Analysis Beispiele

$f (x) = x^{6} - 3 x^{4}$ , $[0, 2]$

Schritt 1

Ermittele die Ableitung von $f (x) = x^{6} - 3 x^{4}$ .

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Schritt 1.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1.1

Differenziere.

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Schritt 1.1.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{6} - 3 x^{4}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{6}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{4}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{6}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{4}]$

Schritt 1.1.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 6$ .

$6 x^{5} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{4}]$

Schritt 1.1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [- 3 x^{4}]$ .

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Schritt 1.1.2.1

Da $- 3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 3 x^{4}$ nach $x$ gleich $- 3 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$6 x^{5} - 3 \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Schritt 1.1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 4$ .

$6 x^{5} - 3 (4 x^{3})$

Schritt 1.1.2.3

Mutltipliziere $4$ mit $- 3$ .

$f' (x) = 6 x^{5} - 12 x^{3}$

Schritt 1.2

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $6 x^{5} - 12 x^{3}$ .

$6 x^{5} - 12 x^{3}$

Schritt 2

Der Definitionsbereich umfasst alle reellen Zahlen, ausgenommen jene, für die der Ausdruck nicht definiert ist. In diesem Fall gibt es keine reellen Zahlen, für die der Ausdruck nicht definiert ist.

Intervallschreibweise:

$(- \infty, \infty)$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${x | x \in ℝ}$

Schritt 3

$f' (x)$ ist stetig im Intervall $[0, 2]$ .

$f' (x)$ ist stetig

Schritt 4

Der Durchschnittswert der Funktion $f'$ im Intervall $[a, b]$ ist definiert als $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ .

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

Schritt 5

Setze die tatsächlichen Werte in die Formel für den Durchschnittswert einer Funktion ein.

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (\int_{0}^{2} 6 x^{5} - 12 x^{3} d x)$

Schritt 6

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (\int_{0}^{2} 6 x^{5} d x + \int_{0}^{2} - 12 x^{3} d x)$

Schritt 7

Da $6$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $6$ aus dem Integral.

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (6 \int_{0}^{2} x^{5} d x + \int_{0}^{2} - 12 x^{3} d x)$

Schritt 8

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{5}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{6} x^{6}$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (6 (\frac{1}{6} x^{6}]_{0}^{2}) + \int_{0}^{2} - 12 x^{3} d x)$

Schritt 9

Kombiniere $\frac{1}{6}$ und $x^{6}$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (6 (\frac{x^{6}}{6}]_{0}^{2}) + \int_{0}^{2} - 12 x^{3} d x)$

Schritt 10

Da $- 12$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 12$ aus dem Integral.

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (6 (\frac{x^{6}}{6}]_{0}^{2}) - 12 \int_{0}^{2} x^{3} d x)$

Schritt 11

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{3}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (6 (\frac{x^{6}}{6}]_{0}^{2}) - 12 (\frac{1}{4} x^{4}]_{0}^{2}))$

Schritt 12

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 12.1

Kombiniere $\frac{1}{4}$ und $x^{4}$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (6 (\frac{x^{6}}{6}]_{0}^{2}) - 12 (\frac{x^{4}}{4}]_{0}^{2}))$

Schritt 12.2

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 12.2.1

Berechne $\frac{x^{6}}{6}$ bei $2$ und $0$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (6 ((\frac{2^{6}}{6}) - \frac{0^{6}}{6}) - 12 (\frac{x^{4}}{4}]_{0}^{2}))$

Schritt 12.2.2

Berechne $\frac{x^{4}}{4}$ bei $2$ und $0$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (6 (\frac{2^{6}}{6} - \frac{0^{6}}{6}) - 12 (\frac{2^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4}))$

Schritt 12.2.3

Vereinfache.

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Schritt 12.2.3.1

Potenziere $2$ mit $6$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (6 (\frac{64}{6} - \frac{0^{6}}{6}) - 12 (\frac{2^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4}))$

Schritt 12.2.3.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $64$ und $6$ .

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Schritt 12.2.3.2.1

Faktorisiere $2$ aus $64$ heraus.

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (6 (\frac{2 (32)}{6} - \frac{0^{6}}{6}) - 12 (\frac{2^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4}))$

Schritt 12.2.3.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 12.2.3.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $6$ heraus.

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (6 (\frac{2 \cdot 32}{2 \cdot 3} - \frac{0^{6}}{6}) - 12 (\frac{2^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4}))$

Schritt 12.2.3.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (6 (\frac{2 \cdot 32}{2 \cdot 3} - \frac{0^{6}}{6}) - 12 (\frac{2^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4}))$

Schritt 12.2.3.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (6 (\frac{32}{3} - \frac{0^{6}}{6}) - 12 (\frac{2^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4}))$

Schritt 12.2.3.3

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (6 (\frac{32}{3} - \frac{0}{6}) - 12 (\frac{2^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4}))$

Schritt 12.2.3.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $0$ und $6$ .

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Schritt 12.2.3.4.1

Faktorisiere $6$ aus $0$ heraus.

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (6 (\frac{32}{3} - \frac{6 (0)}{6}) - 12 (\frac{2^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4}))$

Schritt 12.2.3.4.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 12.2.3.4.2.1

Faktorisiere $6$ aus $6$ heraus.

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (6 (\frac{32}{3} - \frac{6 \cdot 0}{6 \cdot 1}) - 12 (\frac{2^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4}))$

Schritt 12.2.3.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (6 (\frac{32}{3} - \frac{6 \cdot 0}{6 \cdot 1}) - 12 (\frac{2^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4}))$

Schritt 12.2.3.4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (6 (\frac{32}{3} - \frac{0}{1}) - 12 (\frac{2^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4}))$

Schritt 12.2.3.4.2.4

Dividiere $0$ durch $1$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (6 (\frac{32}{3} - 0) - 12 (\frac{2^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4}))$

Schritt 12.2.3.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (6 (\frac{32}{3} + 0) - 12 (\frac{2^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4}))$

Schritt 12.2.3.6

Addiere $\frac{32}{3}$ und $0$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (6 (\frac{32}{3}) - 12 (\frac{2^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4}))$

Schritt 12.2.3.7

Kombiniere $6$ und $\frac{32}{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (\frac{6 \cdot 32}{3} - 12 (\frac{2^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4}))$

Schritt 12.2.3.8

Mutltipliziere $6$ mit $32$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (\frac{192}{3} - 12 (\frac{2^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4}))$

Schritt 12.2.3.9

Kürze den gemeinsamen Teiler von $192$ und $3$ .

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Schritt 12.2.3.9.1

Faktorisiere $3$ aus $192$ heraus.

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (\frac{3 \cdot 64}{3} - 12 (\frac{2^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4}))$

Schritt 12.2.3.9.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 12.2.3.9.2.1

Faktorisiere $3$ aus $3$ heraus.

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (\frac{3 \cdot 64}{3 (1)} - 12 (\frac{2^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4}))$

Schritt 12.2.3.9.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (\frac{3 \cdot 64}{3 \cdot 1} - 12 (\frac{2^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4}))$

Schritt 12.2.3.9.2.3

Forme den Ausdruck um.

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (\frac{64}{1} - 12 (\frac{2^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4}))$

Schritt 12.2.3.9.2.4

Dividiere $64$ durch $1$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (64 - 12 (\frac{2^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4}))$

Schritt 12.2.3.10

Potenziere $2$ mit $4$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (64 - 12 (\frac{16}{4} - \frac{0^{4}}{4}))$

Schritt 12.2.3.11

Kürze den gemeinsamen Teiler von $16$ und $4$ .

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Schritt 12.2.3.11.1

Faktorisiere $4$ aus $16$ heraus.

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (64 - 12 (\frac{4 \cdot 4}{4} - \frac{0^{4}}{4}))$

Schritt 12.2.3.11.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 12.2.3.11.2.1

Faktorisiere $4$ aus $4$ heraus.

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (64 - 12 (\frac{4 \cdot 4}{4 (1)} - \frac{0^{4}}{4}))$

Schritt 12.2.3.11.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (64 - 12 (\frac{4 \cdot 4}{4 \cdot 1} - \frac{0^{4}}{4}))$

Schritt 12.2.3.11.2.3

Forme den Ausdruck um.

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (64 - 12 (\frac{4}{1} - \frac{0^{4}}{4}))$

Schritt 12.2.3.11.2.4

Dividiere $4$ durch $1$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (64 - 12 (4 - \frac{0^{4}}{4}))$

Schritt 12.2.3.12

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (64 - 12 (4 - \frac{0}{4}))$

Schritt 12.2.3.13

Kürze den gemeinsamen Teiler von $0$ und $4$ .

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Schritt 12.2.3.13.1

Faktorisiere $4$ aus $0$ heraus.

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (64 - 12 (4 - \frac{4 (0)}{4}))$

Schritt 12.2.3.13.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 12.2.3.13.2.1

Faktorisiere $4$ aus $4$ heraus.

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (64 - 12 (4 - \frac{4 \cdot 0}{4 \cdot 1}))$

Schritt 12.2.3.13.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (64 - 12 (4 - \frac{4 \cdot 0}{4 \cdot 1}))$

Schritt 12.2.3.13.2.3

Forme den Ausdruck um.

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (64 - 12 (4 - \frac{0}{1}))$

Schritt 12.2.3.13.2.4

Dividiere $0$ durch $1$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (64 - 12 (4 - 0))$

Schritt 12.2.3.14

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (64 - 12 (4 + 0))$

Schritt 12.2.3.15

Addiere $4$ und $0$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (64 - 12 \cdot 4)$

Schritt 12.2.3.16

Mutltipliziere $- 12$ mit $4$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (64 - 48)$

Schritt 12.2.3.17

Subtrahiere $48$ von $64$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (16)$

Schritt 13

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 13.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$A (x) = \frac{1}{2 + 0} \cdot 16$

Schritt 13.2

Addiere $2$ und $0$ .

$A (x) = \frac{1}{2} \cdot 16$

Schritt 14

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 14.1

Faktorisiere $2$ aus $16$ heraus.

$A (x) = \frac{1}{2} \cdot (2 (8))$

Schritt 14.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$A (x) = \frac{1}{2} \cdot (2 \cdot 8)$

Schritt 14.3

Forme den Ausdruck um.

$A (x) = 8$

Schritt 15

Gib DEINE Aufgabe ein