Algebra Beispiele

$2 x + 4 y = 25$ , $x + 5 y = 2$

Ermittle $A X = B$ aus dem Gleichungssystem.

$[\begin{array}{c} 2 & 4 \\ 1 & 5 \end{array}] \cdot [\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = [\begin{array}{c} 25 \\ 2 \end{array}]$

Bestimme die Inverse der Koeffizientenmatrix von $[\begin{array}{c} 2 & 4 \\ 1 & 5 \end{array}]$ .

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Die Inverse einer $2 \times 2$ -Matrix kann mithilfe der Formel $\frac{1}{| A |} [\begin{array}{c} d & - b \\ - c & a \end{array}]$ bestimmt werden, wobei $| A |$ die Determinante von $A$ ist.

Wenn $A = [\begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array}]$ , dann $A^{- 1} = \frac{1}{| A |} [\begin{array}{c} d & - b \\ - c & a \end{array}]$

Die Determinante von $[\begin{array}{c} 2 & 4 \\ 1 & 5 \end{array}]$ ist $6$ .

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Dies sind beides gültige Schreibweisen für die Determinante einer Matrix.

$Determinante [\begin{array}{c} 2 & 4 \\ 1 & 5 \end{array}] = | \begin{array}{c} 2 & 4 \\ 1 & 5 \end{array} |$

Die Determinante einer $2 \times 2$ -Matrix kann mithilfe der Formel $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ bestimmt werden.

$(2) (5) - 1 \cdot 4$

Vereinfache die Determinante.

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Vereinfache jeden Term.

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Mutltipliziere $2$ mit $5$ .

$10 - 1 \cdot 4$

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$10 - 4$

Subtrahiere $4$ von $10$ .

$6$

Setze die bekannten Werte in die Formel für die Inverse einer Matrix ein.

$\frac{1}{6} [\begin{array}{c} 5 & - (4) \\ - (1) & 2 \end{array}]$

Vereinfache jedes Element der Matrix $[\begin{array}{c} 5 & - (4) \\ - (1) & 2 \end{array}]$ .

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Stelle $- (4)$ um.

$\frac{1}{6} [\begin{array}{c} 5 & - 4 \\ - (1) & 2 \end{array}]$

Stelle $- (1)$ um.

$\frac{1}{6} [\begin{array}{c} 5 & - 4 \\ - 1 & 2 \end{array}]$

Multipliziere $\frac{1}{6}$ mit jedem Element der Matrix.

$[\begin{array}{c} \frac{1}{6} \cdot 5 & \frac{1}{6} \cdot - 4 \\ \frac{1}{6} \cdot - 1 & \frac{1}{6} \cdot 2 \end{array}]$

Vereinfache jedes Element der Matrix $[\begin{array}{c} \frac{1}{6} \cdot 5 & \frac{1}{6} \cdot - 4 \\ \frac{1}{6} \cdot - 1 & \frac{1}{6} \cdot 2 \end{array}]$ .

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Stelle $\frac{1}{6} \cdot 5$ um.

$[\begin{array}{c} \frac{5}{6} & \frac{1}{6} \cdot - 4 \\ \frac{1}{6} \cdot - 1 & \frac{1}{6} \cdot 2 \end{array}]$

Stelle $\frac{1}{6} \cdot - 4$ um.

$[\begin{array}{c} \frac{5}{6} & - \frac{2}{3} \\ \frac{1}{6} \cdot - 1 & \frac{1}{6} \cdot 2 \end{array}]$

Stelle $\frac{1}{6} \cdot - 1$ um.

$[\begin{array}{c} \frac{5}{6} & - \frac{2}{3} \\ - \frac{1}{6} & \frac{1}{6} \cdot 2 \end{array}]$

Stelle $\frac{1}{6} \cdot 2$ um.

$[\begin{array}{c} \frac{5}{6} & - \frac{2}{3} \\ - \frac{1}{6} & \frac{1}{3} \end{array}]$

Multipliziere beide Seiten der Matrizengleichung $[\begin{array}{c} 2 & 4 \\ 1 & 5 \end{array}] \cdot [\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = [\begin{array}{c} 25 \\ 2 \end{array}]$ von links mit der inversen Matrix $[\begin{array}{c} \frac{5}{6} & - \frac{2}{3} \\ - \frac{1}{6} & \frac{1}{3} \end{array}]$ .

$([\begin{array}{c} \frac{5}{6} & - \frac{2}{3} \\ - \frac{1}{6} & \frac{1}{3} \end{array}] \cdot [\begin{array}{c} 2 & 4 \\ 1 & 5 \end{array}]) \cdot [\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = [\begin{array}{c} \frac{5}{6} & - \frac{2}{3} \\ - \frac{1}{6} & \frac{1}{3} \end{array}] \cdot [\begin{array}{c} 25 \\ 2 \end{array}]$

Jede Matrix multipliziert mit ihrer Inversen ist immer gleich $1$ . $A \cdot A^{- 1} = 1$ . $[\begin{array}{c} \frac{5}{6} & - \frac{2}{3} \\ - \frac{1}{6} & \frac{1}{3} \end{array}] \cdot [\begin{array}{c} 2 & 4 \\ 1 & 5 \end{array}] = 1$ .

$[\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = [\begin{array}{c} \frac{5}{6} & - \frac{2}{3} \\ - \frac{1}{6} & \frac{1}{3} \end{array}] \cdot [\begin{array}{c} 25 \\ 2 \end{array}]$

Vereinfache die rechte Seite der Gleichung.

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Multipliziere jede Zeile in der ersten Matrix $[\begin{array}{c} \frac{5}{6} & - \frac{2}{3} \\ - \frac{1}{6} & \frac{1}{3} \end{array}]$ mit jeder Spalte in der zweiten Matrix $[\begin{array}{c} 25 \\ 2 \end{array}]$ .

$[\begin{array}{c} \frac{5}{6} \cdot 25 - \frac{2}{3} \cdot 2 \\ - \frac{1}{6} \cdot 25 + \frac{1}{3} \cdot 2 \end{array}]$

Vereinfache jedes Element der Matrix durch Ausmultiplizieren aller Ausdrücke.

$[\begin{array}{c} \frac{39}{2} \\ - \frac{7}{2} \end{array}]$

Die Gleichung ist nach Vereinfachen der rechten und linken Seite gleich $[\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = [\begin{array}{c} \frac{39}{2} \\ - \frac{7}{2} \end{array}]$ .

$[\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = [\begin{array}{c} \frac{39}{2} \\ - \frac{7}{2} \end{array}]$

Ermittle die Lösung.

$x = \frac{39}{2}$

$y = - \frac{7}{2}$

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