Algebra Beispiele

${(z + 3)}^{3} = 2 i$

Ersetze $z + 3$ durch $u$ .

$u^{3} = 2 i$

Das ist die trigonometrische Form einer komplexen Zahl, wobei $| z |$ der Betrag und $θ$ der Winkel, der in der komplexen Ebene entsteht, ist.

$z = a + b i = | z | (\cos (θ) + i \sin (θ))$

Der Betrag einer komplexen Zahl ist der Abstand vom Ursprung in der komplexen Zahlenebene.

$| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ , wobei $z = a + b i$

Ersetze die tatsächlichen Werte von $a = 0$ und $b = 2$ .

$| z | = \sqrt{2^{2}}$

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$| z | = 2$

Der Winkel des Punkts in der komplexen Zahlenebene ist der inverse Tangens des Imaginärteils geteilt durch den Realteil.

$θ = \arctan (\frac{2}{0})$

Da das Argument nicht definiert ist und $b$ positiv ist, ist der Winkel des Punktes in der komplexen Ebene $\frac{π}{2}$ .

$θ = \frac{π}{2}$

Substituiere die Werte von $θ = \frac{π}{2}$ und $| z | = 2$ .

$2 (\cos (\frac{π}{2}) + i \sin (\frac{π}{2}))$

Ersetze die rechte Seite der Gleichung durch die trigonometrische Form.

$u^{3} = 2 (\cos (\frac{π}{2}) + i \sin (\frac{π}{2}))$

Ermittle eine Gleichung für $u$ mithilfe des Satzes von De Moivre.

$r^{3} (c o s (3 θ) + i s i n (3 θ)) = 2 i = 2 (\cos (\frac{π}{2}) + i \sin (\frac{π}{2}))$

Setze den Betrag der trigonometrischen Form gleich $r^{3}$ , um den Wert von $r$ zu finden.

$r^{3} = 2$

Ziehe die Kubikwurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$r = \sqrt[3]{2}$

Finde den Näherungswert von $r$ .

$r = 1.25992104$

Ermittle die möglichen Werte von $θ$ .

$c o s (3 θ) = c o s (\frac{π}{2} + 2 π n)$ und $s i n (3 θ) = s i n (\frac{π}{2} + 2 π n)$

Alle möglichen Werte von $θ$ zu ermitteln führt zur Gleichung $3 θ = \frac{π}{2} + 2 π n$ .

$3 θ = \frac{π}{2} + 2 π n$

Ermittle den Wert von $θ$ für $r = 0$ .

$3 θ = \frac{π}{2} + 2 π (0)$

Löse die Gleichung nach $θ$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen...

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen...

Multipliziere $2 π (0)$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen...

Mutltipliziere $0$ mit $2$ .

$3 θ = \frac{π}{2} + 0 π$

Mutltipliziere $0$ mit $π$ .

$3 θ = \frac{π}{2} + 0$

Addiere $\frac{π}{2}$ und $0$ .

$3 θ = \frac{π}{2}$

Teile jeden Ausdruck durch $3$ und vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen...

Teile jeden Ausdruck in $3 θ = \frac{π}{2}$ durch $3$ .

$\frac{3 θ}{3} = \frac{π}{2} \cdot \frac{1}{3}$

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen...

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 θ}{3} = \frac{π}{2} \cdot \frac{1}{3}$

Dividiere $θ$ durch $1$ .

$θ = \frac{π}{2} \cdot \frac{1}{3}$

Multipliziere $\frac{π}{2} \cdot \frac{1}{3}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen...

Multipliziere $\frac{π}{2}$ und $\frac{1}{3}$ .

$θ = \frac{π}{2 \cdot 3}$

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$θ = \frac{π}{6}$

Benutze die Werte von $θ$ und $r$ , um eine Lösung für die Gleichung $u^{3} = 2 i$ zu ermitteln.

$u_{0} = 1.25992104 (\cos (\frac{π}{6}) + i \sin (\frac{π}{6}))$

Wandle die Lösung in die rechtwinklige Form um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen...

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen...

Der genau Wert von $\cos (\frac{π}{6})$ ist $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$u_{0} = 1.25992104 (\frac{\sqrt{3}}{2} + i \sin (\frac{π}{6}))$

Der genau Wert von $\sin (\frac{π}{6})$ ist $\frac{1}{2}$ .

$u_{0} = 1.25992104 (\frac{\sqrt{3}}{2} + i (\frac{1}{2}))$

Kombiniere $i$ und $\frac{1}{2}$ .

$u_{0} = 1.25992104 (\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{i}{2})$

Vereinfache Terme.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen...

Wende das Distributivgesetz an.

$u_{0} = 1.25992104 (\frac{\sqrt{3}}{2}) + 1.25992104 (\frac{i}{2})$

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen...

Faktorisiere $2$ aus $1.25992104$ heraus.

$u_{0} = 2 (0.62996052) (\frac{\sqrt{3}}{2}) + 1.25992104 (\frac{i}{2})$

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$u_{0} = 2 \cdot (0.62996052 (\frac{\sqrt{3}}{2})) + 1.25992104 (\frac{i}{2})$

Forme den Ausdruck um.

$u_{0} = 0.62996052 \sqrt{3} + 1.25992104 (\frac{i}{2})$

Mutltipliziere $0.62996052$ mit $\sqrt{3}$ .

$u_{0} = 1.09112363 + 1.25992104 (\frac{i}{2})$

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen...

Faktorisiere $2$ aus $1.25992104$ heraus.

$u_{0} = 1.09112363 + 2 (0.62996052) (\frac{i}{2})$

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$u_{0} = 1.09112363 + 2 \cdot (0.62996052 (\frac{i}{2}))$

Forme den Ausdruck um.

$u_{0} = 1.09112363 + 0.62996052 i$

Setze $z + 3$ für $u$ ein, um den Wert von $z$ nach der Verschiebung nach links zu berechnen.

$z_{0} = - 3 + 1.09112363 + 0.62996052 i$

Ermittle den Wert von $θ$ für $r = 1$ .

$3 θ = \frac{π}{2} + 2 π (1)$

Löse die Gleichung nach $θ$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen...

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen...

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$3 θ = \frac{π}{2} + 2 π$

Um $2 π$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$3 θ = \frac{π}{2} + 2 π \cdot \frac{2}{2}$

Kombiniere $2 π$ und $\frac{2}{2}$ .

$3 θ = \frac{π}{2} + \frac{2 π \cdot 2}{2}$

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$3 θ = \frac{π + 2 π \cdot 2}{2}$

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$3 θ = \frac{π + 4 π}{2}$

Addiere $π$ und $4 π$ .

$3 θ = \frac{5 π}{2}$

Teile jeden Ausdruck durch $3$ und vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen...

Teile jeden Ausdruck in $3 θ = \frac{5 π}{2}$ durch $3$ .

$\frac{3 θ}{3} = \frac{5 π}{2} \cdot \frac{1}{3}$

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen...

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 θ}{3} = \frac{5 π}{2} \cdot \frac{1}{3}$

Dividiere $θ$ durch $1$ .

$θ = \frac{5 π}{2} \cdot \frac{1}{3}$

Multipliziere $\frac{5 π}{2} \cdot \frac{1}{3}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen...

Multipliziere $\frac{5 π}{2}$ und $\frac{1}{3}$ .

$θ = \frac{5 π}{2 \cdot 3}$

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$θ = \frac{5 π}{6}$

Benutze die Werte von $θ$ und $r$ , um eine Lösung für die Gleichung $u^{3} = 2 i$ zu ermitteln.

$u_{1} = 1.25992104 (\cos (\frac{5 π}{6}) + i \sin (\frac{5 π}{6}))$

Wandle die Lösung in die rechtwinklige Form um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen...

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen...

Wende den Referenzwinkel an, indem du den Winkel mit den entsprechenden trigonometrischen Werten im ersten Quadranten findest. Kehre das Vorzeichen des Ausdrucks um, da der Kosinus im zweiten Quadranten negativ ist.

$u_{1} = 1.25992104 (- \cos (\frac{π}{6}) + i \sin (\frac{5 π}{6}))$

Der genau Wert von $\cos (\frac{π}{6})$ ist $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$u_{1} = 1.25992104 (- \frac{\sqrt{3}}{2} + i \sin (\frac{5 π}{6}))$

Wende den Referenzwinkel an, indem du den Winkel mit den entsprechenden trigonometrischen Werten im ersten Quadranten findest.

$u_{1} = 1.25992104 (- \frac{\sqrt{3}}{2} + i \sin (\frac{π}{6}))$

Der genau Wert von $\sin (\frac{π}{6})$ ist $\frac{1}{2}$ .

$u_{1} = 1.25992104 (- \frac{\sqrt{3}}{2} + i (\frac{1}{2}))$

Kombiniere $i$ und $\frac{1}{2}$ .

$u_{1} = 1.25992104 (- \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{i}{2})$

Vereinfache Terme.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen...

Wende das Distributivgesetz an.

$u_{1} = 1.25992104 (- \frac{\sqrt{3}}{2}) + 1.25992104 (\frac{i}{2})$

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen...

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ in den Zähler.

$u_{1} = 1.25992104 (\frac{- \sqrt{3}}{2}) + 1.25992104 (\frac{i}{2})$

Faktorisiere $2$ aus $1.25992104$ heraus.

$u_{1} = 2 (0.62996052) (\frac{- \sqrt{3}}{2}) + 1.25992104 (\frac{i}{2})$

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$u_{1} = 2 \cdot (0.62996052 (\frac{- \sqrt{3}}{2})) + 1.25992104 (\frac{i}{2})$

Forme den Ausdruck um.

$u_{1} = 0.62996052 (- \sqrt{3}) + 1.25992104 (\frac{i}{2})$

Mutltipliziere $- 1$ mit $0.62996052$ .

$u_{1} = - 0.62996052 \sqrt{3} + 1.25992104 (\frac{i}{2})$

Mutltipliziere $- 0.62996052$ mit $\sqrt{3}$ .

$u_{1} = - 1.09112363 + 1.25992104 (\frac{i}{2})$

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen...

Faktorisiere $2$ aus $1.25992104$ heraus.

$u_{1} = - 1.09112363 + 2 (0.62996052) (\frac{i}{2})$

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$u_{1} = - 1.09112363 + 2 \cdot (0.62996052 (\frac{i}{2}))$

Forme den Ausdruck um.

$u_{1} = - 1.09112363 + 0.62996052 i$

Setze $z + 3$ für $u$ ein, um den Wert von $z$ nach der Verschiebung nach links zu berechnen.

$z_{1} = - 3 - 1.09112363 + 0.62996052 i$

Ermittle den Wert von $θ$ für $r = 2$ .

$3 θ = \frac{π}{2} + 2 π (2)$

Löse die Gleichung nach $θ$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen...

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen...

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$3 θ = \frac{π}{2} + 4 π$

Um $4 π$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$3 θ = \frac{π}{2} + 4 π \cdot \frac{2}{2}$

Kombiniere $4 π$ und $\frac{2}{2}$ .

$3 θ = \frac{π}{2} + \frac{4 π \cdot 2}{2}$

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$3 θ = \frac{π + 4 π \cdot 2}{2}$

Mutltipliziere $2$ mit $4$ .

$3 θ = \frac{π + 8 π}{2}$

Addiere $π$ und $8 π$ .

$3 θ = \frac{9 π}{2}$

Teile jeden Ausdruck durch $3$ und vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen...

Teile jeden Ausdruck in $3 θ = \frac{9 π}{2}$ durch $3$ .

$\frac{3 θ}{3} = \frac{9 π}{2} \cdot \frac{1}{3}$

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen...

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 θ}{3} = \frac{9 π}{2} \cdot \frac{1}{3}$

Dividiere $θ$ durch $1$ .

$θ = \frac{9 π}{2} \cdot \frac{1}{3}$

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen...

Faktorisiere $3$ aus $9 π$ heraus.

$θ = \frac{3 (3 π)}{2} \cdot \frac{1}{3}$

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$θ = \frac{3 (3 π)}{2} \cdot \frac{1}{3}$

Forme den Ausdruck um.

$θ = \frac{3 π}{2}$

Benutze die Werte von $θ$ und $r$ , um eine Lösung für die Gleichung $u^{3} = 2 i$ zu ermitteln.

$u_{2} = 1.25992104 (\cos (\frac{3 π}{2}) + i \sin (\frac{3 π}{2}))$

Wandle die Lösung in die rechtwinklige Form um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen...

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen...

Wende den Referenzwinkel an, indem du den Winkel mit den entsprechenden trigonometrischen Werten im ersten Quadranten findest.

$u_{2} = 1.25992104 (\cos (\frac{π}{2}) + i \sin (\frac{3 π}{2}))$

Der genau Wert von $\cos (\frac{π}{2})$ ist $0$ .

$u_{2} = 1.25992104 (0 + i \sin (\frac{3 π}{2}))$

Wende den Referenzwinkel an, indem du den Winkel mit den entsprechenden trigonometrischen Werten im ersten Quadranten findest. Kehre das Vorzeichen des Ausdrucks um, da der Sinus im vierten Quadranten negativ ist.

$u_{2} = 1.25992104 (0 + i (- \sin (\frac{π}{2})))$

Der genau Wert von $\sin (\frac{π}{2})$ ist $1$ .

$u_{2} = 1.25992104 (0 + i (- 1 \cdot 1))$

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$u_{2} = 1.25992104 (0 + i \cdot - 1)$

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $i$ .

$u_{2} = 1.25992104 (0 - 1 \cdot i)$

Schreibe $- 1 i$ als $- i$ um.

$u_{2} = 1.25992104 (0 - i)$

Vereinfache den Ausdruck.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen...

Subtrahiere $i$ von $0$ .

$u_{2} = 1.25992104 (- i)$

Mutltipliziere $- 1$ mit $1.25992104$ .

$u_{2} = - 1.25992104 i$

Setze $z + 3$ für $u$ ein, um den Wert von $z$ nach der Verschiebung nach links zu berechnen.

$z_{2} = - 3 - 1.25992104 i$

Dies sind die komplexen Lösungen für $u^{3} = 2 i$ .

$z_{0} = - 1.90887636 + 0.62996052 i$

$z_{1} = - 4.09112363 + 0.62996052 i$

$z_{2} = - 3 - 1.25992104 i$

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