Algebra Beispiele

$6 x^{2} + 3 y^{2} = 12$ , $x + y = 2$

Schritt 1

Subtrahiere $y$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = 2 - y$

$6 x^{2} + 3 y^{2} = 12$

Schritt 2

Ersetze alle Vorkommen von $x$ durch $2 - y$ in jeder Gleichung.

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Schritt 2.1

Ersetze alle $x$ in $6 x^{2} + 3 y^{2} = 12$ durch $2 - y$ .

$6 {(2 - y)}^{2} + 3 y^{2} = 12$

$x = 2 - y$

Schritt 2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.2.1

Vereinfache $6 {(2 - y)}^{2} + 3 y^{2}$ .

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Schritt 2.2.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.2.1.1.1

Schreibe ${(2 - y)}^{2}$ als $(2 - y) (2 - y)$ um.

$6 ((2 - y) (2 - y)) + 3 y^{2} = 12$

$x = 2 - y$

Schritt 2.2.1.1.2

Multipliziere $(2 - y) (2 - y)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 2.2.1.1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$6 (2 (2 - y) - y (2 - y)) + 3 y^{2} = 12$

$x = 2 - y$

Schritt 2.2.1.1.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$6 (2 \cdot 2 + 2 (- y) - y (2 - y)) + 3 y^{2} = 12$

$x = 2 - y$

Schritt 2.2.1.1.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$6 (2 \cdot 2 + 2 (- y) - y \cdot 2 - y (- y)) + 3 y^{2} = 12$

$x = 2 - y$

$6 (2 \cdot 2 + 2 (- y) - y \cdot 2 - y (- y)) + 3 y^{2} = 12$

$x = 2 - y$

Schritt 2.2.1.1.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 2.2.1.1.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.2.1.1.3.1.1

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$6 (4 + 2 (- y) - y \cdot 2 - y (- y)) + 3 y^{2} = 12$

$x = 2 - y$

Schritt 2.2.1.1.3.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$6 (4 - 2 y - y \cdot 2 - y (- y)) + 3 y^{2} = 12$

$x = 2 - y$

Schritt 2.2.1.1.3.1.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$6 (4 - 2 y - 2 y - y (- y)) + 3 y^{2} = 12$

$x = 2 - y$

Schritt 2.2.1.1.3.1.4

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$6 (4 - 2 y - 2 y - 1 \cdot (- 1 y \cdot y)) + 3 y^{2} = 12$

$x = 2 - y$

Schritt 2.2.1.1.3.1.5

Multipliziere $y$ mit $y$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.2.1.1.3.1.5.1

Bewege $y$ .

$6 (4 - 2 y - 2 y - 1 \cdot (- 1 (y \cdot y))) + 3 y^{2} = 12$

$x = 2 - y$

Schritt 2.2.1.1.3.1.5.2

Mutltipliziere $y$ mit $y$ .

$6 (4 - 2 y - 2 y - 1 \cdot (- 1 y^{2})) + 3 y^{2} = 12$

$x = 2 - y$

$6 (4 - 2 y - 2 y - 1 \cdot (- 1 y^{2})) + 3 y^{2} = 12$

$x = 2 - y$

Schritt 2.2.1.1.3.1.6

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$6 (4 - 2 y - 2 y + 1 y^{2}) + 3 y^{2} = 12$

$x = 2 - y$

Schritt 2.2.1.1.3.1.7

Mutltipliziere $y^{2}$ mit $1$ .

$6 (4 - 2 y - 2 y + y^{2}) + 3 y^{2} = 12$

$x = 2 - y$

$6 (4 - 2 y - 2 y + y^{2}) + 3 y^{2} = 12$

$x = 2 - y$

Schritt 2.2.1.1.3.2

Subtrahiere $2 y$ von $- 2 y$ .

$6 (4 - 4 y + y^{2}) + 3 y^{2} = 12$

$x = 2 - y$

$6 (4 - 4 y + y^{2}) + 3 y^{2} = 12$

$x = 2 - y$

Schritt 2.2.1.1.4

Wende das Distributivgesetz an.

$6 \cdot 4 + 6 (- 4 y) + 6 y^{2} + 3 y^{2} = 12$

$x = 2 - y$

Schritt 2.2.1.1.5

Vereinfache.

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Schritt 2.2.1.1.5.1

Mutltipliziere $6$ mit $4$ .

$24 + 6 (- 4 y) + 6 y^{2} + 3 y^{2} = 12$

$x = 2 - y$

Schritt 2.2.1.1.5.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $6$ .

$24 - 24 y + 6 y^{2} + 3 y^{2} = 12$

$x = 2 - y$

$24 - 24 y + 6 y^{2} + 3 y^{2} = 12$

$x = 2 - y$

$24 - 24 y + 6 y^{2} + 3 y^{2} = 12$

$x = 2 - y$

Schritt 2.2.1.2

Addiere $6 y^{2}$ und $3 y^{2}$ .

$24 - 24 y + 9 y^{2} = 12$

$x = 2 - y$

$24 - 24 y + 9 y^{2} = 12$

$x = 2 - y$

$24 - 24 y + 9 y^{2} = 12$

$x = 2 - y$

$24 - 24 y + 9 y^{2} = 12$

$x = 2 - y$

Schritt 3

Löse in $24 - 24 y + 9 y^{2} = 12$ nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Subtrahiere $12$ von beiden Seiten der Gleichung.

$24 - 24 y + 9 y^{2} - 12 = 0$

$x = 2 - y$

Schritt 3.2

Subtrahiere $12$ von $24$ .

$- 24 y + 9 y^{2} + 12 = 0$

$x = 2 - y$

Schritt 3.3

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 3.3.1

Faktorisiere $3$ aus $- 24 y + 9 y^{2} + 12$ heraus.

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Schritt 3.3.1.1

Faktorisiere $3$ aus $- 24 y$ heraus.

$3 (- 8 y) + 9 y^{2} + 12 = 0$

$x = 2 - y$

Schritt 3.3.1.2

Faktorisiere $3$ aus $9 y^{2}$ heraus.

$3 (- 8 y) + 3 (3 y^{2}) + 12 = 0$

$x = 2 - y$

Schritt 3.3.1.3

Faktorisiere $3$ aus $12$ heraus.

$3 (- 8 y) + 3 (3 y^{2}) + 3 (4) = 0$

$x = 2 - y$

Schritt 3.3.1.4

Faktorisiere $3$ aus $3 (- 8 y) + 3 (3 y^{2})$ heraus.

$3 (- 8 y + 3 y^{2}) + 3 (4) = 0$

$x = 2 - y$

Schritt 3.3.1.5

Faktorisiere $3$ aus $3 (- 8 y + 3 y^{2}) + 3 (4)$ heraus.

$3 (- 8 y + 3 y^{2} + 4) = 0$

$x = 2 - y$

$3 (- 8 y + 3 y^{2} + 4) = 0$

$x = 2 - y$

Schritt 3.3.2

Es sei $u = y$ . Ersetze $u$ für alle $y$ .

$3 (- 8 u + 3 u^{2} + 4) = 0$

$x = 2 - y$

Schritt 3.3.3

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 3.3.3.1

Stelle die Terme um.

$3 (3 u^{2} - 8 u + 4) = 0$

$x = 2 - y$

Schritt 3.3.3.2

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = 3 \cdot 4 = 12$ und deren Summe gleich $b = - 8$ ist.

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Schritt 3.3.3.2.1

Faktorisiere $- 8$ aus $- 8 u$ heraus.

$3 (3 u^{2} - 8 u + 4) = 0$

$x = 2 - y$

Schritt 3.3.3.2.2

Schreibe $- 8$ um als $- 2$ plus $- 6$

$3 (3 u^{2} + (- 2 - 6) u + 4) = 0$

$x = 2 - y$

Schritt 3.3.3.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$3 (3 u^{2} - 2 u - 6 u + 4) = 0$

$x = 2 - y$

$3 (3 u^{2} - 2 u - 6 u + 4) = 0$

$x = 2 - y$

Schritt 3.3.3.3

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 3.3.3.3.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$3 ((3 u^{2} - 2 u) - 6 u + 4) = 0$

$x = 2 - y$

Schritt 3.3.3.3.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$3 (u (3 u - 2) - 2 (3 u - 2)) = 0$

$x = 2 - y$

$3 (u (3 u - 2) - 2 (3 u - 2)) = 0$

$x = 2 - y$

Schritt 3.3.3.4

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $3 u - 2$ .

$3 ((3 u - 2) (u - 2)) = 0$

$x = 2 - y$

$3 ((3 u - 2) (u - 2)) = 0$

$x = 2 - y$

Schritt 3.3.4

Faktorisiere.

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Schritt 3.3.4.1

Ersetze alle $u$ durch $y$ .

$3 ((3 y - 2) (y - 2)) = 0$

$x = 2 - y$

Schritt 3.3.4.2

Entferne unnötige Klammern.

$3 (3 y - 2) (y - 2) = 0$

$x = 2 - y$

$3 (3 y - 2) (y - 2) = 0$

$x = 2 - y$

$3 (3 y - 2) (y - 2) = 0$

$x = 2 - y$

Schritt 3.4

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$3 y - 2 = 0$

$y - 2 = 0$

$x = 2 - y$

Schritt 3.5

Setze $3 y - 2$ gleich $0$ und löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.5.1

Setze $3 y - 2$ gleich $0$ .

$3 y - 2 = 0$

$x = 2 - y$

Schritt 3.5.2

Löse $3 y - 2 = 0$ nach $y$ auf.

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Schritt 3.5.2.1

Addiere $2$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$3 y = 2$

$x = 2 - y$

Schritt 3.5.2.2

Teile jeden Ausdruck in $3 y = 2$ durch $3$ und vereinfache.

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Schritt 3.5.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $3 y = 2$ durch $3$ .

$\frac{3 y}{3} = \frac{2}{3}$

$x = 2 - y$

Schritt 3.5.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.5.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 3.5.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 y}{3} = \frac{2}{3}$

$x = 2 - y$

Schritt 3.5.2.2.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{2}{3}$

$x = 2 - y$

$y = \frac{2}{3}$

$x = 2 - y$

$y = \frac{2}{3}$

$x = 2 - y$

$y = \frac{2}{3}$

$x = 2 - y$

$y = \frac{2}{3}$

$x = 2 - y$

$y = \frac{2}{3}$

$x = 2 - y$

Schritt 3.6

Setze $y - 2$ gleich $0$ und löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.6.1

Setze $y - 2$ gleich $0$ .

$y - 2 = 0$

$x = 2 - y$

Schritt 3.6.2

Addiere $2$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$y = 2$

$x = 2 - y$

$y = 2$

$x = 2 - y$

Schritt 3.7

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $3 (3 y - 2) (y - 2) = 0$ wahr machen.

$y = \frac{2}{3}, 2$

$x = 2 - y$

$y = \frac{2}{3}, 2$

$x = 2 - y$

Schritt 4

Ersetze alle Vorkommen von $y$ durch $\frac{2}{3}$ in jeder Gleichung.

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Schritt 4.1

Ersetze alle $y$ in $x = 2 - y$ durch $\frac{2}{3}$ .

$x = 2 - (\frac{2}{3})$

$y = \frac{2}{3}$

Schritt 4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.2.1

Vereinfache $2 - (\frac{2}{3})$ .

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Schritt 4.2.1.1

Um $2$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$x = 2 \cdot \frac{3}{3} - \frac{2}{3}$

$y = \frac{2}{3}$

Schritt 4.2.1.2

Kombiniere $2$ und $\frac{3}{3}$ .

$x = \frac{2 \cdot 3}{3} - \frac{2}{3}$

$y = \frac{2}{3}$

Schritt 4.2.1.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x = \frac{2 \cdot 3 - 2}{3}$

$y = \frac{2}{3}$

Schritt 4.2.1.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.2.1.4.1

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$x = \frac{6 - 2}{3}$

$y = \frac{2}{3}$

Schritt 4.2.1.4.2

Subtrahiere $2$ von $6$ .

$x = \frac{4}{3}$

$y = \frac{2}{3}$

$x = \frac{4}{3}$

$y = \frac{2}{3}$

$x = \frac{4}{3}$

$y = \frac{2}{3}$

$x = \frac{4}{3}$

$y = \frac{2}{3}$

$x = \frac{4}{3}$

$y = \frac{2}{3}$

Schritt 5

Ersetze alle Vorkommen von $y$ durch $2$ in jeder Gleichung.

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Schritt 5.1

Ersetze alle $y$ in $x = 2 - y$ durch $2$ .

$x = 2 - (2)$

$y = 2$

Schritt 5.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.2.1

Vereinfache $2 - (2)$ .

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Schritt 5.2.1.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$x = 2 - 2$

$y = 2$

Schritt 5.2.1.2

Subtrahiere $2$ von $2$ .

$x = 0$

$y = 2$

$x = 0$

$y = 2$

$x = 0$

$y = 2$

$x = 0$

$y = 2$

Schritt 6

Die Lösung des Systems ist der vollständige Satz geordneter Paare, die gültige Lösungen sind.

$(\frac{4}{3}, \frac{2}{3})$

$(0, 2)$

Schritt 7

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Punkt-Form:

$(\frac{4}{3}, \frac{2}{3}), (0, 2)$

Gleichungsform:

$x = \frac{4}{3}, y = \frac{2}{3}$

$x = 0, y = 2$

Schritt 8

Gib DEINE Aufgabe ein