Algebra Beispiele

$[\begin{array}{c} 3 & 2 \\ 4 & 6 \end{array}]$

Stelle die Formel auf, um die charakteristische Gleichung $p (λ)$ zu ermitteln.

$p (λ) = Determinante (A + (- λ I_{2}))$

Ersetze die bekannten Werte in der Formel.

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 3 & 2 \\ 4 & 6 \end{array}] - λ [\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}])$

Subtrahiere den Eigenwert mal der Einheitsmatrix von der ursprünglichen Matrix.

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Multipliziere $- λ$ mit jedem Element der Matrix.

$p (λ) = [\begin{array}{c} 3 & 2 \\ 4 & 6 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}]$

Vereinfache jedes Element der Matrix $[\begin{array}{c} - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}]$ .

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Stelle $- λ \cdot 1$ um.

$p (λ) = [\begin{array}{c} 3 & 2 \\ 4 & 6 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}]$

Stelle $- λ \cdot 0$ um.

$p (λ) = [\begin{array}{c} 3 & 2 \\ 4 & 6 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}]$

Stelle $- λ \cdot 0$ um.

$p (λ) = [\begin{array}{c} 3 & 2 \\ 4 & 6 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 & - λ \cdot 1 \end{array}]$

Stelle $- λ \cdot 1$ um.

$p (λ) = [\begin{array}{c} 3 & 2 \\ 4 & 6 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 & - λ \end{array}]$

Addiere die entsprechenden Elemente von $[\begin{array}{c} 3 & 2 \\ 4 & 6 \end{array}]$ zu jedem Element von $[\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 & - λ \end{array}]$ .

$p (λ) = [\begin{array}{c} - λ + 3 & 0 + 2 \\ 0 + 4 & - λ + 6 \end{array}]$

Vereinfache jedes Element der Matrix $[\begin{array}{c} - λ + 3 & 0 + 2 \\ 0 + 4 & - λ + 6 \end{array}]$ .

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Vereinfache $0 + 2$ .

$p (λ) = [\begin{array}{c} - λ + 3 & 2 \\ 0 + 4 & - λ + 6 \end{array}]$

Vereinfache $0 + 4$ .

$p (λ) = [\begin{array}{c} - λ + 3 & 2 \\ 4 & - λ + 6 \end{array}]$

Die Determinante von $[\begin{array}{c} - λ + 3 & 2 \\ 4 & - λ + 6 \end{array}]$ ist $λ^{2} - 9 λ + 10$ .

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Dies sind beides gültige Schreibweisen für die Determinante einer Matrix.

$Determinante [\begin{array}{c} - L + 3 & 2 \\ 4 & - L + 6 \end{array}] = | \begin{array}{c} - L + 3 & 2 \\ 4 & - L + 6 \end{array} |$

Die Determinante einer $2 \times 2$ -Matrix kann mithilfe der Formel $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ bestimmt werden.

$p (λ) = (- λ + 3) (- λ + 6) - 4 \cdot 2$

Vereinfache die Determinante.

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Vereinfache jeden Term.

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Multipliziere $(- λ + 3) (- λ + 6)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Wende das Distributivgesetz an.

$p (λ) = - λ (- λ + 6) + 3 (- λ + 6) - 4 \cdot 2$

Wende das Distributivgesetz an.

$p (λ) = - λ (- λ) - λ \cdot 6 + 3 (- λ + 6) - 4 \cdot 2$

Wende das Distributivgesetz an.

$p (λ) = - λ (- λ) - λ \cdot 6 + 3 (- λ) + 3 \cdot 6 - 4 \cdot 2$

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Vereinfache jeden Term.

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Mutltipliziere $λ$ mit $λ$ .

$p (λ) = - 1 \cdot (- 1 λ^{2}) - λ \cdot 6 + 3 (- λ) + 3 \cdot 6 - 4 \cdot 2$

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$p (λ) = 1 λ^{2} - λ \cdot 6 + 3 (- λ) + 3 \cdot 6 - 4 \cdot 2$

Mutltipliziere $λ^{2}$ mit $1$ .

$p (λ) = λ^{2} - λ \cdot 6 + 3 (- λ) + 3 \cdot 6 - 4 \cdot 2$

Mutltipliziere $6$ mit $- 1$ .

$p (λ) = λ^{2} - 6 λ + 3 (- λ) + 3 \cdot 6 - 4 \cdot 2$

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$p (λ) = λ^{2} - 6 λ - 3 λ + 3 \cdot 6 - 4 \cdot 2$

Mutltipliziere $3$ mit $6$ .

$p (λ) = λ^{2} - 6 λ - 3 λ + 18 - 4 \cdot 2$

Subtrahiere $3 λ$ von $- 6 λ$ .

$p (λ) = λ^{2} - 9 λ + 18 - 4 \cdot 2$

Mutltipliziere $- 4$ mit $2$ .

$p (λ) = λ^{2} - 9 λ + 18 - 8$

Subtrahiere $8$ von $18$ .

$p (λ) = λ^{2} - 9 λ + 10$

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