Analysis Beispiele

$f (x) = 6 x - 6$ , $(- 1, 4)$

Schritt 1

Überprüfe, ob $f (x) = 6 x - 6$ stetig ist.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1

Der Definitionsbereich umfasst alle reellen Zahlen, ausgenommen jene, für die der Ausdruck nicht definiert ist. In diesem Fall gibt es keine reellen Zahlen, für die der Ausdruck nicht definiert ist.

Intervallschreibweise:

$(- \infty, \infty)$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${x | x \in ℝ}$

Schritt 1.2

$f (x)$ ist stetig im Intervall $[- 1, 4]$ .

Die Funktion ist stetig.

Schritt 2

Überprüfe, ob $f (x) = 6 x - 6$ differenzierbar ist.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Bestimme die Ableitung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.1

Bestimme die erste Ableitung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $6 x - 6$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 6]$ .

$\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 6]$

Schritt 2.1.1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [6 x]$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.1.2.1

Da $6$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $6 x$ nach $x$ gleich $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$6 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6]$

Schritt 2.1.1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 6]$

Schritt 2.1.1.2.3

Mutltipliziere $6$ mit $1$ .

$6 + \frac{d}{d x} [- 6]$

Schritt 2.1.1.3

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.1.3.1

Da $- 6$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 6$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$6 + 0$

Schritt 2.1.1.3.2

Addiere $6$ und $0$ .

$f' (x) = 6$

Schritt 2.1.2

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $6$ .

$6$

Schritt 2.2

Bestimme, ob die Ableitung im Intervall $[- 1, 4]$ stetig ist.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.1

Intervallschreibweise:

$(- \infty, \infty)$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${x | x \in ℝ}$

Schritt 2.2.2

$f' (x)$ ist stetig im Intervall $[- 1, 4]$ .

Die Funktion ist stetig.

Schritt 2.3

Die Funktion ist im Intervall $[- 1, 4]$ differenzierbar, da die Ableitung im Intervall $[- 1, 4]$ stetig ist.

Die Funktion ist differenzierbar.

Schritt 3

Damit die Bogenlänge definiert ist, müssen sowohl die Funktion als auch ihre Ableitung in dem geschlossenen Intervall $[- 1, 4]$ stetig sein.

Die Funktion und ihre Ableitung sind in dem abgeschlossenen Intervall $[- 1, 4]$ stetig.

Schritt 4

Ermittele die Ableitung von $f (x) = 6 x - 6$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $6 x - 6$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 6]$ .

$\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 6]$

Schritt 4.2

Berechne $\frac{d}{d x} [6 x]$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.1

Da $6$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $6 x$ nach $x$ gleich $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$6 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6]$

Schritt 4.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 6]$

Schritt 4.2.3

Mutltipliziere $6$ mit $1$ .

$6 + \frac{d}{d x} [- 6]$

Schritt 4.3

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.1

Da $- 6$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 6$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$6 + 0$

Schritt 4.3.2

Addiere $6$ und $0$ .

$6$

Schritt 5

Um die Bogenlänge einer Funktion zu bestimmen, benutze die Formel $L = \int_{a}^{b} \sqrt{1 + {(f' (x))}^{2}} d x$ .

$\int_{- 1}^{4} \sqrt{1 + {(6)}^{2}} d x$

Schritt 6

Berechne das Integral.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.1

Wende die Konstantenregel an.

$\sqrt{37} x]_{- 1}^{4}$

Schritt 6.2

Substituiere und vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.2.1

Berechne $\sqrt{37} x$ bei $4$ und $- 1$ .

$(\sqrt{37} \cdot 4) - \sqrt{37} \cdot - 1$

Schritt 6.2.2

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.2.2.1

Bringe $4$ auf die linke Seite von $\sqrt{37}$ .

$4 \cdot \sqrt{37} - \sqrt{37} \cdot - 1$

Schritt 6.2.2.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$4 \sqrt{37} + 1 \sqrt{37}$

Schritt 6.2.2.3

Mutltipliziere $\sqrt{37}$ mit $1$ .

$4 \sqrt{37} + \sqrt{37}$

Schritt 6.2.2.4

Addiere $4 \sqrt{37}$ und $\sqrt{37}$ .

$5 \sqrt{37}$

Schritt 7

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$5 \sqrt{37}$

Dezimalform:

$30.41381265 \dots$

Schritt 8

Gib DEINE Aufgabe ein