritt 3.6.2.3.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $0$ und $2$ .

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Schritt 3.6.2.3.3.1

Faktorisiere $2$ aus $0$ heraus.

$G = 2 (\frac{1}{2} - \frac{2 (0)}{2} - (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

Schritt 3.6.2.3.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.6.2.3.3.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$G = 2 (\frac{1}{2} - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1} - (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

Schritt 3.6.2.3.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$G = 2 (\frac{1}{2} - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1} - (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

Schritt 3.6.2.3.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$G = 2 (\frac{1}{2} - \frac{0}{1} - (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

Schritt 3.6.2.3.3.2.4

Dividiere $0$ durch $1$ .

$G = 2 (\frac{1}{2} - 0 - (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

Schritt 3.6.2.3.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$G = 2 (\frac{1}{2} + 0 - (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

Schritt 3.6.2.3.5

Addiere $\frac{1}{2}$ und $0$ .

$G = 2 (\frac{1}{2} - (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

Schritt 3.6.2.3.6

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$G = 2 (\frac{1}{2} - (\frac{1}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

Schritt 3.6.2.3.7

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$G = 2 (\frac{1}{2} - (\frac{1}{3} - \frac{0}{3}))$

Schritt 3.6.2.3.8

Kürze den gemeinsamen Teiler von $0$ und $3$ .

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Schritt 3.6.2.3.8.1

Faktorisiere $3$ aus $0$ heraus.

$G = 2 (\frac{1}{2} - (\frac{1}{3} - \frac{3 (0)}{3}))$

Schritt 3.6.2.3.8.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.6.2.3.8.2.1

Faktorisiere $3$ aus $3$ heraus.

$G = 2 (\frac{1}{2} - (\frac{1}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}))$

Schritt 3.6.2.3.8.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$G = 2 (\frac{1}{2} - (\frac{1}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}))$

Schritt 3.6.2.3.8.2.3

Forme den Ausdruck um.

$G = 2 (\frac{1}{2} - (\frac{1}{3} - \frac{0}{1}))$

Schritt 3.6.2.3.8.2.4

Dividiere $0$ durch $1$ .

$G = 2 (\frac{1}{2} - (\frac{1}{3} - 0))$

Schritt 3.6.2.3.9

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$G = 2 (\frac{1}{2} - (\frac{1}{3} + 0))$

Schritt 3.6.2.3.10

Addiere $\frac{1}{3}$ und $0$ .

$G = 2 (\frac{1}{2} - \frac{1}{3})$

Schritt 3.6.2.3.11

Um $\frac{1}{2}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$G = 2 (\frac{1}{2} \cdot \frac{3}{3} - \frac{1}{3})$

Schritt 3.6.2.3.12

Um $- \frac{1}{3}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$G = 2 (\frac{1}{2} \cdot \frac{3}{3} - \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{2})$

Schritt 3.6.2.3.13

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $6$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 3.6.2.3.13.1

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $\frac{3}{3}$ .

$G = 2 (\frac{3}{2 \cdot 3} - \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{2})$

Schritt 3.6.2.3.13.2

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$G = 2 (\frac{3}{6} - \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{2})$

Schritt 3.6.2.3.13.3

Mutltipliziere $\frac{1}{3}$ mit $\frac{2}{2}$ .

$G = 2 (\frac{3}{6} - \frac{2}{3 \cdot 2})$

Schritt 3.6.2.3.13.4

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$G = 2 (\frac{3}{6} - \frac{2}{6})$

Schritt 3.6.2.3.14

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$G = 2 \frac{3 - 2}{6}$

Schritt 3.6.2.3.15

Subtrahiere $2$ von $3$ .

$G = 2 (\frac{1}{6})$

Schritt 3.6.2.3.16

Kombiniere $2$ und $\frac{1}{6}$ .

$G = \frac{2}{6}$

Schritt 3.6.2.3.17

Kürze den gemeinsamen Teiler von $2$ und $6$ .

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Schritt 3.6.2.3.17.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$G = \frac{2 (1)}{6}$

Schritt 3.6.2.3.17.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.6.2.3.17.2.1

Faktorisiere $2$ aus $6$ heraus.

$G = \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3}$

Schritt 3.6.2.3.17.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$G = \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3}$

Schritt 3.6.2.3.17.2.3

Forme den Ausdruck um.

$G = \frac{1}{3}$

Schritt 4

Wandle in eine Dezimalzahl um.

$G = 0.\overline{3}$

Gib DEINE Aufgabe ein