Analysis Beispiele

$y = {(x + 3)}^{2}$ , $(1, 16)$

Schritt 1

Finde die erste Ableitung und werte sie bei $x = 1$ und $y = 16$ aus, um die Steigung der Tangentenlinie zu finden.

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Schritt 1.1

Schreibe ${(x + 3)}^{2}$ als $(x + 3) (x + 3)$ um.

$\frac{d}{d x} [(x + 3) (x + 3)]$

Schritt 1.2

Multipliziere $(x + 3) (x + 3)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{d}{d x} [x (x + 3) + 3 (x + 3)]$

Schritt 1.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{d}{d x} [x \cdot x + x \cdot 3 + 3 (x + 3)]$

Schritt 1.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{d}{d x} [x \cdot x + x \cdot 3 + 3 x + 3 \cdot 3]$

Schritt 1.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 1.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.3.1.1

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} + x \cdot 3 + 3 x + 3 \cdot 3]$

Schritt 1.3.1.2

Bringe $3$ auf die linke Seite von $x$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 3 \cdot x + 3 x + 3 \cdot 3]$

Schritt 1.3.1.3

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 3 x + 3 x + 9]$

Schritt 1.3.2

Addiere $3 x$ und $3 x$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 6 x + 9]$

Schritt 1.4

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} + 6 x + 9$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [9]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [9]$

Schritt 1.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [9]$

Schritt 1.6

Da $6$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $6 x$ nach $x$ gleich $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 x + 6 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [9]$

Schritt 1.7

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$2 x + 6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [9]$

Schritt 1.8

Mutltipliziere $6$ mit $1$ .

$2 x + 6 + \frac{d}{d x} [9]$

Schritt 1.9

Da $9$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $9$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$2 x + 6 + 0$

Schritt 1.10

Addiere $2 x + 6$ und $0$ .

$2 x + 6$

Schritt 1.11

Bestimme die Ableitung bei $x = 1$ .

$2 (1) + 6$

Schritt 1.12

Vereinfache.

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Schritt 1.12.1

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$2 + 6$

Schritt 1.12.2

Addiere $2$ und $6$ .

$8$

Schritt 2

Steigung und Punktwerte in die Punkt-Steigungs-Formel einfügen und für $y$ lösen.

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Schritt 2.1

Benutze die Steigung $8$ und einen gegebenen Punkt $(1, 16)$ , um $x_{1}$ und $y_{1}$ in der Punkt-Steigungs-Form $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ zu substituieren, welche von der Gleichung für die Steigung $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ abgeleitet ist.

$y - (16) = 8 \cdot (x - (1))$

Schritt 2.2

Vereinfache die Gleichung und behalte die Punkt-Richtungs-Form bei.

$y - 16 = 8 \cdot (x - 1)$

Schritt 2.3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 2.3.1

Vereinfache $8 \cdot (x - 1)$ .

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Schritt 2.3.1.1

Forme um.

$y - 16 = 0 + 0 + 8 \cdot (x - 1)$

Schritt 2.3.1.2

Vereinfache durch Addieren von Nullen.

$y - 16 = 8 \cdot (x - 1)$

Schritt 2.3.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$y - 16 = 8 x + 8 \cdot - 1$

Schritt 2.3.1.4

Mutltipliziere $8$ mit $- 1$ .

$y - 16 = 8 x - 8$

Schritt 2.3.2

Bringe alle Terme, die nicht $y$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 2.3.2.1

Addiere $16$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$y = 8 x - 8 + 16$

Schritt 2.3.2.2

Addiere $- 8$ und $16$ .

$y = 8 x + 8$

Schritt 3

Gib DEINE Aufgabe ein