Analysis Beispiele

$f (x) = x^{3} - x^{2} + 2 x - 1$ , $[0, 2]$

Schritt 1

Ermittele die Ableitung von $f (x) = x^{3} - x^{2} + 2 x - 1$ .

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Schritt 1.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1.1

Differenziere.

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Schritt 1.1.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{3} - x^{2} + 2 x - 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 1.1.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 1.1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

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Schritt 1.1.2.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x^{2}$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$3 x^{2} - \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 1.1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$3 x^{2} - (2 x) + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 1.1.2.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$3 x^{2} - 2 x + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 1.1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

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Schritt 1.1.3.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 x^{2} - 2 x + 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 1.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$3 x^{2} - 2 x + 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 1.1.3.3

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$3 x^{2} - 2 x + 2 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 1.1.4

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 1.1.4.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$3 x^{2} - 2 x + 2 + 0$

Schritt 1.1.4.2

Addiere $3 x^{2} - 2 x + 2$ und $0$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 2 x + 2$

Schritt 1.2

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $3 x^{2} - 2 x + 2$ .

$3 x^{2} - 2 x + 2$

Schritt 2

Der Definitionsbereich umfasst alle reellen Zahlen, ausgenommen jene, für die der Ausdruck nicht definiert ist. In diesem Fall gibt es keine reellen Zahlen, für die der Ausdruck nicht definiert ist.

Intervallschreibweise:

$(- \infty, \infty)$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${x | x \in ℝ}$

Schritt 3

$f' (x)$ ist stetig im Intervall $[0, 2]$ .

$f' (x)$ ist stetig

Schritt 4

Der Durchschnittswert der Funktion $f'$ im Intervall $[a, b]$ ist definiert als $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ .

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

Schritt 5

Setze die tatsächlichen Werte in die Formel für den Durchschnittswert einer Funktion ein.

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (\int_{0}^{2} 3 x^{2} - 2 x + 2 d x)$

Schritt 6

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (\int_{0}^{2} 3 x^{2} d x + \int_{0}^{2} - 2 x d x + \int_{0}^{2} 2 d x)$

Schritt 7

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $3$ aus dem Integral.

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (3 \int_{0}^{2} x^{2} d x + \int_{0}^{2} - 2 x d x + \int_{0}^{2} 2 d x)$

Schritt 8

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{2}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (3 (\frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{2}) + \int_{0}^{2} - 2 x d x + \int_{0}^{2} 2 d x)$

Schritt 9

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $x^{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (3 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{2}) + \int_{0}^{2} - 2 x d x + \int_{0}^{2} 2 d x)$

Schritt 10

Da $- 2$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 2$ aus dem Integral.

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (3 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{2}) - 2 \int_{0}^{2} x d x + \int_{0}^{2} 2 d x)$

Schritt 11

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (3 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{2}) - 2 (\frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{2}) + \int_{0}^{2} 2 d x)$

Schritt 12

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $x^{2}$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (3 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{2}) - 2 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{2}) + \int_{0}^{2} 2 d x)$

Schritt 13

Wende die Konstantenregel an.

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (3 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{2}) - 2 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{2}) + 2 x]_{0}^{2})$

Schritt 14

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 14.1

Berechne $\frac{x^{3}}{3}$ bei $2$ und $0$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (3 ((\frac{2^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}) - 2 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{2}) + 2 x]_{0}^{2})$

Schritt 14.2

Berechne $\frac{x^{2}}{2}$ bei $2$ und $0$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (3 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) - 2 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + 2 x]_{0}^{2})$

Schritt 14.3

Berechne $2 x$ bei $2$ und $0$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (3 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) - 2 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + 2 \cdot 2 - 2 \cdot 0)$

Schritt 14.4

Vereinfache.

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Schritt 14.4.1

Potenziere $2$ mit $3$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (3 (\frac{8}{3} - \frac{0^{3}}{3}) - 2 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + 2 \cdot 2 - 2 \cdot 0)$

Schritt 14.4.2

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (3 (\frac{8}{3} - \frac{0}{3}) - 2 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + 2 \cdot 2 - 2 \cdot 0)$

Schritt 14.4.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $0$ und $3$ .

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Schritt 14.4.3.1

Faktorisiere $3$ aus $0$ heraus.

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (3 (\frac{8}{3} - \frac{3 (0)}{3}) - 2 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + 2 \cdot 2 - 2 \cdot 0)$

Schritt 14.4.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 14.4.3.2.1

Faktorisiere $3$ aus $3$ heraus.

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (3 (\frac{8}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}) - 2 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + 2 \cdot 2 - 2 \cdot 0)$

Schritt 14.4.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (3 (\frac{8}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}) - 2 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + 2 \cdot 2 - 2 \cdot 0)$

Schritt 14.4.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (3 (\frac{8}{3} - \frac{0}{1}) - 2 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + 2 \cdot 2 - 2 \cdot 0)$

Schritt 14.4.3.2.4

Dividiere $0$ durch $1$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (3 (\frac{8}{3} - 0) - 2 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + 2 \cdot 2 - 2 \cdot 0)$

Schritt 14.4.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (3 (\frac{8}{3} + 0) - 2 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + 2 \cdot 2 - 2 \cdot 0)$

Schritt 14.4.5

Addiere $\frac{8}{3}$ und $0$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (3 (\frac{8}{3}) - 2 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + 2 \cdot 2 - 2 \cdot 0)$

Schritt 14.4.6

Kombiniere $3$ und $\frac{8}{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (\frac{3 \cdot 8}{3} - 2 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + 2 \cdot 2 - 2 \cdot 0)$

Schritt 14.4.7

Mutltipliziere $3$ mit $8$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (\frac{24}{3} - 2 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + 2 \cdot 2 - 2 \cdot 0)$

Schritt 14.4.8

Kürze den gemeinsamen Teiler von $24$ und $3$ .

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Schritt 14.4.8.1

Faktorisiere $3$ aus $24$ heraus.

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (\frac{3 \cdot 8}{3} - 2 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + 2 \cdot 2 - 2 \cdot 0)$

Schritt 14.4.8.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 14.4.8.2.1

Faktorisiere $3$ aus $3$ heraus.

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (\frac{3 \cdot 8}{3 (1)} - 2 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + 2 \cdot 2 - 2 \cdot 0)$

Schritt 14.4.8.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (\frac{3 \cdot 8}{3 \cdot 1} - 2 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + 2 \cdot 2 - 2 \cdot 0)$

Schritt 14.4.8.2.3

Forme den Ausdruck um.

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (\frac{8}{1} - 2 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + 2 \cdot 2 - 2 \cdot 0)$

Schritt 14.4.8.2.4

Dividiere $8$ durch $1$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (8 - 2 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + 2 \cdot 2 - 2 \cdot 0)$

Schritt 14.4.9

Potenziere $2$ mit $2$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (8 - 2 (\frac{4}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + 2 \cdot 2 - 2 \cdot 0)$

Schritt 14.4.10

Kürze den gemeinsamen Teiler von $4$ und $2$ .

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Schritt 14.4.10.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (8 - 2 (\frac{2 \cdot 2}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + 2 \cdot 2 - 2 \cdot 0)$

Schritt 14.4.10.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 14.4.10.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (8 - 2 (\frac{2 \cdot 2}{2 (1)} - \frac{0^{2}}{2}) + 2 \cdot 2 - 2 \cdot 0)$

Schritt 14.4.10.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (8 - 2 (\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1} - \frac{0^{2}}{2}) + 2 \cdot 2 - 2 \cdot 0)$

Schritt 14.4.10.2.3

Forme den Ausdruck um.

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (8 - 2 (\frac{2}{1} - \frac{0^{2}}{2}) + 2 \cdot 2 - 2 \cdot 0)$

Schritt 14.4.10.2.4

Dividiere $2$ durch $1$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (8 - 2 (2 - \frac{0^{2}}{2}) + 2 \cdot 2 - 2 \cdot 0)$

Schritt 14.4.11

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (8 - 2 (2 - \frac{0}{2}) + 2 \cdot 2 - 2 \cdot 0)$

Schritt 14.4.12

Kürze den gemeinsamen Teiler von $0$ und $2$ .

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Schritt 14.4.12.1

Faktorisiere $2$ aus $0$ heraus.

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (8 - 2 (2 - \frac{2 (0)}{2}) + 2 \cdot 2 - 2 \cdot 0)$

Schritt 14.4.12.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 14.4.12.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (8 - 2 (2 - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}) + 2 \cdot 2 - 2 \cdot 0)$

Schritt 14.4.12.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (8 - 2 (2 - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}) + 2 \cdot 2 - 2 \cdot 0)$

Schritt 14.4.12.2.3

Forme den Ausdruck um.

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (8 - 2 (2 - \frac{0}{1}) + 2 \cdot 2 - 2 \cdot 0)$

Schritt 14.4.12.2.4

Dividiere $0$ durch $1$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (8 - 2 (2 - 0) + 2 \cdot 2 - 2 \cdot 0)$

Schritt 14.4.13

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (8 - 2 (2 + 0) + 2 \cdot 2 - 2 \cdot 0)$

Schritt 14.4.14

Addiere $2$ und $0$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (8 - 2 \cdot 2 + 2 \cdot 2 - 2 \cdot 0)$

Schritt 14.4.15

Mutltipliziere $- 2$ mit $2$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (8 - 4 + 2 \cdot 2 - 2 \cdot 0)$

Schritt 14.4.16

Subtrahiere $4$ von $8$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (4 + 2 \cdot 2 - 2 \cdot 0)$

Schritt 14.4.17

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (4 + 4 - 2 \cdot 0)$

Schritt 14.4.18

Mutltipliziere $- 2$ mit $0$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (4 + 4 + 0)$

Schritt 14.4.19

Addiere $4$ und $0$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (4 + 4)$

Schritt 14.4.20

Addiere $4$ und $4$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (8)$

Schritt 15

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 15.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$A (x) = \frac{1}{2 + 0} \cdot 8$

Schritt 15.2

Addiere $2$ und $0$ .

$A (x) = \frac{1}{2} \cdot 8$

Schritt 16

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 16.1

Faktorisiere $2$ aus $8$ heraus.

$A (x) = \frac{1}{2} \cdot (2 (4))$

Schritt 16.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$A (x) = \frac{1}{2} \cdot (2 \cdot 4)$

Schritt 16.3

Forme den Ausdruck um.

$A (x) = 4$

Schritt 17

Gib DEINE Aufgabe ein