Algebra Beispiele

${(z - 3)}^{4} = 2 i$

Ersetze $z - 3$ durch $u$ .

$u^{4} = 2 i$

Das ist die trigonometrische Form einer komplexen Zahl, wobei $| z |$ der Betrag und $θ$ der Winkel, der in der komplexen Ebene entsteht, ist.

$z = a + b i = | z | (\cos (θ) + i \sin (θ))$

Der Betrag einer komplexen Zahl ist der Abstand vom Ursprung in der komplexen Zahlenebene.

$| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ , wobei $z = a + b i$

Ersetze die tatsächlichen Werte von $a = 0$ und $b = 2$ .

$| z | = \sqrt{2^{2}}$

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$| z | = 2$

Der Winkel des Punkts in der komplexen Zahlenebene ist der inverse Tangens des Imaginärteils geteilt durch den Realteil.

$θ = \arctan (\frac{2}{0})$

Da das Argument nicht definiert ist und $b$ positiv ist, ist der Winkel des Punktes in der komplexen Ebene $\frac{π}{2}$ .

$θ = \frac{π}{2}$

Substituiere die Werte von $θ = \frac{π}{2}$ und $| z | = 2$ .

$2 (\cos (\frac{π}{2}) + i \sin (\frac{π}{2}))$

Ersetze die rechte Seite der Gleichung durch die trigonometrische Form.

$u^{4} = 2 (\cos (\frac{π}{2}) + i \sin (\frac{π}{2}))$

Ermittle eine Gleichung für $u$ mithilfe des Satzes von De Moivre.

$r^{4} (c o s (4 θ) + i s i n (4 θ)) = 2 i = 2 (\cos (\frac{π}{2}) + i \sin (\frac{π}{2}))$

Setze den Betrag der trigonometrischen Form gleich $r^{4}$ , um den Wert von $r$ zu finden.

$r^{4} = 2$

Löse die Gleichung nach $r$ auf.

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Ziehe die 4. Wurzel aus beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$r = \pm \sqrt[4]{2}$

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$r = \sqrt[4]{2}$

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$r = - \sqrt[4]{2}$

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$r = \sqrt[4]{2}; - \sqrt[4]{2}$

Finde den Näherungswert von $r$ .

$r = 1,18920711$

Ermittle die möglichen Werte von $θ$ .

$c o s (4 θ) = c o s (\frac{π}{2} + 2 π n)$ und $s i n (4 θ) = s i n (\frac{π}{2} + 2 π n)$

Alle möglichen Werte von $θ$ zu ermitteln führt zur Gleichung $4 θ = \frac{π}{2} + 2 π n$ .

$4 θ = \frac{π}{2} + 2 π n$

Ermittle den Wert von $θ$ für $r = 0$ .

$4 θ = \frac{π}{2} + 2 π (0)$

Löse die Gleichung nach $θ$ auf.

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Multipliziere $2 π (0)$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen...

Mutltipliziere $0$ mit $2$ .

For $n = 0 : \frac{π}{2} + 0 π$

Mutltipliziere $0$ mit $π$ .

For $n = 0 : \frac{π}{2} + 0$

$4 θ = \frac{π}{2} + 0$

Addiere $\frac{π}{2}$ und $0$ .

$4 θ = \frac{π}{2}$

Teile jeden Ausdruck durch $4$ und vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen...

Teile jeden Ausdruck in $4 θ = \frac{π}{2}$ durch $4$ .

$\frac{4 θ}{4} = \frac{π}{2} \cdot \frac{1}{4}$

Vereinfache den Ausdruck durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 θ}{4} = \frac{π}{2} \cdot \frac{1}{4}$

Dividiere $θ$ durch $1$ .

$θ = \frac{π}{2} \cdot \frac{1}{4}$

Multipliziere $\frac{π}{2} \cdot \frac{1}{4}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen...

Multipliziere $\frac{π}{2}$ und $\frac{1}{4}$ .

$θ = \frac{π}{2 \cdot 4}$

Mutltipliziere $2$ mit $4$ .

$θ = \frac{π}{8}$

Benutze die Werte von $θ$ und $r$ , um eine Lösung für die Gleichung $u^{4} = 2 i$ zu ermitteln.

$u_{0} = 1,18920711 (\cos (\frac{π}{8}) + i \sin (\frac{π}{8}))$

Wandle die Lösung in die rechtwinklige Form um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen...

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen...

Berechne $\cos (\frac{π}{8})$ .

$u_{0} = 1,18920711 (0,92387953 + i \sin (\frac{π}{8}))$

Berechne $\sin (\frac{π}{8})$ .

$u_{0} = 1,18920711 (0,92387953 + i \cdot 0,38268343)$

Bringe $0,38268343$ auf die linke Seite von $i$ .

$u_{0} = 1,18920711 (0,92387953 + 0,38268343 i)$

Vereinfache durch Ausmultiplizieren.

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Wende das Distributionsgesetz an.

$u_{0} = 1,18920711 \cdot 0,92387953 + 1,18920711 (0,38268343 i)$

Multipliziere.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen...

Mutltipliziere $1,18920711$ mit $0,92387953$ .

$u_{0} = 1,09868411 + 1,18920711 (0,38268343 i)$

Mutltipliziere $0,38268343$ mit $1,18920711$ .

$u_{0} = 1,09868411 + 0,45508986 i$

Setze $z - 3$ für $u$ ein, um den Wert von $z$ nach der Verschiebung nach rechts zu berechnen.

$z_{0} = 3 + 1,09868411 + 0,45508986 i$

Ermittle den Wert von $θ$ für $r = 1$ .

$4 θ = \frac{π}{2} + 2 π (1)$

Löse die Gleichung nach $θ$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen...

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$4 θ = \frac{π}{2} + 2 π$

Um $\frac{2 π}{1}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$4 θ = \frac{π}{2} + \frac{2 π}{1} \cdot \frac{2}{2}$

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $2$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen...

Vereinige.

For $n = 1 : \frac{π}{2} + \frac{2 π \cdot 2}{1 \cdot 2}$

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

For $n = 1 : \frac{π}{2} + \frac{2 π \cdot 2}{2}$

$4 θ = \frac{π}{2} + \frac{2 π \cdot 2}{2}$

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$4 θ = \frac{π + 2 π \cdot 2}{2}$

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$4 θ = \frac{π + 4 π}{2}$

Addiere $π$ und $4 π$ .

$4 θ = \frac{5 π}{2}$

Teile jeden Ausdruck durch $4$ und vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen...

Teile jeden Ausdruck in $4 θ = \frac{5 π}{2}$ durch $4$ .

$\frac{4 θ}{4} = \frac{5 π}{2} \cdot \frac{1}{4}$

Vereinfache den Ausdruck durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen...

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 θ}{4} = \frac{5 π}{2} \cdot \frac{1}{4}$

Dividiere $θ$ durch $1$ .

$θ = \frac{5 π}{2} \cdot \frac{1}{4}$

Multipliziere $\frac{5 π}{2} \cdot \frac{1}{4}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen...

Multipliziere $\frac{5 π}{2}$ und $\frac{1}{4}$ .

$θ = \frac{5 π}{2 \cdot 4}$

Mutltipliziere $2$ mit $4$ .

$θ = \frac{5 π}{8}$

Benutze die Werte von $θ$ und $r$ , um eine Lösung für die Gleichung $u^{4} = 2 i$ zu ermitteln.

$u_{1} = 1,18920711 (\cos (\frac{5 π}{8}) + i \sin (\frac{5 π}{8}))$

Wandle die Lösung in die rechtwinklige Form um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen...

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen...

Berechne $\cos (\frac{5 π}{8})$ .

$u_{1} = 1,18920711 (- 0,38268343 + i \sin (\frac{5 π}{8}))$

Berechne $\sin (\frac{5 π}{8})$ .

$u_{1} = 1,18920711 (- 0,38268343 + i \cdot 0,92387953)$

Bringe $0,92387953$ auf die linke Seite von $i$ .

$u_{1} = 1,18920711 (- 0,38268343 + 0,92387953 i)$

Vereinfache durch Ausmultiplizieren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen...

Wende das Distributionsgesetz an.

$u_{1} = 1,18920711 \cdot - 0,38268343 + 1,18920711 (0,92387953 i)$

Multipliziere.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen...

Mutltipliziere $1,18920711$ mit $- 0,38268343$ .

$u_{1} = - 0,45508986 + 1,18920711 (0,92387953 i)$

Mutltipliziere $0,92387953$ mit $1,18920711$ .

$u_{1} = - 0,45508986 + 1,09868411 i$

Setze $z - 3$ für $u$ ein, um den Wert von $z$ nach der Verschiebung nach rechts zu berechnen.

$z_{1} = 3 - 0,45508986 + 1,09868411 i$

Ermittle den Wert von $θ$ für $r = 2$ .

$4 θ = \frac{π}{2} + 2 π (2)$

Löse die Gleichung nach $θ$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen...

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$4 θ = \frac{π}{2} + 4 π$

Um $\frac{4 π}{1}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$4 θ = \frac{π}{2} + \frac{4 π}{1} \cdot \frac{2}{2}$

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $2$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen...

Vereinige.

For $n = 2 : \frac{π}{2} + \frac{4 π \cdot 2}{1 \cdot 2}$

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

For $n = 2 : \frac{π}{2} + \frac{4 π \cdot 2}{2}$

$4 θ = \frac{π}{2} + \frac{4 π \cdot 2}{2}$

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$4 θ = \frac{π + 4 π \cdot 2}{2}$

Mutltipliziere $2$ mit $4$ .

$4 θ = \frac{π + 8 π}{2}$

Addiere $π$ und $8 π$ .

$4 θ = \frac{9 π}{2}$

Teile jeden Ausdruck durch $4$ und vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen...

Teile jeden Ausdruck in $4 θ = \frac{9 π}{2}$ durch $4$ .

$\frac{4 θ}{4} = \frac{9 π}{2} \cdot \frac{1}{4}$

Vereinfache den Ausdruck durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen...

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 θ}{4} = \frac{9 π}{2} \cdot \frac{1}{4}$

Dividiere $θ$ durch $1$ .

$θ = \frac{9 π}{2} \cdot \frac{1}{4}$

Multipliziere $\frac{9 π}{2} \cdot \frac{1}{4}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen...

Multipliziere $\frac{9 π}{2}$ und $\frac{1}{4}$ .

$θ = \frac{9 π}{2 \cdot 4}$

Mutltipliziere $2$ mit $4$ .

$θ = \frac{9 π}{8}$

Benutze die Werte von $θ$ und $r$ , um eine Lösung für die Gleichung $u^{4} = 2 i$ zu ermitteln.

$u_{2} = 1,18920711 (\cos (\frac{9 π}{8}) + i \sin (\frac{9 π}{8}))$

Wandle die Lösung in die rechtwinklige Form um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen...

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen...

Berechne $\cos (\frac{9 π}{8})$ .

$u_{2} = 1,18920711 (- 0,92387953 + i \sin (\frac{9 π}{8}))$

Berechne $\sin (\frac{9 π}{8})$ .

$u_{2} = 1,18920711 (- 0,92387953 + i \cdot - 0,38268343)$

Bringe $- 0,38268343$ auf die linke Seite von $i$ .

$u_{2} = 1,18920711 (- 0,92387953 - 0,38268343 i)$

Vereinfache durch Ausmultiplizieren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen...

Wende das Distributionsgesetz an.

$u_{2} = 1,18920711 \cdot - 0,92387953 + 1,18920711 (- 0,38268343 i)$

Multipliziere.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen...

Mutltipliziere $1,18920711$ mit $- 0,92387953$ .

$u_{2} = - 1,09868411 + 1,18920711 (- 0,38268343 i)$

Mutltipliziere $- 0,38268343$ mit $1,18920711$ .

$u_{2} = - 1,09868411 - 0,45508986 i$

Setze $z - 3$ für $u$ ein, um den Wert von $z$ nach der Verschiebung nach rechts zu berechnen.

$z_{2} = 3 - 1,09868411 - 0,45508986 i$

Ermittle den Wert von $θ$ für $r = 3$ .

$4 θ = \frac{π}{2} + 2 π (3)$

Löse die Gleichung nach $θ$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen...

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$4 θ = \frac{π}{2} + 6 π$

Um $\frac{6 π}{1}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$4 θ = \frac{π}{2} + \frac{6 π}{1} \cdot \frac{2}{2}$

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $2$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen...

Vereinige.

For $n = 3 : \frac{π}{2} + \frac{6 π \cdot 2}{1 \cdot 2}$

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

For $n = 3 : \frac{π}{2} + \frac{6 π \cdot 2}{2}$

$4 θ = \frac{π}{2} + \frac{6 π \cdot 2}{2}$

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$4 θ = \frac{π + 6 π \cdot 2}{2}$

Mutltipliziere $2$ mit $6$ .

$4 θ = \frac{π + 12 π}{2}$

Addiere $π$ und $12 π$ .

$4 θ = \frac{13 π}{2}$

Teile jeden Ausdruck durch $4$ und vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen...

Teile jeden Ausdruck in $4 θ = \frac{13 π}{2}$ durch $4$ .

$\frac{4 θ}{4} = \frac{13 π}{2} \cdot \frac{1}{4}$

Vereinfache den Ausdruck durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen...

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 θ}{4} = \frac{13 π}{2} \cdot \frac{1}{4}$

Dividiere $θ$ durch $1$ .

$θ = \frac{13 π}{2} \cdot \frac{1}{4}$

Multipliziere $\frac{13 π}{2} \cdot \frac{1}{4}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen...

Multipliziere $\frac{13 π}{2}$ und $\frac{1}{4}$ .

$θ = \frac{13 π}{2 \cdot 4}$

Mutltipliziere $2$ mit $4$ .

$θ = \frac{13 π}{8}$

Benutze die Werte von $θ$ und $r$ , um eine Lösung für die Gleichung $u^{4} = 2 i$ zu ermitteln.

$u_{3} = 1,18920711 (\cos (\frac{13 π}{8}) + i \sin (\frac{13 π}{8}))$

Wandle die Lösung in die rechtwinklige Form um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen...

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen...

Berechne $\cos (\frac{13 π}{8})$ .

$u_{3} = 1,18920711 (0,38268343 + i \sin (\frac{13 π}{8}))$

Berechne $\sin (\frac{13 π}{8})$ .

$u_{3} = 1,18920711 (0,38268343 + i \cdot - 0,92387953)$

Bringe $- 0,92387953$ auf die linke Seite von $i$ .

$u_{3} = 1,18920711 (0,38268343 - 0,92387953 i)$

Vereinfache durch Ausmultiplizieren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen...

Wende das Distributionsgesetz an.

$u_{3} = 1,18920711 \cdot 0,38268343 + 1,18920711 (- 0,92387953 i)$

Multipliziere.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen...

Mutltipliziere $1,18920711$ mit $0,38268343$ .

$u_{3} = 0,45508986 + 1,18920711 (- 0,92387953 i)$

Mutltipliziere $- 0,92387953$ mit $1,18920711$ .

$u_{3} = 0,45508986 - 1,09868411 i$

Setze $z - 3$ für $u$ ein, um den Wert von $z$ nach der Verschiebung nach rechts zu berechnen.

$z_{3} = 3 + 0,45508986 - 1,09868411 i$

Dies sind die komplexen Lösungen für $u^{4} = 2 i$ .

$z_{0} = 4,09868411 + 0,45508986 i$

$z_{1} = 2,54491013 + 1,09868411 i$

$z_{2} = 1,90131588 - 0,45508986 i$

$z_{3} = 3,45508986 - 1,09868411 i$

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